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    “有益”的錯(cuò)誤 學(xué)生的再“生長(zhǎng)”

    2021-06-28 13:17:27王俊玲
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思考有益資源

    王俊玲

    [摘 要]小學(xué)生受認(rèn)知發(fā)展水平和生活經(jīng)驗(yàn)缺乏的影響,在解決問(wèn)題時(shí)容易出錯(cuò),但有些錯(cuò)誤是有一定思維價(jià)值且?guī)в衅毡樾缘?,教師?yīng)該有效利用這些錯(cuò)誤資源,引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí),發(fā)展數(shù)學(xué)思考,提高核心素養(yǎng),錘煉學(xué)習(xí)品格,促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)。

    [關(guān)鍵詞]有益錯(cuò)誤;思維生長(zhǎng);數(shù)學(xué)思考;資源

    [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2021)17-0092-02

    數(shù)學(xué)是一門邏輯性和應(yīng)用性都比較強(qiáng)的學(xué)科,小學(xué)生受認(rèn)知發(fā)展水平較低和生活經(jīng)驗(yàn)缺乏的影響,在解決問(wèn)題時(shí)容易出錯(cuò),但有些錯(cuò)誤是有一定思維價(jià)值且?guī)в衅毡樾缘模@些錯(cuò)誤是“有益”的錯(cuò)誤。作為教師,應(yīng)該把這些“有益”的錯(cuò)誤看成學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的嘗試和探索,把這種錯(cuò)誤當(dāng)作資源,讓這種錯(cuò)誤成為促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)的新生長(zhǎng)點(diǎn)。

    一、包容“有益”錯(cuò)誤,改變學(xué)生認(rèn)知

    進(jìn)入高年級(jí)后,有些學(xué)生越來(lái)越害怕數(shù)學(xué),究其原因是學(xué)生擔(dān)心在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤,對(duì)于錯(cuò)誤他們更多的是從負(fù)面的角度來(lái)看待,因而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了信心。要改變這種狀況,關(guān)鍵在于教師要允許學(xué)生出錯(cuò),要把一些有思維價(jià)值的錯(cuò)誤當(dāng)作資源,引導(dǎo)學(xué)生再學(xué)習(xí)。

    【例1】教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”時(shí)有這樣一題:把一張長(zhǎng)18厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙,剪成同樣大小面積盡可能大的正方形,且沒(méi)有剩余,可以剪多少個(gè)?

    這題正確的解題思路是先求出剪出的正方形的邊長(zhǎng),再求能剪多少個(gè)。交流時(shí)有位學(xué)生認(rèn)為18和12的最大公因數(shù)6就是剪得的正方形的個(gè)數(shù)。我沒(méi)有批評(píng)這位學(xué)生,而是豎起大拇指夸她有敢于和同學(xué)交流的勇氣。這個(gè)“有益”的錯(cuò)誤為學(xué)生的深入思考創(chuàng)造了條件,通過(guò)畫圖(如圖1)分析,我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生找出了此解法錯(cuò)誤的原因以及解決該問(wèn)題的辦法。

    教學(xué)中教師包容學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤,讓學(xué)生知道自己是可以出錯(cuò)的。通過(guò)分析這些“有益”的錯(cuò)誤,提醒學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)需要注意些什么、哪些地方容易出錯(cuò)、怎樣才能避免出錯(cuò)等,使學(xué)生真正理解和掌握所學(xué)知識(shí)。長(zhǎng)此以往,學(xué)生就會(huì)改變對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)知,并敢于面對(duì)自己的錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤,增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

    二、重塑“有益”錯(cuò)誤,理解所學(xué)知識(shí)

    當(dāng)學(xué)生能夠勇敢地面對(duì)自己錯(cuò)誤時(shí),教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生重塑“有益”的錯(cuò)誤,分析錯(cuò)誤原因。教師可以用類似“你的錯(cuò)誤是什么?”“是什么原因?qū)е碌模俊薄敖窈笕绾伪苊??”“從中你學(xué)到了什么?”等話語(yǔ)引導(dǎo)學(xué)生。剛開(kāi)始學(xué)生可能只能說(shuō)出一些表面的、淺顯的錯(cuò)誤原因,諸如沒(méi)看清題目、計(jì)算錯(cuò)誤等,對(duì)此教師可以采取師生對(duì)話、同伴互助等形式幫助學(xué)生找出真正的錯(cuò)因,然后鼓勵(lì)學(xué)生將“有益”的錯(cuò)誤和全班同學(xué)分享,時(shí)間久了學(xué)生就會(huì)自覺(jué)地重塑自己“有益”的錯(cuò)誤。

    【例2】學(xué)習(xí)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)“圓柱和圓錐”之后,有位學(xué)生在易錯(cuò)題本上記錄了這樣一題:如圖2所示,陰影部分材料可以做成一個(gè)圓柱,求這個(gè)圓柱的體積。

    這位學(xué)生這樣分析自己的錯(cuò)誤:“我不理解12.56分米這個(gè)數(shù)量表示的意思,認(rèn)為題中給出的條件不夠,所以不能解答。通過(guò)和同學(xué)的交流我才明白,12.56分米是圓柱的底面周長(zhǎng),已知底面周長(zhǎng)就可以求出圓柱的半徑,從圖中還可以直接看出圓柱的高是直徑的2倍,有了底面半徑和高,就能求出圓柱的體積了。我出錯(cuò)的原因是沒(méi)有理解好圓柱側(cè)面積的推導(dǎo)過(guò)程。為此,在同學(xué)的幫助下,我再次體驗(yàn)到把圓柱側(cè)面沿著高剪開(kāi)可以得到一個(gè)長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的底面周長(zhǎng),寬是圓柱的高,加深了對(duì)圓柱的側(cè)面積的理解?!?/p>

    實(shí)踐證明:重塑“有益”的錯(cuò)誤,可以幫助學(xué)生更好地把握題目的來(lái)龍去脈,深刻理解所學(xué)知識(shí),提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

    三、對(duì)比“有益”錯(cuò)誤,建構(gòu)知識(shí)聯(lián)系

    當(dāng)學(xué)生已經(jīng)會(huì)分析自己“有益”的錯(cuò)誤,知道如何避免這樣的錯(cuò)誤時(shí),他們腦海中的知識(shí)點(diǎn)還是零散的,只是知道類似的題目怎樣做,但當(dāng)遇到相似的題目時(shí)他們還是會(huì)受思維定式的影響再次出錯(cuò)。

    例如,因?yàn)樽鲞^(guò)例2中的題目,所以學(xué)生在解決“如圖3所示,陰影部分材料可以做成一個(gè)圓柱,求這個(gè)圓柱的體積”這個(gè)問(wèn)題時(shí),思維定式地將16.56分米當(dāng)作圓柱的底面周長(zhǎng)。為此我把這兩題放在一起(如圖4),讓學(xué)生對(duì)比、分析,找出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

    生1:這兩題都與圓柱側(cè)面有關(guān),圓柱側(cè)面可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的底面周長(zhǎng),寬就是圓柱的高。

    生2:解題時(shí)我們必須明確題中的條件和問(wèn)題,理解每個(gè)數(shù)量表示的意思。如圖4左圖中的12.56分米表示圓柱的底面周長(zhǎng),即πd=12.56(分米);而圖4右圖中的16.56分米則表示圓柱的底面周長(zhǎng)再加上1個(gè)直徑,即πd+d=16.56(分米)。

    生3:生2說(shuō)的就是我們解決問(wèn)題時(shí)最容易出錯(cuò)的地方。

    生4:已知條件不同,求圓柱底面半徑的方法就不同。

    生5:我能設(shè)計(jì)一個(gè)相似的題目(如圖5所示),并說(shuō)明25.7分米是圓柱的底面周長(zhǎng)加上2個(gè)直徑的長(zhǎng),即πd+2d=25.7(分米)。

    作為教師要及時(shí)將容易混淆、容易出錯(cuò)的題目進(jìn)行歸納,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、分析,溝通知識(shí)間的聯(lián)系,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),在這過(guò)程中有時(shí)還會(huì)萌發(fā)創(chuàng)新思維的種子。

    四、編寫“有益”錯(cuò)誤,發(fā)展數(shù)學(xué)思考

    教師及時(shí)利用“有益”的錯(cuò)誤,不僅能助推課堂教學(xué),提高教學(xué)效率,還能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。但只會(huì)分析“有益”的錯(cuò)誤還不夠,教學(xué)中教師要鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生嘗試編寫“有益”的錯(cuò)誤,發(fā)展學(xué)生思維。

    【例3】教學(xué)“圓柱和圓柱”時(shí)有這樣一題:如圖6所示,一個(gè)圓柱的高是8厘米,如果它的高增加2厘米,那么它的表面積將增加25.12平方厘米,求原來(lái)圓柱的體積。

    有位學(xué)生是這樣編寫錯(cuò)誤答案的:“圓柱半徑為25.12÷3.14÷2=4(厘米),V=πr2h=π×4×4×8=128π?!彪m然他沒(méi)有用文字說(shuō)明錯(cuò)誤原因,但根據(jù)圖示和他算式中體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系也能說(shuō)明為什么會(huì)產(chǎn)生這一錯(cuò)誤,即錯(cuò)把25.12平方厘米看成圓柱的底面周長(zhǎng),這種錯(cuò)誤是大多數(shù)學(xué)生的通病。

    在此基礎(chǔ)上我組織學(xué)生分析、討論,學(xué)生不僅找出了錯(cuò)誤的原因,還主動(dòng)展示和說(shuō)明正確的解題思路:圓柱增加的表面為展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形的側(cè)面,已知長(zhǎng)方形的面積和寬,就可以先求出它的長(zhǎng),也就是圓柱的底面周長(zhǎng),然后再計(jì)算圓柱的體積,解題過(guò)程如圖7所示。

    換一種方式對(duì)待“有益”的錯(cuò)誤,讓學(xué)生經(jīng)歷編寫“有益”錯(cuò)誤的過(guò)程,預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤,主動(dòng)分析、自我糾正,既發(fā)展數(shù)學(xué)思考,又提升學(xué)習(xí)能力。

    五、反思“有益”錯(cuò)誤,促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非一蹴而就,需要不斷地反思才能獲得體驗(yàn)、積累經(jīng)驗(yàn)。教師要善于利用多種形式(如自我反思、同伴互助等)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。

    【例4】教學(xué)“圓柱和圓柱”時(shí)有這樣一題:將一個(gè)圓錐形零件完全浸沒(méi)在底面直徑是30厘米的圓柱形玻璃水缸里,這時(shí)水面上升4厘米。這個(gè)圓錐形零件的體積是多少立方厘米?

    生1:這題是求圓錐的體積,所以我想到了圓錐的體積計(jì)算公式,然后在題目中找公式需要的條件,直徑30厘米,高4厘米,很快就完成了。半徑為30÷2=15(厘米),體積為V=[13πr2h=13×π×15×15×4=300π](立方厘米)。小組交流時(shí)同桌問(wèn)我:“圓錐形零件的直徑是30厘米、高是4厘米嗎?”聽(tīng)到這個(gè)問(wèn)題我回過(guò)頭再仔細(xì)閱讀題目,發(fā)現(xiàn)自己錯(cuò)了。圓錐形零件的體積無(wú)法直接計(jì)算,只能利用圓柱形玻璃缸中水上升這一點(diǎn)來(lái)解決。

    (組織全班學(xué)生交流)

    生2:我佩服生1的勇氣,樂(lè)于和同學(xué)交流,敢于面對(duì)自己的錯(cuò)誤并改正。

    生3:解決問(wèn)題時(shí),要弄清題意,理解數(shù)量之間的關(guān)系,不能瞎拼湊,還要注意單位的統(tǒng)一。

    生4:我發(fā)現(xiàn)這題蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化思想,可以用這種辦法測(cè)量不規(guī)則石塊的體積。

    生5:轉(zhuǎn)化思想能把復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單問(wèn)題,它可以幫助我們解決很多疑難問(wèn)題。

    ……

    反思學(xué)習(xí)行為,尤其是對(duì)錯(cuò)題解題過(guò)程的反思,可以幫助學(xué)生加深理解所學(xué)知識(shí),提高自我反思能力,在反思中增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信,堅(jiān)定學(xué)習(xí)意志,促進(jìn)學(xué)生思維成長(zhǎng)。

    心理學(xué)家蓋耶說(shuō):“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤,不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤,就將錯(cuò)過(guò)最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻?!边@也說(shuō)明,教師準(zhǔn)確把握好“最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻”,有效利用“有益”的錯(cuò)誤資源,能更好地引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí),深刻理解所學(xué)知識(shí),完善知識(shí)建構(gòu),發(fā)展數(shù)學(xué)思考,提高核心素養(yǎng),錘煉學(xué)習(xí)品格。

    (責(zé)編 楊偲培)

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