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    高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義域的求解

    2021-12-07 15:19閆秀珠
    基礎(chǔ)教育論壇·上旬 2021年10期
    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

    閆秀珠

    摘? 要:函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一,學(xué)生如果對函數(shù)的定義域理解不深入,解題時(shí)很容易出現(xiàn)問題。因此,教師要詳細(xì)講解定義域知識,歸納經(jīng)常出現(xiàn)的題型,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);函數(shù)定義域;題型歸納;不同形式

    高中數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容之一就是函數(shù),定義域是函數(shù)的三大要素之一。求解函數(shù)要樹立“定義域”優(yōu)先的原則。為此,筆者就求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)求法歸納如下。

    一、抽象型

    抽象型,是指對于抽象函數(shù)而言,由于沒有給出具體的函數(shù)解析式,學(xué)生不能運(yùn)用常規(guī)的方法去求解定義域,只能根據(jù)給出的抽象函數(shù)的定義域去求解另一個(gè)抽象函數(shù)的定義域。一般有三種題型。

    題型1:已知函數(shù)[fx]的定義域,求復(fù)合函數(shù)[fgx]的定義域。也就是已知[fx]中x的范圍,求[fgx]中x的范圍。

    同一個(gè)對應(yīng)法則下的量等價(jià),即[fx]中x的范圍等價(jià)于[fgx]中[gx]的范圍。[fx]中的x的范圍[?][fgx]中[gx]的范圍[?]x的范圍。

    例1? 已知函數(shù)[fx]的定義域?yàn)閇1,4,] 求函數(shù)[f3x-2]的定義域。

    解:因?yàn)楹瘮?shù)[fx]的定義域?yàn)閇1,4,]

    所以[1≤3x-2≤4,]

    即[1≤x≤2。]

    所以函數(shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1,2。]

    【評析】此題是抽象函數(shù)定義域求解中的基礎(chǔ)題。根據(jù)函數(shù)[fx]的定義域得內(nèi)層函數(shù)的值域。內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含在外層函數(shù)的定義域之中,采用由外到內(nèi)的順序找到了內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)定義域之間的關(guān)系,即[1≤3x-2≤4,] 然后解此不等式得到[f3x-2]的定義域?yàn)閇1,2。]

    題型2:由函數(shù)[fgx]的定義域,求函數(shù)[fx]的定義域。也就是已知[fgx]中x的范圍,求[fx]中x的范圍。

    同一個(gè)對應(yīng)法則所作用的量等價(jià),即[fgx]中的[gx]的范圍等價(jià)于[fx]中的x的范圍。由[fgx]中的x的范圍[?][gx]的范圍[?][fx]中的x的范圍。

    例2? 已知函數(shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1,2,] 求函數(shù)[fx]的定義域。

    解:因?yàn)楹瘮?shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1,2,]

    所以[1≤x≤2。]

    所以[1≤3x-2≤4。]

    所以函數(shù)[fx]的定義域?yàn)閇x∈1,4。]

    【評析】此題也是抽象函數(shù)定義域求解中的基礎(chǔ)題。內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中,采用由內(nèi)到外的順序找到內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)定義域之間的關(guān)系。由外層函數(shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1,2,] 得[1≤x≤2,] 得內(nèi)層函數(shù)[3x-2]的值域,即函數(shù)[fx]的定義域。有的學(xué)生會誤將此x的范圍當(dāng)作[fx]的定義域,為了求出取值范圍,我們先把[3x-2]看作一個(gè)獨(dú)立的整體。如列出等式[t=3x-2,] 讓學(xué)生求出[ft]的定義域,即為[fx]的定義域。

    題型3:由函數(shù)[fgx]的定義域,求函數(shù)[fφx]的定義域。也就是已知[fgx]中x的范圍,求[fφx]中x的范圍。

    同一個(gè)對應(yīng)法則作用下的[gx]的范圍等價(jià)于[φx]的范圍。[fgx]中x的范圍[?][gx]的范圍[?][φx]的范圍[?][fφx]中x的范圍。

    例3? 已知函數(shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1,2,] 求函數(shù)[f2x+2]的定義域。

    解:因?yàn)楹瘮?shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1,2。]

    所以[1≤x≤2,]

    即[1≤3x-2≤4。]

    所以[1≤2x+2≤4,]

    解得[-12≤x≤1。]

    所以[f2x+2]的定義域?yàn)閇-12,1。]

    【評析】此題是抽象函數(shù)隱含型定義域求解問題。解題順序是由[f3x-2]外層函數(shù)的定義域求出內(nèi)層函數(shù)的值域,即為[f2x+2]內(nèi)層函數(shù)的值域,然后由外到內(nèi)求出x的范圍。在解題過程中要注意的是自變量x的取值范圍,一般就是題目中要求的定義域。

    以上三種抽象型問題即為復(fù)合函數(shù)求定義域問題,記憶口訣“位置等價(jià),范圍相同”。其操作方法就是從外向內(nèi)逐層求解,最外層的函數(shù)的定義域?yàn)榇瓮鈱拥暮瘮?shù)的值域,依次求解,直到最內(nèi)層函數(shù)的定義域?yàn)橹埂?/p>

    二、抽象運(yùn)算型

    抽象運(yùn)算型,是指由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的函數(shù),即已知函數(shù)[fx]的定義域,求函數(shù)[Fx=fgx±fφx]的定義域。

    先根據(jù)上面的方法進(jìn)行定義域的解答,再進(jìn)行交集的解答。

    例4? 已知[fx]的定義域?yàn)閇1,2,] 試求[Fx=][f2x-1+f3x-1]的定義域。

    解:由上述類型可知[1≤2x-1≤2,1≤3x-1≤2,]

    解得[1≤x≤32,23≤x≤1,] 即[x=1。]

    所以[Fx]的定義域?yàn)閇1。]

    【評析】此類題型為綜合題型,即抽象型和基礎(chǔ)型糅合。先求出各部分的定義域,然后再求交集,即為抽象運(yùn)算型函數(shù)的定義域。

    三、實(shí)際問題型

    運(yùn)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題時(shí),要考慮到問題的實(shí)際意義對自變量的限制。有些從表面上看并不求定義域,但是不注意定義域往往導(dǎo)致錯(cuò)解,事實(shí)上定義域隱含在問題中。

    筆者從數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)了三類函數(shù)定義域的求法,運(yùn)用這些方法迅速分析復(fù)合函數(shù)的定義域,從而準(zhǔn)確求出各類函數(shù)的定義域。定義域是解答函數(shù)問題的必要因素。因此,定義域問題是解答函數(shù)問題的關(guān)鍵,掌握函數(shù)定義域的求解方法是十分重要的。希望這些方法能對大家有所幫助,夯實(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]李金萍. 淺談化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用方法[J]. 課程教育研究,2019(44).

    [2]肖劍. 化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探究[J]. 科學(xué)咨詢(教育科研),2020(1).

    [3]梁雄. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法舉例探討[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2020(1).

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