高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義域的求解

閆秀珠

摘? 要：函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，學(xué)生如果對函數(shù)的定義域理解不深入，解題時(shí)很容易出現(xiàn)問題。因此，教師要詳細(xì)講解定義域知識，歸納經(jīng)常出現(xiàn)的題型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)定義域;題型歸納;不同形式

高中數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容之一就是函數(shù)，定義域是函數(shù)的三大要素之一。求解函數(shù)要樹立“定義域”優(yōu)先的原則。為此，筆者就求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)求法歸納如下。

一、抽象型

抽象型，是指對于抽象函數(shù)而言，由于沒有給出具體的函數(shù)解析式，學(xué)生不能運(yùn)用常規(guī)的方法去求解定義域，只能根據(jù)給出的抽象函數(shù)的定義域去求解另一個(gè)抽象函數(shù)的定義域。一般有三種題型。

題型1：已知函數(shù)[fx]的定義域，求復(fù)合函數(shù)[fgx]的定義域。也就是已知[fx]中x的范圍，求[fgx]中x的范圍。

同一個(gè)對應(yīng)法則下的量等價(jià)，即[fx]中x的范圍等價(jià)于[fgx]中[gx]的范圍。[fx]中的x的范圍[?][fgx]中[gx]的范圍[?]x的范圍。

例1? 已知函數(shù)[fx]的定義域?yàn)閇1，4，] 求函數(shù)[f3x-2]的定義域。

解：因?yàn)楹瘮?shù)[fx]的定義域?yàn)閇1，4，]

所以[1≤3x-2≤4，]

即[1≤x≤2。]

所以函數(shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1，2。]

【評析】此題是抽象函數(shù)定義域求解中的基礎(chǔ)題。根據(jù)函數(shù)[fx]的定義域得內(nèi)層函數(shù)的值域。內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含在外層函數(shù)的定義域之中，采用由外到內(nèi)的順序找到了內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)定義域之間的關(guān)系，即[1≤3x-2≤4，] 然后解此不等式得到[f3x-2]的定義域?yàn)閇1，2。]

題型2：由函數(shù)[fgx]的定義域，求函數(shù)[fx]的定義域。也就是已知[fgx]中x的范圍，求[fx]中x的范圍。

同一個(gè)對應(yīng)法則所作用的量等價(jià)，即[fgx]中的[gx]的范圍等價(jià)于[fx]中的x的范圍。由[fgx]中的x的范圍[?][gx]的范圍[?][fx]中的x的范圍。

例2? 已知函數(shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1，2，] 求函數(shù)[fx]的定義域。

解：因?yàn)楹瘮?shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1，2，]

所以[1≤x≤2。]

所以[1≤3x-2≤4。]

所以函數(shù)[fx]的定義域?yàn)閇x∈1，4。]

【評析】此題也是抽象函數(shù)定義域求解中的基礎(chǔ)題。內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中，采用由內(nèi)到外的順序找到內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)定義域之間的關(guān)系。由外層函數(shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1，2，] 得[1≤x≤2，] 得內(nèi)層函數(shù)[3x-2]的值域，即函數(shù)[fx]的定義域。有的學(xué)生會誤將此x的范圍當(dāng)作[fx]的定義域，為了求出取值范圍，我們先把[3x-2]看作一個(gè)獨(dú)立的整體。如列出等式[t=3x-2，] 讓學(xué)生求出[ft]的定義域，即為[fx]的定義域。

題型3：由函數(shù)[fgx]的定義域，求函數(shù)[fφx]的定義域。也就是已知[fgx]中x的范圍，求[fφx]中x的范圍。

同一個(gè)對應(yīng)法則作用下的[gx]的范圍等價(jià)于[φx]的范圍。[fgx]中x的范圍[?][gx]的范圍[?][φx]的范圍[?][fφx]中x的范圍。

例3? 已知函數(shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1，2，] 求函數(shù)[f2x+2]的定義域。

解：因?yàn)楹瘮?shù)[f3x-2]的定義域?yàn)閇1，2。]

所以[1≤x≤2，]

即[1≤3x-2≤4。]

所以[1≤2x+2≤4，]

解得[-12≤x≤1。]

所以[f2x+2]的定義域?yàn)閇-12，1。]

【評析】此題是抽象函數(shù)隱含型定義域求解問題。解題順序是由[f3x-2]外層函數(shù)的定義域求出內(nèi)層函數(shù)的值域，即為[f2x+2]內(nèi)層函數(shù)的值域，然后由外到內(nèi)求出x的范圍。在解題過程中要注意的是自變量x的取值范圍，一般就是題目中要求的定義域。

以上三種抽象型問題即為復(fù)合函數(shù)求定義域問題，記憶口訣“位置等價(jià)，范圍相同”。其操作方法就是從外向內(nèi)逐層求解，最外層的函數(shù)的定義域?yàn)榇瓮鈱拥暮瘮?shù)的值域，依次求解，直到最內(nèi)層函數(shù)的定義域?yàn)橹埂?/p>

二、抽象運(yùn)算型

抽象運(yùn)算型，是指由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的函數(shù)，即已知函數(shù)[fx]的定義域，求函數(shù)[Fx=fgx±fφx]的定義域。

先根據(jù)上面的方法進(jìn)行定義域的解答，再進(jìn)行交集的解答。

例4? 已知[fx]的定義域?yàn)閇1，2，] 試求[Fx=][f2x-1+f3x-1]的定義域。

解：由上述類型可知[1≤2x-1≤2，1≤3x-1≤2，]

解得[1≤x≤32，23≤x≤1，] 即[x=1。]

所以[Fx]的定義域?yàn)閇1。]

【評析】此類題型為綜合題型，即抽象型和基礎(chǔ)型糅合。先求出各部分的定義域，然后再求交集，即為抽象運(yùn)算型函數(shù)的定義域。

三、實(shí)際問題型

運(yùn)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題時(shí)，要考慮到問題的實(shí)際意義對自變量的限制。有些從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域往往導(dǎo)致錯(cuò)解，事實(shí)上定義域隱含在問題中。

筆者從數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)了三類函數(shù)定義域的求法，運(yùn)用這些方法迅速分析復(fù)合函數(shù)的定義域，從而準(zhǔn)確求出各類函數(shù)的定義域。定義域是解答函數(shù)問題的必要因素。因此，定義域問題是解答函數(shù)問題的關(guān)鍵，掌握函數(shù)定義域的求解方法是十分重要的。希望這些方法能對大家有所幫助，夯實(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)。

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