試論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透途徑

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)在于其抽象性的概念、圖形等。教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，使用數(shù)與形結(jié)合的方式使學(xué)生能夠更加高效地理解抽象概念，從而有利于學(xué)生在日常生活中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。本文首先對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的利用價(jià)值進(jìn)行闡述，然后對(duì)數(shù)形結(jié)合的滲透途徑進(jìn)行詳細(xì)介紹。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)思維

引言：高中數(shù)學(xué)知識(shí)不同于初中數(shù)學(xué)，其重點(diǎn)在于學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)。學(xué)生如果對(duì)其中某一項(xiàng)不夠精通，那么將會(huì)產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的厭倦心理，導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績(jī)下降，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也未能得到培養(yǎng)。因此，教師在教學(xué)前設(shè)置課程教案時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分結(jié)合數(shù)學(xué)概念和圖形進(jìn)行講解，幫助學(xué)生深入了解概念及其背后的故事，建立興趣。當(dāng)遇到圖形比較復(fù)雜的問題時(shí)，教師可以抓住問題的本質(zhì)，找到圖形所蘊(yùn)含的代數(shù)知識(shí)，簡(jiǎn)化問題難度。

一、數(shù)形結(jié)合思想的利用價(jià)值

（一）深入理解概念，建立知識(shí)體系

深入理解數(shù)學(xué)概念，能夠有利于學(xué)生對(duì)抽象概念的理解，有利于學(xué)生對(duì)內(nèi)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)建立起邏輯關(guān)系。同時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)和正在學(xué)習(xí)的知識(shí)建立起聯(lián)系，有助于學(xué)生建立起適用于自己學(xué)習(xí)的框架。數(shù)學(xué)概念具有抽象性，是由于概念脫離了具體的事物而建立起來的數(shù)量和幾何關(guān)系。甚至有一些多級(jí)抽象的概念，要想掌握這種概念，必須了解多級(jí)抽象概念本質(zhì)的概念的含義，顯然給學(xué)生帶來了一定的困難。而通過數(shù)形結(jié)合能夠使學(xué)生有效利用概念和圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，解決一些抽象性的問題，使其更加簡(jiǎn)潔直觀，從而提高教學(xué)有效性。

（二）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維，提高應(yīng)用能力

在日常生活中，很多現(xiàn)象都可以運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋。教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)緊密聯(lián)系生活現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)善于利用圖形和生活現(xiàn)象來解決問題。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生提高觀察能力，對(duì)生活中的現(xiàn)象能夠聯(lián)想到數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固，提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，以及在生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略

（一）在概念教學(xué)中的滲透策略

由于學(xué)生在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分別對(duì)幾何和代數(shù)兩個(gè)類別進(jìn)行單獨(dú)學(xué)習(xí)，而未對(duì)兩者之間的聯(lián)系進(jìn)行研究。因此，在高中數(shù)學(xué)課程中，一旦遇到復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生難以運(yùn)用圖形的方式與其建立聯(lián)系。這種情況導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生一種厭倦的心理，再加之教師在教學(xué)時(shí)未能對(duì)幾何和代數(shù)之間的聯(lián)系進(jìn)行深入誘導(dǎo)，學(xué)生更難對(duì)其建立起濃厚的興趣。因此，教師在教學(xué)時(shí)，對(duì)于一些復(fù)雜的概念，應(yīng)該結(jié)合圖形和圖表等，使用更加清晰的表達(dá)方式，讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確并且高效理解抽象概念。例如，在“集合”一課中，教師可以借助數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解概念。其中，圖形有兩種方式，Venn圖和數(shù)軸[1]。在Venn圖中，一個(gè)集合表示著圖形封閉區(qū)域。交集便是兩個(gè)封閉曲線的重合區(qū)域。并集便是兩個(gè)封閉區(qū)域的總體。相比于灌輸式的教學(xué)方式讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，這種數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式能夠讓學(xué)生借助圖形，更加直觀地了解數(shù)量關(guān)系，從而牢牢掌握概念。

（二）在函數(shù)教學(xué)中的滲透策略

函數(shù)教學(xué)方式有三個(gè)部分需要重點(diǎn)注意。一是函數(shù)的表達(dá)方式。二是函數(shù)模型的應(yīng)用。三是現(xiàn)代化教育的應(yīng)用。教師在教學(xué)中可以使用數(shù)形結(jié)合方式對(duì)上述三個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)講解。首先在函數(shù)的表達(dá)方式方面，包括符號(hào)、圖像和文字。其中符號(hào)形式指的是解析式，能夠通過簡(jiǎn)潔的數(shù)字準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)量關(guān)系。圖像表達(dá)方式是指函數(shù)通過繪制曲線的方式進(jìn)行表現(xiàn)。文字表達(dá)方式是指函數(shù)能夠運(yùn)用專業(yè)的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行介紹。學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)之前，只是學(xué)習(xí)了函數(shù)的符號(hào)形式，會(huì)給學(xué)生一種函數(shù)就是解析式的誤導(dǎo)。這種情況導(dǎo)致學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)有先入為主的印象，難以靈活運(yùn)用其他幾種形式來對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析。因此，教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)上述三種表達(dá)方式的靈活運(yùn)用和轉(zhuǎn)化。例如在教學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”這一課時(shí)，教師可以不用直接給學(xué)生灌輸函數(shù)單調(diào)遞增或遞減這一性質(zhì)。相反，教師可以使用動(dòng)態(tài)圖的方式，讓學(xué)生觀察自變量在變化時(shí)，函數(shù)會(huì)有著何種對(duì)應(yīng)變化情況。這便是函數(shù)的圖形表達(dá)方式。此外，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表達(dá)，并使用相應(yīng)的數(shù)學(xué)術(shù)語對(duì)動(dòng)態(tài)圖進(jìn)行描述。這便是函數(shù)的文字表達(dá)方式。通過這種函數(shù)表達(dá)方式的轉(zhuǎn)換，能夠使學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用有進(jìn)一步的掌握，同時(shí)有利于學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的掌握。其次，在函數(shù)模型的應(yīng)用方面，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生牢記一些使用頻率較高的函數(shù)模型，比如雙曲線模型等等。對(duì)函數(shù)模型的記憶能夠幫助學(xué)生對(duì)函數(shù)解析式和圖形建立對(duì)應(yīng)的聯(lián)系，使學(xué)生在解決問題時(shí)能夠快速聯(lián)想到函數(shù)模型，提高解決問題的效率。通過以下三個(gè)方面能夠加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的掌握。一是函數(shù)的背景。教師可以通過向?qū)W生普及函數(shù)背后的故事，提高學(xué)生的興趣。二是函數(shù)的圖形。對(duì)于解析式中的相關(guān)變量，教師可以在對(duì)應(yīng)的圖形上進(jìn)行標(biāo)注，方便學(xué)生理解和記憶。三是函數(shù)的變化。通過觀察解析式和動(dòng)態(tài)圖，讓學(xué)生對(duì)解析式中的變量變化引起的圖形變化進(jìn)行掌握，提高學(xué)習(xí)效率。最后，充分利用現(xiàn)代化技術(shù)，讓圖形帶來的變化用更直觀的方式呈現(xiàn)給學(xué)生。

（三）在幾何教學(xué)中的滲透

在高中的幾何教學(xué)中，分為解析幾何和立體結(jié)合，這一部分重在強(qiáng)調(diào)使用數(shù)量關(guān)系，來解決復(fù)雜度較高的幾何圖案問題。在解析幾何的講解中，教師應(yīng)重點(diǎn)對(duì)圓錐曲線的定義進(jìn)行教授。通過已知變量，使用代數(shù)形式表達(dá)圖形，然后用數(shù)量關(guān)系來解決圖形中的未知變量。例如，在“圓錐曲線與方程”一課中，已知離心率和短軸長(zhǎng)等變量，求解橢圓方程式時(shí)，求解步驟概括為以下三步[2]。首先，使用代數(shù)形式來表示圖形。在該例子中，先列出橢圓的代數(shù)表達(dá)方式。其次，用方程來解決問題。橢圓方程的求解需要離心率、長(zhǎng)短軸長(zhǎng)三者都已知。只要給出任意兩個(gè)變量即可求出第三個(gè)變量，得到橢圓方程。最后，根據(jù)求解出的代數(shù)形式還原成幾何形式。在給出的幾何圖案中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)換技能，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的解析式。在立體幾何中，主要考察兩類問題，分別是面積體積問題和空間位置關(guān)系。圖形的面積和體積求解主要依靠公式的靈活運(yùn)用。對(duì)于規(guī)則的圖形，直接套用公式即可。如果遇到不規(guī)則圖形的情況，可使用任何填充裁剪的方法，以得到規(guī)則圖形，進(jìn)而求解。在空間位置這類問題中，主要對(duì)線面關(guān)系和夾角進(jìn)行討論。這部分要求學(xué)生靈活運(yùn)用輔助線，發(fā)揮邏輯思維能力，并結(jié)合已掌握的圖形變化，迅速且準(zhǔn)確找到切入點(diǎn)并解決問題。

（四）在統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中的滲透

由于數(shù)據(jù)的雜亂無章性，需要借助統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行歸類，并找到數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而提高數(shù)據(jù)的有序性[3]。而在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合主要依靠直方圖等形式，對(duì)數(shù)據(jù)內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行分析，從而有利于學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行研究。統(tǒng)計(jì)學(xué)主要研究?jī)蓚€(gè)方面。其一，回歸分析。例如，在教學(xué)“變量間的相關(guān)關(guān)系”一課中，教師給出一組企業(yè)銷售額和產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生研究?jī)烧咧g關(guān)系。首先，確定相關(guān)變量。其次，分別以兩個(gè)相關(guān)變量為坐標(biāo)軸，畫出散點(diǎn)圖，觀察并分析是否線性相關(guān)。再次，如果非相關(guān)，則計(jì)算出回歸方程。最后，根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算出殘差。若存在異常點(diǎn)，則更新數(shù)據(jù)，并再一次求解回歸方程。上述方法通過將現(xiàn)有數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成圖形的方式，巧妙利用了數(shù)形結(jié)合的思想，能夠給學(xué)生更加直觀的印象，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。此外，在統(tǒng)計(jì)學(xué)的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，主要分析分類變量間的關(guān)系，比如吸煙與患癌的關(guān)系。通過已有的數(shù)據(jù)計(jì)算出占比情況，再借助直方圖等圖形形式，能夠更直觀地分析到兩個(gè)變量之間關(guān)系。最后，通過得到的相關(guān)數(shù)據(jù)求得最后結(jié)果。數(shù)形結(jié)合，不僅能夠使雜亂無章的數(shù)據(jù)變得有序，而且能夠提高學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的敏感性，并鞏固對(duì)抽象的概念的理解程度。

三、結(jié)束語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的影響至關(guān)重要。通過數(shù)形結(jié)合，能夠激發(fā)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。同時(shí)，借助圖形的繪制，能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體框架進(jìn)行建立，形成適合自身的學(xué)習(xí)模式。教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)充分利用數(shù)形結(jié)合思想，將其應(yīng)用在概念教學(xué)、函數(shù)教學(xué)、幾何教學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

參考文獻(xiàn)

[1]鄧文華.論數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].數(shù)碼設(shè)計(jì)，2019，000（006）：64.

[2]范榮.論數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)課教學(xué)中的運(yùn)用[J].教學(xué)考試，2017，000（028）：93.

[3]張茜.高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想研究[D].哈爾濱師范大學(xué).2019.

作者簡(jiǎn)介：江瑤，出生年月：1995.8.4，性別：女，民族：漢，籍貫：福建寧德，職務(wù)/職稱：教師，學(xué)歷：本科，研究方向：高中數(shù)學(xué)，單位信息（單位全名）：廈門市杏南中學(xué)