以思維導(dǎo)圖實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題閱讀中的數(shù)學(xué)理解

廖加熙

摘要：對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的閱讀理解是實(shí)現(xiàn)知識(shí)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)舉一反三、技能靈活運(yùn)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。思維導(dǎo)圖的合理運(yùn)用能把抽象的思考過(guò)程演變?yōu)橹庇^(guān)圖形，為學(xué)生內(nèi)部圖式的建立提供保障，在一定程度上把對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解提高到關(guān)系性理解的高度，從而實(shí)現(xiàn)從追求結(jié)果到反思過(guò)程的華麗轉(zhuǎn)身。本文提出了借助思維導(dǎo)圖實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)理解的七種典型方案，與同行分享。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問(wèn)題;數(shù)學(xué)理解;思維導(dǎo)圖;聯(lián)系;轉(zhuǎn)化

“數(shù)學(xué)理解”是一個(gè)教育學(xué)詞匯，關(guān)于數(shù)學(xué)理解的研究由來(lái)已久。數(shù)學(xué)教育家斯根普早在1976年就提出了數(shù)學(xué)理解的兩種類(lèi)型，即工具性理解與關(guān)系性其解。其中工具性理解是把數(shù)學(xué)理解作為掌握知識(shí)與促進(jìn)一步思考的工具，即“知其然”，而關(guān)系性理解則需要對(duì)知識(shí)意義與結(jié)構(gòu)有一個(gè)完整探究的過(guò)程，不但要“知其然”，還要“知其所以然”。

1、梳理式思維導(dǎo)圖，定位概念外延

有不少數(shù)學(xué)問(wèn)題看似極其簡(jiǎn)單，最終卻因?qū)W生缺乏深入思考而出現(xiàn)錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤往往是“以貌取神”的結(jié)果，這里的“貌”指的是數(shù)學(xué)問(wèn)題的外在特征，這里的“神”指的是數(shù)學(xué)規(guī)律，比如問(wèn)：是分?jǐn)?shù)嗎？由于從外形上觀(guān)察，這里確有“分?jǐn)?shù)線(xiàn)、分子、分母”的結(jié)構(gòu)形式，更何況這個(gè)數(shù)讀作“三分之根號(hào)二”，所以很多學(xué)生紛紛認(rèn)為就是是分?jǐn)?shù)。教師如果能教會(huì)學(xué)生理清概念間的關(guān)系，讓學(xué)生畫(huà)一個(gè)簡(jiǎn)單的思維導(dǎo)圖（圖1），由于屬于無(wú)理數(shù)，顯然無(wú)理數(shù)不是分?jǐn)?shù)?？梢?jiàn)，閱讀這類(lèi)題的時(shí)候?qū)W會(huì)梳理概念間的關(guān)系，有效落實(shí)概念的外延邊界，才能使概念內(nèi)涵的把握獲得進(jìn)一步的深化，從而實(shí)現(xiàn)以不變應(yīng)萬(wàn)變。

2、類(lèi)比式思維導(dǎo)圖，溝通縱橫聯(lián)系

例：已知⊙O1與⊙O2相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，公AB=16，⊙O1的半徑為10，⊙O2的半徑為9，則這兩圓的圓心距O1O2為_(kāi)_________.

如圖2左上的情況，很容易忘記還有另外一種情況，即兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)（圖2左下）的情況。如何防止出現(xiàn)考慮問(wèn)題不全面的情況呢？筆者以為，現(xiàn)行初中教材中對(duì)兩圓的五種位置關(guān)系中并沒(méi)有對(duì)兩圓相交的情況進(jìn)行細(xì)分，但借用兩圓相切中的內(nèi)切與外切兩種情況，學(xué)生是否應(yīng)該思考一下：兩圓相交又有幾種情況呢？如果我們規(guī)定大小兩圓的圓心到公共弦的弦心距分別為M和m，同樣可以分析出類(lèi)似的關(guān)系，而且畫(huà)圖的方法同樣都體現(xiàn)了一種翻折關(guān)系。這里表格式的思維導(dǎo)圖正好把這一類(lèi)比思考的過(guò)程展示了出來(lái)，從而為理解題目提供了幫助。

3、箭頭式思維導(dǎo)圖，達(dá)成問(wèn)題轉(zhuǎn)化

例：一個(gè)一邊長(zhǎng)為5的平行四邊形，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度可能是（ ）。

A 2，8B 12，18 C 2，13D 11，2

分析：學(xué)生閱讀該題目時(shí)會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，主要是由于題目提供的情境為平行四邊形，而學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)中并沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)“對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度”的規(guī)定與限制，此時(shí)閉門(mén)造車(chē)肯定不行，讓學(xué)生構(gòu)建已經(jīng)知識(shí)與當(dāng)前情境的聯(lián)系才是關(guān)鍵。圖3的思維導(dǎo)圖建議讓學(xué)生來(lái)口頭表達(dá)，由教師板書(shū)完成，這一思維導(dǎo)圖直觀(guān)地演示了轉(zhuǎn)化策略的內(nèi)涵，使學(xué)生可以在其它問(wèn)題中舉一反三進(jìn)行繪制。

4、設(shè)問(wèn)式思維導(dǎo)圖，打破功能固著

例：判斷題：ΔABC的三條邊分別為a、b、c（圖4），并且a2+b2≠c2，所以 ΔABC就不是直角三角形。（ ）

分析：導(dǎo)致該題錯(cuò)誤的原因有二：一是邏輯錯(cuò)誤：學(xué)生認(rèn)為勾股定理的逆定理可用于判定一個(gè)三角形是直角三角形，殊不知它并不具備否定一個(gè)三角形是直角三角形的功能。二是對(duì)字母功能認(rèn)識(shí)有誤：沒(méi)有考慮到三個(gè)字母的功能在本質(zhì)是上只是三條邊的代名詞，并不存在必然要哪個(gè)字母代表長(zhǎng)邊的規(guī)定，此時(shí)用詰問(wèn)式思維導(dǎo)圖，可以引導(dǎo)出誰(shuí)代表長(zhǎng)邊的討論，從而需要在三種情況下均具備不等于的條件，才能認(rèn)可該三角形不是直角三角形。

5、圖符合一式思維導(dǎo)圖，助力思想運(yùn)用

例：如圖所示的RtΔABC中，∠C=Rt∠，D為AB上一點(diǎn)，DB=1，AD=2，且四邊形DECF為正方形，求圖中陰影部分面積。

從分析已經(jīng)條件入手，將對(duì)題意的理解充分展示在圖畫(huà)上，可使問(wèn)題解決的線(xiàn)索更易找到。借助數(shù)形結(jié)合思想，用字母與數(shù)字表示圖中線(xiàn)段長(zhǎng)度，為建立方程提供了讀圖基礎(chǔ)。雖然將正方形邊長(zhǎng)統(tǒng)一標(biāo)為同一個(gè)字母，但還有三個(gè)未知數(shù)，故可考慮能否消去一些未知數(shù)，進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)方程中有相同的項(xiàng)，可運(yùn)用整體思想消去一部分而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

6、變式型思維導(dǎo)圖，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)

變式型思維導(dǎo)圖通過(guò)主動(dòng)改變題目設(shè)計(jì)的條件使非本質(zhì)屬性或規(guī)律發(fā)生變化，從而使本質(zhì)屬性與規(guī)律得到進(jìn)一步明確與顯現(xiàn)。如：ΔABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD為BC邊上的高，D為垂足，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥??AB于E，求BF+FE的最小值。這屬于典型的“在指定的直線(xiàn)上找一點(diǎn)，使其到直線(xiàn)外同側(cè)的固定兩點(diǎn)的距離之和最短”的問(wèn)題，其解題方法是把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”的問(wèn)題。顯然，在長(zhǎng)方形、菱形、等腰三角形、圓等軸對(duì)稱(chēng)圖形中，都存在可制造這一問(wèn)題情境的條件，但不變的是解決問(wèn)題的思想與策略。

綜上所述，解題是達(dá)成數(shù)學(xué)理解、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路，思維導(dǎo)圖為學(xué)生順利解讀題目含義，為內(nèi)部圖式的聯(lián)系與整理提供了一種可視化的打開(kāi)方式。然而針對(duì)數(shù)學(xué)閱讀的理論比較深?yuàn)W，而且數(shù)學(xué)思想豐富而深邃、解題策略又要求具體而靈活，要把對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)理解有效落實(shí)在思維導(dǎo)圖上難度還是比較大，在此求教于諸同行，以期共同進(jìn)步。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李士琦.數(shù)學(xué)教育心理[M].華東師范大學(xué)出版社.2012

[2]高文君，韓聯(lián)郡，田小現(xiàn).對(duì)數(shù)學(xué)閱讀概念及方法的研究[J].教學(xué)與管理2007（03）

課題標(biāo)注：（注：本文系2020年大田縣基礎(chǔ)教育教學(xué)研究TKTZ2084《初中數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)下思維導(dǎo)圖的實(shí)踐研究》研究成果）