例談如何讓“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)更有數(shù)學(xué)味

裴奎英

[摘 要]“數(shù)學(xué)廣角”是人教版教材在課程改革后新開設(shè)的板塊，內(nèi)容新穎有趣，多數(shù)是以高度還原的生活事例為情境，因此，操作性和實踐性非常強，但也因為如此，其數(shù)學(xué)味較淡，綜合實踐的味道較濃。以“烙餅問題”為例，挖掘其背后蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，從而提高“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)的數(shù)學(xué)味。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)廣角;烙餅問題;數(shù)學(xué)味

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0025-02

學(xué)校開展了一次以四年級“烙餅問題”為主題的同課異構(gòu)活動，并將對這一課程的不同施教觀點、觀念沖突訴諸文字，達到藝術(shù)爭鳴的效果。雖說同課異構(gòu)的主題是“數(shù)學(xué)廣角”，誰料有四位教師不謀而合，都選擇了烙餅問題來“開路”。雖說是同課異構(gòu)，但大同小異，均設(shè)有創(chuàng)設(shè)情境、自主探究、合作交流、展示匯報等環(huán)節(jié)。

一、教學(xué)烙餅問題的基本流程

1.創(chuàng)設(shè)情境，談話導(dǎo)入。四位教師的新課引入都是從拉家常開始。其中一位從早餐聊起，談到當?shù)氐奶厣〕?，一步步將話題引到“烙餅問題”上，再通過展示課件（如圖1），設(shè)計系列問題，慢慢轉(zhuǎn)入正題。

“觀察圖1，你從中讀取了哪些信息？‘每次最多只能烙2張餅說明什么？有何深意？‘兩面都要烙，每面3分鐘又隱含著什么信息？你能用肢體語言演示一下嗎？”這位教師接連提問。

2.自主探究，學(xué)具輔助。對烙1張、2張、3張餅的過程進行操作演示，使學(xué)生直觀感知。教師在課前準備了3張圓片充當烙餅，學(xué)生操作探究。思考烙熟1張、2張餅的最少用時，這對學(xué)生來說是小菜一碟，獨自操作即可推出結(jié)論。本課的重點在于烙熟3張餅的用時探究。多數(shù)教師采用合作探究的方法，交流展示、歸納總結(jié)，得出最優(yōu)方案。為凸顯最優(yōu)方案，有的教師將其命名為“交錯烙法”。

3.歸納總結(jié)，問題解決。對烙餅張數(shù)分別為4、5、6時的烙法展開探究，以虛擬推導(dǎo)為主。隨著餅的數(shù)量越增越多，操作法越來越力不從心，抽象的虛擬推導(dǎo)法就越來越受歡迎。最后，教師整理總結(jié)出烙餅張數(shù)與最少用時的統(tǒng)計表。

通過觀察、分析統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，總結(jié)出兩個規(guī)律。（1）烙餅最少用時=烙餅張數(shù)×3（烙餅張數(shù)>1）。（2）最優(yōu)化方案分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類來討論。烙餅張數(shù)為奇數(shù)時，前面的每次烙熟2張餅，剩下3張餅時，采用“交錯烙法”。烙餅張數(shù)為偶數(shù)時，就直接每次烙熟2張餅，直至烙完。規(guī)律（1）是從前后數(shù)據(jù)的相關(guān)性中直接推斷出來的，或者說是憑借直覺和數(shù)感猜想出來的，沒有經(jīng)過嚴密的理論論證，這時需要教師幫助揭示其中的數(shù)學(xué)原理，這是從數(shù)學(xué)模型中總結(jié)出數(shù)學(xué)理論的關(guān)鍵一步，也是真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)味和挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)的破局之舉。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察并推理出：無論是烙多少張餅，要使用時最少，就必須滿足這樣一條準則，那就是每次烙2個面，不讓鍋有空置的情況。如果烙偶數(shù)張餅，那么直接每次烙熟2張就可以達到這個效果;如果是烙奇數(shù)張餅，最后3張就要采用“交錯烙法”?？偯鏀?shù)=烙餅張數(shù)×2，又因為每次能夠烙2個面，所以烙餅總次數(shù)=總面數(shù)÷2=烙餅張數(shù)×2÷2=烙餅張數(shù)。也就是說，有多少張餅就要烙多少次。再根據(jù)每面3分鐘，得出結(jié)論：最少用時=烙餅張數(shù)×3（烙餅張數(shù)>1）。這樣的分析與推導(dǎo)，不但將奇數(shù)張餅與偶數(shù)張餅的不同烙法化歸一同，而且超越直觀演示層面，直抵數(shù)學(xué)理論驗證層級。

二、求取各方意見的最大公因數(shù)

本次研討活動的一大亮點是邀請了語文教師來客串，順應(yīng)了課程改革中的“開放性”和“綜合性”兩大要求?？鐚W(xué)科的融合，文理兼容的教學(xué)理念，注定此次教研活動將不同凡響。

為何“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)味逐漸流失？在“烙餅問題”的試教中，語文教師和數(shù)學(xué)教師的差別主要體現(xiàn)在開頭。語文教師舍棄創(chuàng)設(shè)情境這一環(huán)，取而代之的是閱讀理解、識字斷句、概括題目大意等考查語文素養(yǎng)的環(huán)節(jié)。大家認為，語文教師的教學(xué)體現(xiàn)了語文味，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)則相形見絀，缺少數(shù)學(xué)味。何以至此？眾人以為是執(zhí)教教師曲解了教材編寫意圖。

盡管“數(shù)學(xué)廣角”是以生活情境為題材和敘事背景，但其卻蘊含著統(tǒng)籌方法、整體運算、不完全歸納法等數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用，這才是“數(shù)學(xué)廣角”的數(shù)學(xué)成分。“烙餅問題”其實涉及運籌學(xué)中的對策論。對運籌學(xué)的解析是分三個階段螺旋式上升的。小學(xué)階段是設(shè)計在簡單事例中，讓學(xué)生在解決問題中慢慢領(lǐng)悟，高中階段是通過線性規(guī)劃來研究類似研發(fā)投資、產(chǎn)業(yè)利潤等利益最大化問題來體現(xiàn)，真正對這一部分知識深入探究則要到大學(xué)以后。因此，小學(xué)階段的“烙餅問題”的教學(xué)，重點應(yīng)該是讓學(xué)生學(xué)會在解決問題時講對策、講謀略。

制訂對策時，有三要素：策劃人、方案集和最優(yōu)化方案。“策劃人”是指對策中的決策者、掌權(quán)者。教學(xué)時，應(yīng)該盡力讓學(xué)生成為策劃人。教師可以先列舉規(guī)劃旅游出行線路、快遞員送快遞等情境，說明制訂對策可以提高效率、節(jié)省成本，然后拋出“烙餅問題”讓學(xué)生自主決策，讓學(xué)生成為策劃人。如此導(dǎo)入比交談吃什么早餐更有意義?！胺桨讣笔侵缚晒┻x擇的對策的全集?！袄语瀱栴}”首要任務(wù)是弄清有多少種烙法，也就是烙法的所有對策，這是決策的前提。沒有全面弄清問題就直接拿出最優(yōu)方案的做法是盲目沖動的。

以烙3張餅為例，可行方案有很多。如可以烙3次，每次烙1張，也可以烙2次，一次烙2張，另一次烙1張。即使用3張一起的“交錯烙法”，也有8種不同的具體烙法。如此，不但讓學(xué)生明白策略的多樣性以及優(yōu)化的必要性，而且呈現(xiàn)了對策的全集，彰顯了運籌學(xué)的第二要素。“最優(yōu)化方案”是指對各種決策進行考量權(quán)衡時，得出的盈虧值。在“烙餅問題”的教學(xué)中，對不同的對策方案進行量化評析，核算其盈虧值。以烙3張餅為例，教師可以提出條件，如限制用12或9分鐘烙熟所有餅，讓學(xué)生自行決策，并對決策方案做出盈虧分析。

三、怎樣提高數(shù)學(xué)味

“烙餅問題”的教學(xué)過程中存在諸多非數(shù)學(xué)因素。如3張餅的“交錯烙法”，一位教師先通過多媒體演示烙餅過程，然后讓學(xué)生模仿操作。對部分還沒有搞懂的學(xué)生，則通過傳、幫、帶的手段，畫出烙餅的方法，確保全員理解。如此煞費苦心，是在進行賣餅的職業(yè)培訓(xùn)嗎？又比如對烙6張餅的分組，一位教師執(zhí)著于是分成（2，2，2）三組還是分成（3，3）兩組，難道不同分組對最少用時有影響嗎？

出現(xiàn)這些現(xiàn)象，還得從“數(shù)學(xué)廣角”的目標定位找原因。人教版教材試圖通過“數(shù)學(xué)廣角”滲透基本的數(shù)學(xué)方法。因此，從日常生活事例中挖掘出數(shù)學(xué)思想方法是把握教學(xué)目標的關(guān)鍵，把握住這個關(guān)鍵，數(shù)學(xué)味自然就留住了。

在“烙餅問題”的探究中，要滲透運用標記符號的意識。以探究3張餅的烙法為例，為區(qū)分3張餅的正反面，有的教師涂色，有的貼標簽，多數(shù)是用1正、1反等字符表示第1張餅的2個面，其他的以此類推。這些都有標記作用，但是卻忽視了數(shù)學(xué)形式的要求。義教階段主要是培養(yǎng)和塑造學(xué)生的字符代數(shù)意識，基于這一理念，給餅的各面標記一個專業(yè)的數(shù)學(xué)符號效果更妙。

先說3張餅，首先分別用a、b、c表示。其次，考慮到每張餅有2個面，分別用下標1、2進行區(qū)分。如此一來，3個餅的6個面就有6個字符組合，于是最優(yōu)方案就是將這6個字符組合分成3組，每組2個元素，其中（[a1]，[a2]），（[b1]，[b2]），（[c1]，[c2]）不能編為一組。這樣一來，問題就轉(zhuǎn)化為一個組合問題，有8種組合法。

教師要培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。從特殊到一般的合情推理，從一般到特殊的演繹推理，反復(fù)訓(xùn)練，不斷歸納。探究烙10張餅的最少用時，可以從烙1張、2張餅逐步遞進，再從特殊的3張餅開始進行歸納并推廣到一般情況，接著從奇數(shù)張到偶數(shù)張進行演繹推理，綜合歸納，最后發(fā)現(xiàn)無論怎么烙餅，都是按照每次烙2面的規(guī)則進行。

總之，“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了挑戰(zhàn)，同時又注入活力。讓我們充分挖掘蘊含在生活情境中的深厚的數(shù)學(xué)思想方法，努力讓“數(shù)學(xué)廣角”更有數(shù)學(xué)味！

（責(zé)編 吳美玲）