關(guān)于參變分離法的深入探究

馬晉華

[摘? 要] 參變分離是求解不等式恒成立取值問題的常用方法，可有效規(guī)避分類討論，部分情形中需引入洛必達(dá)法則，同時(shí)參變分離法求解時(shí)會涉及不同階求導(dǎo)情形. 文章對一道試題加以探究，并深刻剖析參變分離法，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);恒成立;參變分離;導(dǎo)數(shù);不等式

[?] 問題初探

參變分離法是求解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題常用的解法，但對于其中一類與恒成立相關(guān)的問題，初步解析來看可用參變分離法，但后續(xù)可能產(chǎn)生一些附屬問題，如計(jì)算求值時(shí)出現(xiàn)分母為零無法計(jì)算、函數(shù)極值無法確定等，下面進(jìn)行深入探究.

問題：已知函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=lnx-，如果f（x）≥0在x≥1時(shí)始終成立，試求a的取值范圍.

分析：f（x）是含有參數(shù)a的復(fù)合函數(shù)，問題可歸為不等式恒成立問題，需要使用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，若用參變分離法解析，則過程如下.

參變分離時(shí)需對分母進(jìn)行討論，當(dāng)x=1時(shí)，有f（1）=ln1-=0，所以f（1）≥0成立.

當(dāng)x>1時(shí)，參變分離原不等式，可得a≤，求不等式在[1，+∞）上恒成立時(shí)a的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)來研究取值.

構(gòu)造函數(shù)g（x）=，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=. 令h（x）=x--2lnx，則h′（x）=≥0，故函數(shù)h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（1）=0，則g′（x）≥0，可知g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，進(jìn)而可知a的取值范圍應(yīng)為a≤g（1），而當(dāng)x=1時(shí)，g（1）的分子、分母均為0，此時(shí)必須使用洛必達(dá)法則才可解決問題，但會存在兩個(gè)問題：洛必達(dá)法則是高等數(shù)學(xué)知識，屬于超綱內(nèi)容，部分省份閱卷可能得不到滿分;對于一般學(xué)生而言，洛必達(dá)法則難以理解，并不能靈活使用.

對于該種情形，開展解題探究需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是關(guān)注該種題型的基本特征，二是關(guān)注問題的基本解法.

[?] 深入解讀

1. 方法解讀

上述問題屬于不等式恒成立的取值范圍問題，求參數(shù)的取值需要借助導(dǎo)數(shù)知識，必然離不開切線思想，即如果f（x）=0，則f（x）≥0在區(qū)間[x，+∞）上恒成立的必要條件為f′（x）≥0，顯然函數(shù)在x處應(yīng)不減，通常實(shí)際問題所給的定義域的端點(diǎn)就為所需的零點(diǎn). 解題時(shí)需要深刻理解切線法在零點(diǎn)處的單調(diào)遞增的思想，這是解題的精髓，也是解題的基本原理. 實(shí)際解題時(shí)可按照如下三步進(jìn)行思路構(gòu)建：

第一步，令f′（x）≥0，確定待求參數(shù)的一個(gè)基本范圍;

第二步，若證明參數(shù)不在該范圍內(nèi)，則不滿足題意;

第三步，第一步所得的參數(shù)范圍是滿足題意的必要條件，故后續(xù)只需證明該范圍為滿足條件的充要條件即可.

2. 問題突破

按照上述解法分析，對于原問題可采用如下方法解答.

已知f（x）=lnx-，在x≥1上f（x）≥0恒成立，可知分母恒大于0，可對其通分，可得f（x）=，令h（x）=（x+1）lnx-a（x-1），則問題變?yōu)樵趚≥1上h（x）≥0恒成立，可得h（1）=0. 由切線思想構(gòu)建思路，令h′（1）≥0，可得a≤2，后續(xù)進(jìn)行解析說明即可.

當(dāng)a≤2時(shí)，通過求導(dǎo)可證該函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，即h（x）≥h（0）=0恒成立.

而當(dāng)a>2時(shí)，h′（x）=lnx+1+-a，h″（x）=≥0，因?yàn)閔′（1）=2-a<0，h′（ea）=1+，所以在（1，ea）上必然存在零點(diǎn)x，故當(dāng)x∈（1，x）時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，則有h（x）<h（1）=0，原命題不成立，即a>2不滿足條件.

3. 問題解惑

上述對一道不等式恒成立問題的解法進(jìn)行了探究，對比兩種解法，顯然解題方法的選擇十分重要. 日常探究就需要關(guān)注問題的特征，解題初始準(zhǔn)確定位問題，確定合適方法，避免陷入誤區(qū)，以及出現(xiàn)超綱內(nèi)容. 尤其在使用參變分離法時(shí)，需要關(guān)注所構(gòu)函數(shù)是否會出現(xiàn)特殊點(diǎn)使其分子、分母同時(shí)為0的情形，造成必須使用洛必達(dá)法則. 同時(shí)掌握切線法的規(guī)避技巧，破除法則限制.

以上述問題為例，解題初始需要定位特殊點(diǎn)（1，0），判斷函數(shù)f（x）經(jīng)過點(diǎn)（1，0）. 而對于一般的復(fù)合函數(shù)，若函數(shù)涉及l(fā)nx，則需將x=1，x=e，x=代入其中;若涉及了ex，則需將x=0，x=1，x=-1代入其中，觀察函數(shù)是否經(jīng)過特殊點(diǎn). 原題中設(shè)定義域?yàn)閇1，+∞），易知特殊點(diǎn)為x=1.

[?] 類題探究

參變分離法廣泛適用于不等式恒成立取值問題，參變分離后可將不等號的兩側(cè)分離為參數(shù)、代數(shù)式，只需求一側(cè)代數(shù)式的最值. 對于較為復(fù)雜的代數(shù)式，可以依托代數(shù)式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)來分析最值. 從導(dǎo)數(shù)階數(shù)來看，可將問題類型分為一階導(dǎo)數(shù)、多階導(dǎo)數(shù)，下面舉例探究.

類型一：一階求導(dǎo)——參變分離

例1：已知函數(shù)f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2），若x≥-2，f（x）≤kg（x），試求k的取值范圍.

解析：由題意可知x2+4x+2≤kex（2x+2），對于任意的x≥-2恒成立，采用分離參數(shù)法解析.

當(dāng)x=-1時(shí)，若上述不等式恒成立，則k∈R;

當(dāng)x>-1時(shí)，可將上式轉(zhuǎn)化為k≥，令h（x）=（x>-1），對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為h′（x）=，分析可知h（x）在x=0處可取得最大值，故k≥h（0）=1;

當(dāng)-2≤x≤-1時(shí)，將上式化為k≤，則h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，說明h（x）在x=-2處取得最小值，故k≤h（-2）=e2.

綜上可知，k的取值范圍為[1，e2].

評析：上述在求解不等式恒成立的參數(shù)取值時(shí)，充分利用了參變分離的方法，并且通過一階求導(dǎo)就確定了所構(gòu)函數(shù)最值，推導(dǎo)出參數(shù)的取值范圍. 而在參變分離解析過程中，需要關(guān)注函數(shù)的定義域，在定義域下進(jìn)行單調(diào)性、取值討論.

類型二：二階求導(dǎo)——參變分離

例2：已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），對于任意的x∈

0，

，f（x）>0恒成立，試求a的最小值.

解析：代入函數(shù)解析式，參變分離，題目轉(zhuǎn)化為關(guān)于x∈

0，

時(shí)，a>2-恒成立.

令l（x）=2-（x∈

0，

），對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為l′（x）=. 再令m（x）=2lnx+-2（x∈

0，

），對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為m′（x）=<0，則函數(shù)m（x）在

0，

上單調(diào)遞減，則有m（x）>m

=2-2ln2>0. 故l′（x）>0，所以函數(shù)l（x）在區(qū)間

0，

上單調(diào)遞增，則有l(wèi)（x）<l

=2-4ln2，故要確保不等式恒成立，只需確保a的取值范圍為[2-4ln2，+∞），即a的最小值為2-4ln2.

評析：上述同為參變分離法，但構(gòu)造函數(shù)完成一階求導(dǎo)后依然難以確定函數(shù)的單調(diào)性，故需要進(jìn)行二階求導(dǎo)，求導(dǎo)過程需要注意區(qū)分函數(shù)、定義域、取值等，這也是導(dǎo)數(shù)問題的難點(diǎn)所在.

[?] 總結(jié)反思

上述深入探究了參變分離法破解不等式恒成立問題的構(gòu)建思路，并剖析了規(guī)避洛必達(dá)法則的技巧，同時(shí)結(jié)合參變分離探究一階求導(dǎo)和二階求導(dǎo)的過程. 參變分離法實(shí)質(zhì)上是一種轉(zhuǎn)化策略，不等式恒成立破解的核心知識依然是導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性分析、最值確定是問題突破的重要環(huán)節(jié). 探究學(xué)習(xí)提出以下兩點(diǎn)建議.

建議一：理解參變分離的本質(zhì)，參變分離是規(guī)避分類討論的方法技巧，是不等式恒等轉(zhuǎn)化的策略，將不等式分離為不等號兩側(cè)是不同的結(jié)構(gòu)，一側(cè)為參數(shù)，另一側(cè)為代數(shù)式，為后續(xù)的函數(shù)構(gòu)造分析打下基礎(chǔ). 參變分離過程中隱含了數(shù)學(xué)的分離思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，理解方法本質(zhì)，感悟思想內(nèi)涵是探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注.

建議二：總結(jié)歸納參數(shù)分離，參變分離法的學(xué)習(xí)要關(guān)注兩點(diǎn)：一是確定變量與參數(shù)，二是參變分離適用的范圍. 前者是參變分離的基礎(chǔ)，后者則是方法應(yīng)用探究的重點(diǎn). 學(xué)習(xí)時(shí)需要注意是否可將變量與參數(shù)分離，分離后所構(gòu)的解析式是否可求出最值. 若如上述引例中出現(xiàn)的情形，則需要提前討論規(guī)避. 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生對常見的恒成立問題進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化、內(nèi)容探究，生成常見的最值情形.

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