在“過程”中推理

張琴

摘要：推理能力的發(fā)展不是一蹴而就的，而是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過程。教學(xué)中，教師要把推理能力的培養(yǎng)滲透到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)階段。具體來說，可以在知識(shí)的形成過程中發(fā)展歸納推理能力，在知識(shí)的聯(lián)系過程中發(fā)展類比推理能力，在知識(shí)的應(yīng)用過程中發(fā)展演繹推理能力。

關(guān)鍵詞：推理能力 知識(shí)形成 知識(shí)聯(lián)系 知識(shí)應(yīng)用

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把“推理能力”作為核心概念之一。

推理一般包括合情推理和演繹推理：合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理的功能相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。

推理能力的發(fā)展不是一蹴而就的，而是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過程。因而，教學(xué)中，教師要把培養(yǎng)推理能力滲透到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)階段，應(yīng)特別注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程、聯(lián)系過程、應(yīng)用過程，從而提高推理能力。

一、在知識(shí)的形成過程中發(fā)展歸納推理能力

數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性和一般化的特征，它通常（或者說最初）來源（形成）于具體的、特殊的事實(shí)或現(xiàn)象。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體的、特殊的事實(shí)或現(xiàn)象進(jìn)行分析和抽象，去除其物理的、非本質(zhì)的屬性，揭示其數(shù)學(xué)的、本質(zhì)的屬性，即數(shù)和形方面的一般規(guī)律。而這一知識(shí)形成的過程，是學(xué)生思維從具體走向抽象、從特殊走向一般的過程，也是其歸納推理能力發(fā)展的過程。

例如，教學(xué)“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”，教師引導(dǎo)學(xué)生從具體、特殊的例子入手，經(jīng)過有層次的、有梯度的歸納與提升，獲得抽象的、一般的數(shù)學(xué)知識(shí)——

師如果用一個(gè)長(zhǎng)方形表示1元，那么怎么表示0.1元呢？

生把長(zhǎng)方形平均分成10份，其中的1份就是0.1元。

師（出示圖1）看到這個(gè)圖，你還能想到什么數(shù)？

圖1

生我還想到了1/10。

生我發(fā)現(xiàn)1/10元=0.1元。

師如果涂其中的3份呢，我們可以得到怎樣的式子？

生3/10元=0.3元。

師如果涂其中的9份呢？

生9/10元=0.9元。

師觀察這三道算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生十分之幾元都可以寫成零點(diǎn)幾元。

師如果把這個(gè)長(zhǎng)方形壓縮，這就好像一把——

生尺子。

師你能在這把尺子上畫一畫，寫出像前面一樣的式子嗎？

生1/10米=0.1米。

生5/10米=0.5米。

……

師由這幾道算式，你又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

生十分之幾米都可以寫成零點(diǎn)幾米。

師再把這個(gè)長(zhǎng)方形壓縮，發(fā)現(xiàn)什么了？

生一條線段。

師如果把這條線段也平均分成10份，你想表示怎樣的算式，又能發(fā)現(xiàn)什么？

生1/10=0.1，2/10=0.2，4/10=0.4，…，我發(fā)現(xiàn)，十分之幾都可以寫成零點(diǎn)幾。

上述教學(xué)中，有三個(gè)層次的歸納。前兩個(gè)層次是借助生活情境對(duì)十分之幾元可以寫成零點(diǎn)幾元、十分之幾米可以寫成零點(diǎn)幾米的歸納;不同的是，相對(duì)而言，第二層次比第一層次更具一般性，第一層次中的數(shù)是離散的，第二層次中的數(shù)是連續(xù)的。第三層次則是對(duì)前兩個(gè)層次歸納的“再抽象”，即去除量的特征，進(jìn)一步聚焦數(shù)，這種歸納真正抵達(dá)了“數(shù)學(xué)的高度”。

二、在知識(shí)的聯(lián)系過程中發(fā)展類比推理能力

不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間往往也會(huì)有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。因此，教師不能通過“切片”的方式機(jī)械地教學(xué)，而要關(guān)注知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生比較和聯(lián)想，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而這一知識(shí)聯(lián)系的過程，是學(xué)生思維由此及彼、舉一反三的過程，也即類比推理能力發(fā)展的過程。

例如，教學(xué)“圓錐的體積”，教師引導(dǎo)學(xué)生利用知識(shí)間的聯(lián)系，展開類比推理——

師我們?cè)趺赐ㄟ^圖形的運(yùn)動(dòng)得到一個(gè)圓柱和圓錐呢？

生以長(zhǎng)方形的任意一條邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周就可以得到一個(gè)圓柱，以直角三角形的任意一條直角邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周就可以得到一個(gè)圓錐。

生如果以長(zhǎng)為軸旋轉(zhuǎn)，圓柱的底面半徑和高分別等于長(zhǎng)方形的寬和長(zhǎng);如果以寬為軸旋轉(zhuǎn)，圓柱的底面半徑和高分別等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

師考慮得真細(xì)致！

生圓錐的底面半徑和高分別等于三角形的底和高。

師這里有一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)直角三角形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別等于直角三角形的高和底。

師長(zhǎng)方形和直角三角形的面積有什么關(guān)系呢？

生直角三角形的面積等于長(zhǎng)方形的面積的1/2。

師（分別以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和直角三角形的高為軸旋轉(zhuǎn)得到圓柱和圓錐）想一想，圓柱和圓錐之間有什么聯(lián)系？

生圓柱和圓錐等底等高。

師猜想一下，等底等高的圓柱和圓錐體積有怎樣的關(guān)系？

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/2。

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/3。

生我覺得圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/4。

……

師到底是多少，我們不妨用等底等高的圓柱和圓錐來做個(gè)實(shí)驗(yàn)。

（學(xué)生用手中的材料做實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證自己的猜想。）

教學(xué)“圓錐的體積”，教師通常會(huì)直接提供等底等高的圓柱和圓錐，讓學(xué)生進(jìn)行倒沙或倒水的實(shí)驗(yàn)，最終得出圓錐的體積計(jì)算公式。因此，對(duì)于用等底等高的圓柱和圓錐做實(shí)驗(yàn)，學(xué)生往往會(huì)有“從帽子里跑出一個(gè)兔子”一般的驚奇感。上述教學(xué)中，教師很好地運(yùn)用了知識(shí)間的聯(lián)系，發(fā)展了學(xué)生的類比推理能力：從圓柱與長(zhǎng)方形、圓錐與三角形的關(guān)系出發(fā)，由長(zhǎng)方形面積和三角形面積的關(guān)系，類比推理圓柱體積和圓錐體積的關(guān)系。這樣，自然、合理地引入了等底等高的圓柱和圓錐的實(shí)驗(yàn)。

三、在知識(shí)的應(yīng)用過程中發(fā)展演繹推理能力

知識(shí)應(yīng)用是利用知識(shí)（概念、定理、等式等）解決問題的過程。顯然，這一過程通常是從抽象走向具體、從一般走向特殊的演繹推理過程。一方面，教師要精心設(shè)計(jì)問題，可以設(shè)置判斷題、說理題、探究題、證明題等，引導(dǎo)學(xué)生利用演繹推理解決問題;另一方面，教師還要指導(dǎo)學(xué)生演繹推理的方法，不僅要言之有據(jù)，還要言之有理，進(jìn)而言之有序。

雖然小學(xué)數(shù)學(xué)并不強(qiáng)調(diào)演繹推理，但是在很多內(nèi)容的教學(xué)中都可以設(shè)置演繹推理的相關(guān)問題。

例如，教學(xué)“3的倍數(shù)特征”，教師可設(shè)置這樣一道題目：舉例想一想，連續(xù)三個(gè)偶數(shù)的和是幾的倍數(shù)？為什么？學(xué)生不僅能舉出“2+4+6=12，是3的倍數(shù);98+100+102=300，也是3的倍數(shù)”這樣的例子，歸納得到結(jié)論，而且能開展演繹推理的證明：假設(shè)中間數(shù)為a，則另外兩數(shù)分別為a-2、a+2，三個(gè)數(shù)的和是a-2+a+a+2=3a，顯然，3a是3的倍數(shù)。

再如，教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”，教師可設(shè)置這樣一道題：一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是40厘米，較長(zhǎng)邊是較短邊的2倍，它的腰和底分別是多少厘米？此題符合條件的答案只有一種，但是有學(xué)生給出了“腰是10厘米，底是20厘米”的錯(cuò)誤答案，于是其他學(xué)生反駁：因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏痛笥诘谌?，?0+10=20，兩邊之和不大于第三邊，所以這三條邊不能圍成三角形，這個(gè)答案錯(cuò)誤。這就是非常典型的演繹推理。

又如，教學(xué)“平均數(shù)”，教師可設(shè)置這樣一道題：小明班數(shù)學(xué)考試的平均分是92，小華班數(shù)學(xué)考試的平均分是90，小明的分?jǐn)?shù)一定比小華高嗎？請(qǐng)說明理由。充分思考后，學(xué)生這樣表達(dá)：小明班數(shù)學(xué)考試的平均分是92，小明的分?jǐn)?shù)有可能比92低，比如82;小華班數(shù)學(xué)考試的平均分是90，小華的分?jǐn)?shù)有可能比90高，比如100，按照這樣的假設(shè)，小明的分?jǐn)?shù)就比小華低。這其實(shí)就是從平均數(shù)定義出發(fā)的一種演繹推理——盡管不那么嚴(yán)謹(jǐn)。

最后，需要指出的是，以上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三個(gè)階段與三種推理形式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系并不絕對(duì)，有時(shí)甚至是為了敘述的方便。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)階段，各種推理形式不是單獨(dú)出現(xiàn)的，而是表現(xiàn)出綜合性和交替性。