從過程析解幾 切視角探多解

洪海波

[摘? 要] 解析幾何問題可從不同視角來突破，尤其是對(duì)于與幾何結(jié)合緊密的問題，可充分挖掘問題中的幾何屬性，結(jié)合函數(shù)曲線綜合構(gòu)建. 文章以一道拋物線綜合題為例，探索問題解法，剖析問題條件，開展多解探究，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;多解;三角形;面積;模型

[?] 問題突破

問題：平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓F的解析式為（x-1）2+y2=1，點(diǎn)P是圓外的一點(diǎn)，并在y軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到圓F上點(diǎn)的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離，記點(diǎn)P的軌跡為E，回答下列問題.

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程;

（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線與E相交于點(diǎn)A和B，以AB為直徑的☉D與平行于y軸的直線相切，且切點(diǎn)為M，連接DM，設(shè)與E的交點(diǎn)為N，試證明△AMB的面積是△AMN面積的4倍.

解析：（1）點(diǎn)P是圓F外y軸右側(cè)上的動(dòng)點(diǎn)，由條件可知點(diǎn)P到☉F上點(diǎn)的最小距離為

PF

-1，可據(jù)此進(jìn)行思路構(gòu)建，過程如下.

設(shè)點(diǎn)P（x，y），由題意可知x>0，且點(diǎn)F（1，0）. 點(diǎn)P在☉F外，點(diǎn)P到☉F上點(diǎn)的最小距離為

PF

-1，則有

PF

-1=x，即-1=x，化簡(jiǎn)可得E的方程為y2=4x（x>0）.

（2）該問以AB為直徑構(gòu)建了☉D，且平行于y軸的直線與其相切于點(diǎn)M，并以此形成了兩個(gè)三角形，證明△AMB和△AMN之間的面積關(guān)系可分兩步進(jìn)行：第一步，設(shè)點(diǎn)求直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立提取參數(shù)之間的關(guān)系;第二步，構(gòu)建三角形面積模型，將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式，通過代數(shù)式來證明面積關(guān)系，具體如下.

設(shè)過點(diǎn)F的直線與E的交點(diǎn)為A（x，y）和B（x，y），再設(shè)點(diǎn)N（x，y），點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則D

，

. 根據(jù)題意可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1） （k≠0），與拋物線的方程聯(lián)立，有y=k（x-1），

y2=4x，整理可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，則Δ=（2k2+4）2-4k4=16k2+16>0，由韋達(dá)定理提取根與系數(shù)的關(guān)系，有x+x=，則y+y=，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為

，

. 根據(jù)拋物線的定義可知AB=x+x+2=. 可設(shè)點(diǎn)M（x，y），根據(jù)題意可得y=，所以MD=-x. MD為☉D的半徑，則MD=，則-x=+2，從而可解得x=-1，則點(diǎn)M

-1，

. 因?yàn)辄c(diǎn)N

x，

在拋物線上，所以x=，可將點(diǎn)N坐標(biāo)簡(jiǎn)化為

，

. 利用面積割補(bǔ)法構(gòu)建△AMB的模型，則S=S+S，兩小三角形可視為同底三角形，底為MD，結(jié)合點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，有S=MD

y

-y，代入線段MD的長(zhǎng)，可得S=

y

-y. 而對(duì)于△AMN，可視為是以MN為底，點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三角形，則S=MN

y

-y，化簡(jiǎn)可得MN×

y

-y=·

y

-y，綜合可知S=4S，即△AMB的面積是△AMN面積的4倍.

[?] 解后剖析

上述是一道關(guān)于拋物線的解析幾何綜合題，兩問分別求點(diǎn)的軌跡，證明兩三角形的面積關(guān)系，涉及了距離最小、圓與直線相切、幾何面積關(guān)系等內(nèi)容. 兩問特征及考查內(nèi)容具有一定的代表性，可視為是眾多小問題的組合，解析時(shí)可采用逐問突破的策略，下面深入探究.

1. 點(diǎn)軌跡的分析

第（1）問探究點(diǎn)P的軌跡方程，核心條件是“點(diǎn)P到圓F上點(diǎn)的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離”，屬于距離最值問題，其中涉及了動(dòng)點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離關(guān)系. 該問題突破的基礎(chǔ)是“兩點(diǎn)之間，距離最短”的衍生定理，需要充分利用圓的特殊性，把握直徑這一定量，提取圓上相對(duì)于動(dòng)點(diǎn)的“近點(diǎn)”和“遠(yuǎn)點(diǎn)”. 點(diǎn)軌跡的求法較多，常用的有定義法、直譯法、代入法、參數(shù)法等，本問題中完成距離關(guān)系提取后，采用距離直譯的方式更為簡(jiǎn)捷.

2. 面積關(guān)系的論證

第（2）問論證所構(gòu)兩三角形的面積關(guān)系，問題信息較為豐富，同時(shí)具有一定的邏輯順序，因此解析時(shí)需把握?qǐng)D像構(gòu)建的過程，可將題目信息提煉如下：

①過點(diǎn)F的直線與拋物線E交于點(diǎn)A和B;

②以AB為直徑構(gòu)圓，圓心為D;

③平行于y軸的直線與☉D相切于點(diǎn)M.

核心信息為三條，但其中隱含了大量的性質(zhì)條件，信息①中可將AB視為焦點(diǎn)弦;由信息②可得點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn);信息③隱含了核心條件，分析可知點(diǎn)M位于☉D上，DA=DM=BD，直線與☉D相切，則MD⊥直線，而直線平行于y軸，故直線MD平行于x軸，即點(diǎn)M和D位于同一水平線上，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即

y=

y.

3. 原解法的構(gòu)建分析

問題解析需要充分利用提煉的問題條件，以上述第（2）問為例，△AMB為一般三角形，但平行于x軸的線段MD作為分割線，可將原三角形分割為同底異頂點(diǎn)的兩個(gè)小三角形：△AMD和△BMD，故有S=S+S. 實(shí)際上是依托曲線構(gòu)建的“鉛垂”模型，利用同底和兩頂點(diǎn)之間的距離即可完成面積模型轉(zhuǎn)化，也是該問題突破的關(guān)鍵. 該方法常用于與曲線相關(guān)的面積問題，如面積關(guān)系問題、面積最值問題等. 突破過程分為兩步：一是模型構(gòu)建，二是模型轉(zhuǎn)化，最終目的是將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于線段長(zhǎng)、點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)的代數(shù)式.

[?] 多解探究

解析幾何問題的突破思路及解法較為多樣. 對(duì)于本問題，除了上述解法外，所涉兩問還可以從其他視角來構(gòu)建思路. 第（1）問中，還可以利用拋物線的定義來轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng). 而第（2）問中，可把握點(diǎn)N的位置特點(diǎn)，避開模型轉(zhuǎn)化，直接利用線段長(zhǎng)論證兩三角形的面積關(guān)系. 下面開展多解探究，多樣構(gòu)建思路.

1. 軌跡方程的另解

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得x>0，點(diǎn)P在☉F外，則點(diǎn)P到☉F上的最小距離為PF-1，分析可知點(diǎn)P到F（1，0）的距離PF等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離，所以點(diǎn)P位于以點(diǎn)F（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上，則E的方程可表示為y2=4x（x>0）.

2. 關(guān)系論證的多解

設(shè)過點(diǎn)F直線與拋物線E的交點(diǎn)A（x，y），B（x，y），設(shè)直線方程為x=ty+1（t≠0），與拋物線方程聯(lián)立，有x=ty+1，

y2=4x，整理可得y2-4ty-4=0，Δ=16t2+16>0，由韋達(dá)定理可得y+y=4t，則x+x=4t2+2. 點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則D（2t2+1，2t），由拋物線的定義可得AB=（x+1）+（x+1）=4t2+4，設(shè)與☉D相切于點(diǎn)M的直線為l：x=m. 因?yàn)镈M與拋物線相交于點(diǎn)N，則m<0，且DM⊥l，故DM=AB，所以2t2+1-m=（4t2+4），可解得m=-1.

設(shè)點(diǎn)N（x，y），則y=2t，同時(shí)位于拋物線y2=4x上，有（2t）2=4x，可解得x=t2. 因?yàn)?t2，故點(diǎn)N是MD的中點(diǎn)，則有S=2S. 又知點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則有S=2S，所以S=4S.

評(píng)析：上述通過三角形面積代換論證了其中的面積關(guān)系，解法的核心是把握線段的中點(diǎn)，主要有兩個(gè)：一是點(diǎn)N為MD的中點(diǎn)，二是點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，前者需要利用曲線、直線、圓的位置關(guān)系來推導(dǎo)，后者直接由☉D的構(gòu)建過程即可得出.

[?] 教學(xué)建議

1. 深度解讀信息，關(guān)注構(gòu)建過程

本文對(duì)一道以拋物線為背景的解析幾何題進(jìn)行了解法探究，問題圖像復(fù)雜、信息量大. 探究教學(xué)中建議關(guān)注兩點(diǎn)：一是深度解讀信息，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行條件提煉轉(zhuǎn)化;二是開展思路突破，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思路構(gòu)建. 以上述問題為例，對(duì)于核心條件以AB為直徑作圓，要解讀點(diǎn)D在線段AB中的位置;平行于y軸的直線與圓相切，要解讀點(diǎn)D和M的縱坐標(biāo)值相等. 而過程構(gòu)建時(shí)要指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，按照“信息解讀→條件羅列→圖像理解→模型構(gòu)建→問題轉(zhuǎn)化”的思路逐步剖析，讓學(xué)生體驗(yàn)解題過程，感知問題解法.

2. 合理拓展解法，拓寬解題思路

解法多樣是解析幾何綜合題的一大特點(diǎn)，解題探究時(shí)建議合理拓展解法，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角思考問題，探索思路構(gòu)建的方法. 以上述第（2）問的面積關(guān)系問題為例，可從面積模型轉(zhuǎn)化視角入手，結(jié)合面積公式將幾何模型轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的數(shù)式;也可從面積關(guān)系轉(zhuǎn)化入手，把握點(diǎn)坐標(biāo)的位置特點(diǎn)，直接分析三角形面積之間的關(guān)系. 實(shí)際教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生思考問題的解析策略，引導(dǎo)學(xué)生把握問題的函數(shù)與幾何屬性，探討問題的創(chuàng)新解法. 教學(xué)中設(shè)置引導(dǎo)性問題，提煉問題模型，引導(dǎo)學(xué)生探索圖形特征，自主思考，獨(dú)立構(gòu)建，逐步拓寬學(xué)生的解題思路.

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