關(guān)于導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”問題的解讀與探究

段惠瑩

[摘? 要] 導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”問題十分常見，探究學(xué)習(xí)需要掌握“隱零點(diǎn)”的含義與確定方法，以及問題突破的方法策略. 文章剖析導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”，歸納解法，并結(jié)合實(shí)例加以探究，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);隱零點(diǎn);單調(diào)性;最值;不等式;范圍

[?] 問題綜述

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)可以求解函數(shù)綜合題，而導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題最終都要?dú)w結(jié)于函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)單調(diào)性與其零點(diǎn)密切相關(guān)，故導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是解題的核心. 實(shí)際問題中導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有兩種類型，從零點(diǎn)是否可精準(zhǔn)求解分為“顯零點(diǎn)”和“隱零點(diǎn)”. 其中“隱零點(diǎn)”指的是能夠判斷其存在，但不能或難以確定其極值. 相對于一般零點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題在解決時(shí)有一定的差異，下面具體探究其解題策略.

[?] 實(shí)例分析

問題：已知函數(shù)f（x）=x2-x-xlnx，試證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)x，使得e-2<f（x）<.

分析：由函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識可知，可導(dǎo)函數(shù)f（x）存在極值的必要條件是f′（x）存在零點(diǎn)x，原函數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=2x-2-lnx，故需要判斷其是否有零點(diǎn). 解題的關(guān)鍵是證明x是唯一的極大值點(diǎn)，后續(xù)需化簡表達(dá)式f（x）.

解析：已知原函數(shù)f（x）=x2-x-xlnx，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=2x-2-lnx，觀察可知f′（1）=0. 令g（x）=2x-2-lnx，則g′（x）=，令g′（x）=0，則x=. 分析可知在

0，

上，g′（x）<0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減;在

，+∞

上，g′（x）>0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增;所以當(dāng)x=時(shí)，g（x）取得最小值. 由于g

=-1+ln2<0，g（1）=0，g（e-2）>0，所以g（x）在

0，

上只有一個(gè)零點(diǎn)x，在

，+∞

上只有一個(gè)零點(diǎn)1.

g（x）的正負(fù)性就是f′（x）的正負(fù)性，可判斷f（x）的極值情形.

分析可知x=x是函數(shù)f（x）唯一的極大值點(diǎn)，并且2x-2-lnx=0，x∈

0，

. f（x）=-

x-

+，所以f（x）<成立;又因?yàn)閒（e-1）=e-2，而e-1∈

0，

，f（x）為極大值，故f（x）>e-2.

綜上可知，e-2<f（x）<.

評析：上述求證x是函數(shù)的極大值點(diǎn)，使得e-2<f（x）<，而原函數(shù)的零點(diǎn)的不易求出故需要通過分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)取值范圍，進(jìn)而證明不等式. 總體來看，其經(jīng)歷了求導(dǎo)函數(shù)、判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性、確定原函數(shù)的最值表達(dá)式等過程.

[?] 策略總結(jié)

導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題的解析過程同樣需要靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，其特殊之處在于需要關(guān)注其中的隱性零點(diǎn)，實(shí)際解析時(shí)把握特征、準(zhǔn)確界定零點(diǎn)取值范圍即可，可采用如下策略逐步突破.

第一步，由零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在，并構(gòu)建零點(diǎn)方程f′（x）=0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定零點(diǎn)的取值范圍;

第二步，將零點(diǎn)作為分界點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)f′（x）的正負(fù)性，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得出關(guān)于函數(shù)f（x）的最值表達(dá)式;

第三步，靈活變形零點(diǎn)方程，將其整體代入最值表達(dá)式中進(jìn)行化簡證明.

同時(shí)對于導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題，需要重點(diǎn)關(guān)注其中的三個(gè)過程，包括零點(diǎn)確定性過程、最值表達(dá)式的變形過程及整體代入過程，具體內(nèi)容如下.

（1）隱性零點(diǎn)確認(rèn)，確認(rèn)隱性零點(diǎn)可直接利用零點(diǎn)存在性定理，也可由函數(shù)的圖像特征，以及題設(shè)條件來推導(dǎo). 而隱性零點(diǎn)的范圍界定，主要由所求問題來決定，解析盡可能縮小其取值范圍.

（2）表達(dá)式的變形過程中，盡可能將復(fù)雜的表達(dá)式變形為常見的整式或分式，特別注意替換其中的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)式，為后續(xù)的探究做鋪墊.

（3）整體代入過程基于的是數(shù)學(xué)的設(shè)而不求思想，對于其中的超越式，盡可能化為常見的代數(shù)式.

[?] 方法實(shí)踐

上述充分總結(jié)了導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題的解題策略，并強(qiáng)調(diào)了解析過程需要重點(diǎn)關(guān)注的三點(diǎn)，該策略適用于多類問題中，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行實(shí)踐探究.

類型一：不等式證明中的“隱零點(diǎn)”

例1 已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R），

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性及極值;

（2）如果函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x和x，試證明-<2.

解析：（1）已知f（x）=lnx-ax，則其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=-a. 分析可知當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）>0恒成立，則原函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值;當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）>0，0<x<，則原函數(shù)f（x）在

0，

上單調(diào)遞增，在

，+∞

上單調(diào)遞減. 所以函數(shù)f（x）的極大值為f

=-lna-1.

（2）可設(shè)0<x<x，則有l(wèi)n

x

-ax=0，

ln

x

-ax=0，可得lnx-lnx=a（x-x），即=，所以--2=，可設(shè)t=>1，則ln>0，2---2ln=2-t--2lnt. 設(shè)g（t）=2-t--2lnt，則g′（t）=<0，即函數(shù)g（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（t）<g（1）=0，從而有<0，即-<2.

評析：上述第（2）問是關(guān)于導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的不等式證明問題，其中的x和x可視為是隱零點(diǎn)，設(shè)定兩者的相互關(guān)系，構(gòu)建代數(shù)式條件是解析的關(guān)鍵，后續(xù)采用整體代入的方式來簡化問題式，并借助導(dǎo)數(shù)研究其取值范圍，整個(gè)思路充分貫徹設(shè)而不求思想，簡化了解題過程.

類型二：函數(shù)范圍問題中的“隱零點(diǎn)”

例2 已知函數(shù)f（x）=（logx）2+4logx+m，x∈

，4，m為常數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)f（x）存在大于1的零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

（2）設(shè)函數(shù)f（x）存在兩個(gè)互異的零點(diǎn)α和β，試求m的取值范圍，并求出α·β的值.

解析：（1）可令logx=t，x∈

，4，則g（t）=t2+4t+m （t∈[-3，2]）. 該問設(shè)定f（x）存在大于1的零點(diǎn)，故方程t2+4t+m=0在t∈（0，2]上存在實(shí)數(shù)根. 由t2+4t+m=0可得m=-t2-4t（t∈（0，2]），所以m∈[-12，0），即m的取值范圍為[-12，0）.

（2）該問設(shè)定α和β是函數(shù)f（x）兩個(gè)互異的零點(diǎn)，則函數(shù)g（t）=t2+4t+m在[-3，2]上有兩個(gè)互異的零點(diǎn)t，t，且t=logα，t=logβ，所以Δ=16-4m>0，

g（-3）≥0，

g（2）≥0，可解得3≤m<4，所以m的取值范圍為[3，4）. 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得t+t= -4，即logα+logβ=-4，所以log（α·β）= -4，可解得α·β=.

評析：上述是關(guān)于參數(shù)取值范圍問題，其中第（2）問設(shè)定了函數(shù)的兩個(gè)互異零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)定義域可將其范圍縮小，并構(gòu)建相關(guān)的方程組，求出m的取值范圍.

[?] 反思教學(xué)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的重要工具，同樣可用于隱零點(diǎn)問題中，上述所總結(jié)的三步策略及注意事項(xiàng)可用于多類型問題求解，是證明不等式、突破函數(shù)最值與范圍問題的強(qiáng)有力的手段，下面開展教學(xué)反思，提出幾點(diǎn)建議.

1. 理解隱零點(diǎn)定義，總結(jié)確定方法

“隱零點(diǎn)”本質(zhì)上還是零點(diǎn)，是基于精準(zhǔn)求解而設(shè)定的零點(diǎn)劃分，學(xué)習(xí)時(shí)需要關(guān)注其本質(zhì)，把握“難以精確定位”和“準(zhǔn)確求極值”對“隱零點(diǎn)”的定義，故“隱零點(diǎn)”的存在性是一定的. 另外需要關(guān)注“隱零點(diǎn)”的確定方法，上述總結(jié)了零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)圖像、題設(shè)條件三種，理解方法原理，掌握方法技巧極為關(guān)鍵. 故教學(xué)中需要注重對“隱零點(diǎn)”兩大內(nèi)容的剖析，一是“隱零點(diǎn)”的定義設(shè)定，二是“隱零點(diǎn)”的確定方法，教學(xué)中可對比“顯零點(diǎn)”，結(jié)合實(shí)例具體探究.

2. 歸納三步策略，強(qiáng)化解析思維

上述所歸納的“三步法”是求解導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”的重要方法，構(gòu)建了“零點(diǎn)判斷→單調(diào)性分析→代入轉(zhuǎn)化”的解析思路. 三步過程之間緊密相關(guān)，具有嚴(yán)密的邏輯順序，嚴(yán)格按照該方法求解可實(shí)現(xiàn)問題的高效作答. 而在實(shí)際教學(xué)中，除了需要指導(dǎo)學(xué)生掌握“三步法”的構(gòu)建思路外，還要注重解題引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的解析思維. 讓學(xué)生親歷探究過程，通過設(shè)問引導(dǎo)來完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從根本上提升學(xué)生的能力.

3. 掌握轉(zhuǎn)換方法，積累變形經(jīng)驗(yàn)

變形轉(zhuǎn)換是求解導(dǎo)數(shù)“隱零點(diǎn)”問題的重要環(huán)節(jié)，將直接確定問題走向，該環(huán)節(jié)需要使用一定的方法技巧. 常見的轉(zhuǎn)換方法有分離參數(shù)、變更主元、整體代換、分離函數(shù)等，對于涉及參數(shù)的不等式問題，可采用分離參數(shù)來簡化，然后基于代數(shù)式構(gòu)造函數(shù)來研究性質(zhì)，同時(shí)配合整體代換實(shí)現(xiàn)函數(shù)的簡潔化，而變更主元常用于導(dǎo)函數(shù)無法求出零點(diǎn)的情形. 教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生掌握上述轉(zhuǎn)換技巧的內(nèi)涵，然后結(jié)合實(shí)例具體講解，幫助學(xué)生積累簡化經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

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