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    異面直線所成角問(wèn)題的解法探究

    2021-03-19 22:33:48盛錦星
    關(guān)鍵詞:角度

    盛錦星

    [摘? 要] 異面直線所成角問(wèn)題的難度中等,求角方法較為多樣,可直接通過(guò)平移變換將異面直線轉(zhuǎn)換到同一平面,也可依托空間向量法來(lái)求解. 文章深入探究異面直線所成角問(wèn)題的解法,并反思總結(jié),提出幾點(diǎn)建議.

    [關(guān)鍵詞] 異面直線;角度;平移法;空間向量

    異面直線所成角問(wèn)題是立體幾何常見(jiàn)問(wèn)題類型,解題核心是構(gòu)建異面直線所成的平面角,常用的方法也較為豐富,下面深入探究.

    [?] 引例探究

    例題:在正方體ABCD-ABCD中,已知點(diǎn)E是CC的中點(diǎn),則異面直線AE和CD所成角的正切值為_(kāi)_______.

    分析:充分利用正方體的特性,可得CD∥AB,通過(guò)平行或平移將異面直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面直線AB與AE之間的問(wèn)題. 要求兩者所成角的正切值,將其放置在△ABE中進(jìn)行.

    詳解:在正方體ABCD-ABCD中,可知CD∥AB,所以異面直線所成的角為∠EAB,如圖1所示. 可設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2a,點(diǎn)E是CC的中點(diǎn),則CE=a,進(jìn)一步可求得BE=a. 在Rt△EAB中,有tan∠EAB===,即異面直線AE和CD所成角的正切值為.

    [?] 方法總結(jié)

    上述是一道異面直線考題,主要考查異面直線所成角的相關(guān)知識(shí),對(duì)學(xué)生的空間想象和運(yùn)算能力要求較高. 上述采用了求異面直線問(wèn)題常用的平移法,掌握方法的解題策略十分重要. 平移法求異面直線所成角的基本思想是平移轉(zhuǎn)換,核心內(nèi)容是直線平移或探尋平行直線,以及依托三角形構(gòu)造夾角,一般分三步進(jìn)行,過(guò)程總結(jié)如下.

    第一步,對(duì)異面直線進(jìn)行平移或平行轉(zhuǎn)換,有兩種策略:一是固定一條直線,平移另一條;二是將兩條直線同時(shí)平移到某一特殊位置,構(gòu)成同一平面.

    第二步,構(gòu)建異面直線所成角,或者證明圖形中某一夾角為所求角.

    第三步,依托所求角構(gòu)造三角形,通過(guò)解三角形完成求解.

    另外,對(duì)于異面直線所成角問(wèn)題,需要關(guān)注角度的取值范圍,即取值范圍為

    0,

    ,故完成角度求解后,還需對(duì)其驗(yàn)證.

    [?] 強(qiáng)化拓展

    實(shí)際上可將平移法細(xì)分為三種,分別為中位線平移、直接平移、補(bǔ)形平移,上述引例的平移過(guò)程可視為直接平移,下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步探究其他兩種平移.

    1. 平移破異面——中位線平移

    中位線平移,即把握?qǐng)D形的中位線,利用中位線的平行特性完成平移,解題時(shí)需要關(guān)注圖形中的中點(diǎn),依托中點(diǎn)構(gòu)造中位線.

    例1 已知點(diǎn)A和B在以PC為直徑的球O的表面上,并且AB⊥BC,AB=2,BC=4. 若球O的表面積為24π,則異面直線PB和AC所成角的余弦值為_(kāi)_______.

    分析:本題目較為特殊,依托球考查異面直線所成角、球體的相關(guān)計(jì)算. 可作出圖,取線段的中點(diǎn),利用中位線性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)異面直線平移. 將異面直線放置在三角形中,利用余弦定理得到所求角的余弦值.

    詳解:設(shè)球O的半徑為R,球的表面積為24π,則半徑R=.

    根據(jù)題意構(gòu)圖,分別取PA,AB,BC的中點(diǎn)M,N,E,連接MN,ME,NE,AE,如圖2所示.

    分析可知,PC=2R=2,PA⊥平面ABC. 因?yàn)锳B⊥BC,由勾股定理可得AC==2,PA=2,PB=2. 因?yàn)辄c(diǎn)M和N分別為PA和AB的中點(diǎn),由中位線性質(zhì)可知MN∥PB,并且MN=PB=. 同理可得NE∥AC,且NE=AC=. 進(jìn)一步可推得AE=2,ME=3.

    因?yàn)镸N∥PB,NE∥AC,所以異面直線PB和AC所成角為∠MNE或其補(bǔ)角. △MNE中,已知MN=,ME=3,NE=,由余弦定理可得cos∠MNE==-,所以異面直線PB和AC所成角的余弦值為.

    2. 平移破異面——補(bǔ)形平移

    補(bǔ)形平移法的核心是“補(bǔ)形”,即通過(guò)補(bǔ)充圖形來(lái)實(shí)現(xiàn)平移轉(zhuǎn)換,其中“補(bǔ)形”的目標(biāo)是為了后續(xù)的平移相交,“補(bǔ)形”時(shí)要注意依托圖形固有特征,順勢(shì)生成.

    例2 如圖3所示,在正方體ABCD-ABCD中,已知點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),點(diǎn)N為DD的中點(diǎn),則異面直線BM與CN所成角的大小為_(kāi)_______.

    分析:本題目同樣依托正方體構(gòu)建異面直線,在原有正方體內(nèi)難以直接構(gòu)建平行直接完成平移,可在正方體的右側(cè)“補(bǔ)”一個(gè)正方體,再進(jìn)行平移相交轉(zhuǎn)換,后續(xù)通過(guò)解三角形來(lái)求角度.

    詳解:如圖4所示,在正方體的右側(cè)“補(bǔ)”一個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方體. 取CE的中點(diǎn)為P,由于點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),連接CP,則有CP∥BM,則∠NCP或其補(bǔ)角為異面直線BM與CN所成的平面角.

    再連接NP,設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a,可求得CN=CP=a. 由勾股定理可得NP=a. 由于△NCP的三邊滿足關(guān)系CN2+CP2=NP2,所以∠NCP=90°,即異面直線BM與CN所成角的大小為90°.

    [?] 解法另探

    上述深入探究了求異面直線所成角問(wèn)題的平移法,從建模角度來(lái)看,還可采用空間向量法來(lái)求解. 下面解讀方法原理,并結(jié)合實(shí)例探究.

    空間向量法,即依托所求圖形構(gòu)建空間坐標(biāo)系,分別求出異面直線的向量坐標(biāo),然后利用向量之間的角度關(guān)系來(lái)求解,基本原理如下:設(shè)直線l,m方向的向量分別為a和b,則兩直線所成角θ的余弦值為cosθ=.

    例3 如圖5所示,已知四邊形BCCB為正方形,且AB=BC=2,平面BCCB⊥平面ABC,∠ABC=120°,則異面直線BC與AC所成角的余弦值為_(kāi)_______.

    解析:本題直接構(gòu)建了兩個(gè)相交平面,求異面直線所成角的大小,可以使用空間向量法.

    可以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC為y軸,BB為z軸,在平面ABC中,作x軸⊥y軸,建立圖6所示的空間直角坐標(biāo)系.

    由題意知∠ABC=120°,AB=BC=2,所以點(diǎn)A(,-1,0),點(diǎn)B(0,0,0),點(diǎn)C(0,2,0),C(0,2,2). 所以向量=(-,3,0),=(0,2,2),則異面直線BC與AC所成角的余弦值cos〈,〉==.

    評(píng)析:上述在求異面直線所成角的余弦值時(shí)采用了空間向量法,該方法通常分三步進(jìn)行:第一步是建坐標(biāo)系,求關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo);第二步,求所涉異面直線的向量坐標(biāo);第三步,利用定理求夾角的余弦值. 從解題過(guò)程來(lái)看,空間向量法的程序性更強(qiáng),思維難度較低,只需根據(jù)方法流程求解即可.

    [?] 總結(jié)思考

    上述充分探究了求異面直線所成角的兩種解法,平移法是基于平移變換所構(gòu)建,空間向量法更側(cè)重幾何體系的構(gòu)建,程序性更強(qiáng),兩種解法各具特色,實(shí)際解題時(shí)可根據(jù)問(wèn)題情景靈活選取.

    異面直線所成角的解法探究教學(xué)中,建議關(guān)注以下幾點(diǎn):

    關(guān)注解法本質(zhì),理解方法原理. 開(kāi)展解法探究,要立足方法本質(zhì),讓學(xué)生充分掌握方法原理,如平移法的知識(shí)本質(zhì)就是平行線的性質(zhì),通過(guò)平移來(lái)實(shí)現(xiàn)線段代換.

    關(guān)注方法的構(gòu)建思路,應(yīng)重點(diǎn)教學(xué)方法的使用過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生合理使用,嚴(yán)謹(jǐn)論證,如空間向量法分三步進(jìn)行解題構(gòu)建,每一步環(huán)環(huán)相扣.

    倡導(dǎo)方法拓展,提升學(xué)生思維的靈活性. 上述僅列舉了該類問(wèn)題的兩種常用方法,但不局限于此. 教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維,合理拓展解法,可利用“一題多解”進(jìn)行解法探究,促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.

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