兩版高中數(shù)學教材“三角函數(shù)”內(nèi)容比較研究

葉立軍 王思凱

【摘 要】 從設(shè)計特征、知識編排、例習題設(shè)置等方面比較兩版教材三角函數(shù)內(nèi)容，得出新版教材特征：體現(xiàn)以生為本的“學材觀”，為學生提供更多學習機會;突出單元任務(wù)群意識，幫助學生加深對知識的整體理解;借助工具“以形助數(shù)”，促進學生對知識的直觀理解;注重三角函數(shù)與生活實際的聯(lián)系，凸顯函數(shù)建模過程.由此提出教學建議：落實“學為中心”的教學理念，培養(yǎng)學生終身學習的能力;注重單元整合，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng);發(fā)揮信息技術(shù)輔助教學的直觀功能，提升學生直觀想象素養(yǎng);重視過程性教學，促進學生數(shù)學思維發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù);高中數(shù)學;教材;比較研究

1 研究背景

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的頒布，正式提出了六大數(shù)學核心素養(yǎng)，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)成為數(shù)學課程的核心目標.數(shù)學教材是數(shù)學課程標準的具體化，編寫以培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為特色的教材，是高中數(shù)學課程改革的主要亮點[1].三角函數(shù)作為一類典型的周期函數(shù)，曾是天文學研究的重要工具，是各國高中數(shù)學課程的核心內(nèi)容之一[2]，其內(nèi)容編排在教材修訂的過程中也發(fā)生了變化.

2 研究目的

根據(jù)教材文本內(nèi)容，從宏觀和微觀兩個角度對教材進行定性和定量分析，比較兩版教材在設(shè)計特征、知識編排、例習題設(shè)置等方面的情況，歸納新版教材特征，并對教師使用新版教材提出教學建議.

3 研究設(shè)計

3.1 研究對象

選擇2019年新版普通高中數(shù)學教科書[3]（下簡稱“新版教材”）和2004版普通高中課程標準實驗教科書[4]（下簡稱“舊版教材”），運用文本分析法和統(tǒng)計分析法，對新舊兩版教材三角函數(shù)內(nèi)容進行比較研究.3.2 研究框架

從宏觀和微觀兩個角度構(gòu)建教材比較模型，得到圖1的研究框架.其中，宏觀比較是從體例結(jié)構(gòu)和章節(jié)設(shè)置兩方面分析兩版教材的三角函數(shù)內(nèi)容;微觀比較是著眼于三角函數(shù)內(nèi)容的知識點和例習題，從知識編排、素材選取、例習題設(shè)置三方面進行分析.

4 研究過程及結(jié)果

4.1 宏觀比較

4.1.1 體例結(jié)構(gòu)

整理兩版教材三角函數(shù)內(nèi)容的體例結(jié)構(gòu)，得到圖2和圖3.

由圖2和圖3可知，兩版教材的體例結(jié)構(gòu)均遵循“章導入——正文——小結(jié)——復習”的順序，但在具體設(shè)置上存在差異.舊版教材共安排43處“思考”“探究”，而新版教材有49處，以問題（鏈）的形式提供學生更多思考機會，突出“問題引導學習”的理念.而且新版教材在“思考”“探究”體例編排中滲透類比、化歸等數(shù)學思想方法，引導學生在問題探究中學會將未知轉(zhuǎn)化為已知.另外，新版教材在各節(jié)均設(shè)置導入語（如圖5），從不同背景引出本節(jié)研究問題，幫助學生明確學習任務(wù)，引領(lǐng)學生數(shù)學思考，并通過聯(lián)系或類比前面所學內(nèi)容呈現(xiàn)學習思路，為學生后續(xù)探究活動提供方法上的引導.

4.1.2 章節(jié)設(shè)置

整理兩版教材三角函數(shù)內(nèi)容的章節(jié)設(shè)置，得到表1.

由表1可知，新版教材將舊版教材的兩章內(nèi)容整合為一章，注重三角函數(shù)內(nèi)容的整體性.具體比較發(fā)現(xiàn)：第一，新版教材以角與弧度作為刻畫圓周運動的預備知識，按照“背景——對象——概念——圖象——性質(zhì)——應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)展開各節(jié)編排;第二，如圖6所示，新版教材以單位圓為紐帶串聯(lián)三角函數(shù)知識，充分發(fā)揮單位圓對學習三角函數(shù)知識的輔助作用，借助其“形”讓學生直觀感知學習對象，強調(diào)知識間的有機銜接.

4.2 微觀比較

4.2.1 知識編排

“三角函數(shù)的概念”和“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）及其應(yīng)用”是三角函數(shù)學習中的重要內(nèi)容，比較兩版教材這兩部分內(nèi)容的知識編排，分別得到表2和表3.

由表2可知，新版教材按照“明確研究對象——分析對應(yīng)關(guān)系——定義——性質(zhì)”的路徑編排知識：（1）將三角函數(shù)的研究對象“周期現(xiàn)象”簡單化為單位圓上點的旋轉(zhuǎn)運動，以“建立數(shù)學模型刻畫點的位置變換情況”任務(wù)引領(lǐng)學生學習，也為后續(xù)學生自然借助單位圓探究內(nèi)容做鋪墊;（2）引導學生探究給定角的終邊與單位圓交點的坐標是否唯一確定并一般化為任意角的情況，突出三角函數(shù)“角的弧度數(shù)與點的橫縱坐標”的本質(zhì)，有助于學生運用已有函數(shù)概念深化對三角函數(shù)定義的理解;（3）借助例題探究三角函數(shù)坐標比的定義引導學生思考三角函數(shù)兩種定義之間的等價性.另外，新版教材刪去正弦線、余弦線等知識，以凸顯單位圓在學習三角函數(shù)內(nèi)容中的重要輔助作用.

由表3可知，新版教材從分析筒車灌溉時盛水桶的運動規(guī)律入手選擇三角函數(shù)構(gòu)建盛水桶運動的數(shù)學模型，得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ），并安排摩天輪實例讓學生經(jīng)歷問題分析、模型建立、模型求解、模型應(yīng)用解決問題的步驟，體現(xiàn)函數(shù)建模的思想.同時，新版教材選擇勻速圓周運動、物理中的周期現(xiàn)象、局部范圍內(nèi)周期變化現(xiàn)象的近似刻畫等實例介紹三角函數(shù)的應(yīng)用，是從三角函數(shù)模型的直接應(yīng)用走向變式應(yīng)用，既體現(xiàn)三角函數(shù)應(yīng)用的豐富性和層次性，又有助于學生更好體會模型的實際應(yīng)用，感悟建模思想.

4.2.2 素材選取

比較兩版教材三角函數(shù)內(nèi)容的素材選取情況，得到圖7.

由圖7可知，新版教材的素材總數(shù)多于舊版教材，但是兩版教材都選擇自然現(xiàn)象（如潮汐）、學科（如簡諧運動）、生理（如血糖濃度）、數(shù)學史（如三角函數(shù)表）等不同素材，注重知識背景的多樣化.具體來看，新版教材精選生活素材，刪去手表校準、電視發(fā)射塔等素材，增加鐘擺擺動、水中浮標上下浮動、琴弦振動等生活中的周期運動變化現(xiàn)象，更體現(xiàn)三角函數(shù)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系.而且新版教材選取水車、摩天輪等現(xiàn)實素材，引導學生經(jīng)歷真實的建立三角函數(shù)模型解決實際問題的過程，凸顯模型的現(xiàn)實應(yīng)用性.

4.2.3 例習題設(shè)置

統(tǒng)計兩版教材三角函數(shù)內(nèi)容的例習題數(shù)量，得到表4.

由表4可知，與舊版教材相比，新版教材的例習題總數(shù)減少，習題和復習參考題的數(shù)量減少，練習的數(shù)量適當增加，例題的數(shù)量無明顯變化.但兩版教材的例習題均包括例題、練習、習題和復習參考題四類，且配備足夠數(shù)量的題目以保證學生鞏固知識的必要訓練.

根據(jù)綜合難度模型[5]，比較兩版教材例習題的綜合難度，得到圖8.

由圖8可知，在背景方面，兩版教材例習題背景的來源單一，以純數(shù)學背景為主，但新版教材的數(shù)值略高于舊版教材，選取花壇、摩天輪等素材，注重知識與生活的聯(lián)系.在數(shù)學認知上，新版教材的數(shù)值明顯高于舊版教材.新版教材增設(shè)多項選擇題以及開放性問題，綜合考察學生三角函數(shù)知識的理解和應(yīng)用，保證必要的數(shù)學思維訓練.另外，兩版教材例習題處于“操作”水平居多，重視三角函數(shù)公式的識記與直接應(yīng)用.

在運算方面，兩版教材的“簡單符號運算”最多，“無運算”次之，大多數(shù)例習題均涉及數(shù)學中常見的三角函數(shù)符號，注重學生對三角函數(shù)值的求解.在推理和知識綜合方面，新版教材的數(shù)量都略高于舊版教材.新版教材刪減直接應(yīng)用公式求解三角函數(shù)值等簡單重復的題目，控制題量的同時注重學生知識的理解和綜合應(yīng)用.

5 ?研究結(jié)論

5.1 新版教材體現(xiàn)以生為本的“學材觀”，為學生提供更多學習機會

新版教材在各節(jié)編排上均設(shè)置節(jié)前導入語，幫助學生把握主要研究問題，并指引思考方向，引領(lǐng)學生數(shù)學思考;而且安排“探究”“思考”等體例，以問題（鏈）驅(qū)動的形式引導學生自主建構(gòu)知識，為學生進行探究學習提供機會和可能.同時，新版教材從學生學習需求出發(fā)，增設(shè)開放性的習題供學生自主開展探究活動，培養(yǎng)學生發(fā)散思維.

5.2 新版教材突出單元任務(wù)群意識，幫助學生加深對知識的整體理解

新版教材圍繞三角函數(shù)是刻畫勻速圓周運動的數(shù)學模型，按照“背景——角與弧度——概念——圖象、基本性質(zhì)——其他性質(zhì)——模型應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)編排章節(jié)內(nèi)容，且各節(jié)均先以導入語引出核心探究任務(wù)，再以問題為中心實現(xiàn)任務(wù)的驅(qū)動.新版教材通過設(shè)置一系列前后關(guān)聯(lián)的探究任務(wù)，展開三角函數(shù)知識的學習過程，既體現(xiàn)了單元任務(wù)群的意識，又注重知識間的有機銜接，有助于學生整體把握三角函數(shù)內(nèi)容.

5.3 新版教材借助工具“以形助數(shù)”，促進學生對知識的直觀理解

新版教材將單位圓作為三角函數(shù)內(nèi)容學習的重要載體，運用信息技術(shù)充分發(fā)揮單位圓的工具性作用，直觀呈現(xiàn)探究問題的信息，并借助單位圓的幾何要素及性質(zhì)讓學生獲得對三角函數(shù)概念、誘導公式等知識的直觀感知，以此建立形與數(shù)的聯(lián)系，以形助數(shù)，幫助學生直觀理解三角函數(shù)知識.

5.4 新版教材注重三角函數(shù)與生活實際的聯(lián)系，凸顯函數(shù)建模過程

新版教材增加鐘擺、水中浮標等生活素材，列舉生活中的周期性運動變化現(xiàn)象，豐富知識的生活背景，并在習題中增加生活背景，體現(xiàn)三角函數(shù)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系.而且新版教材從水車灌溉的實際問題出發(fā)，選擇三角函數(shù)構(gòu)建水桶運動的數(shù)學模型，并以摩天輪、港口水深等典型實例讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模解決實際問題的步驟，突出函數(shù)建模過程.

6 ?研究啟示

6.1 落實“學為中心”的教學理念，培養(yǎng)學生終身學習的能力

學為中心的課堂強調(diào)自主學習先于合作，將學生思考、理解和能力提高放在首位，教師起組織、引導和幫助學生學習的作用[6].教師在課堂中應(yīng)扮演先行組織者的角色，從學生學習需要出發(fā)合理安排教學活動，充分發(fā)揮學生學習的主觀能動性，為學生自主學習提供更多機會，從而幫助學生積累學習經(jīng)驗，發(fā)展終身學習的能力.例如，教師可以通過任務(wù)驅(qū)動的形式帶領(lǐng)學生閱讀章節(jié)導入語，引領(lǐng)學生數(shù)學思考，并借助“探究”“思考”等欄目，設(shè)置合理的腳手架為學生提供探究資源，指引思考方向，激發(fā)學生深度思考.

6.2 注重單元整合，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)

單元教學設(shè)計是在整體思維指導下，統(tǒng)籌重組和優(yōu)化教材內(nèi)容，突出數(shù)學內(nèi)容的主線及知識的關(guān)聯(lián)性，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)[7].教師應(yīng)樹立整體意識，圍繞核心探究任務(wù)，分析并重組教材中具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的知識內(nèi)容，通過單元整合使得局部范圍內(nèi)的知識結(jié)構(gòu)化，幫助學生合理建構(gòu)系統(tǒng)化的認知結(jié)構(gòu).例如，教師可以圍繞函數(shù)性質(zhì)的學習過程整合正、余弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)等內(nèi)容，將之劃分為：①由定義繪制圖象（三角函數(shù)圖象的畫法）;②觀察圖象研究性質(zhì)（周期性等）;③圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以此展開單元教學，使不同知識互相聯(lián)結(jié)，構(gòu)成有機整體，幫助學生積累函數(shù)知識學習的基本經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).

6.3 發(fā)揮信息技術(shù)輔助教學的直觀功能，提升學生直觀想象素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出：數(shù)學教學應(yīng)注重信息技術(shù)與課程的深度融合[8].教師要充分利用信息技術(shù)輔助課堂教學的優(yōu)勢，發(fā)揮幾何畫板、計算機等信息技術(shù)豐富的制圖與動態(tài)呈現(xiàn)功能，通過直觀演示將抽象的數(shù)學知識可視化，借助“形”的直觀幫助學生深化知識理解，提升直觀想象素養(yǎng).例如，教師借助信息技術(shù)動態(tài)呈現(xiàn)任意角的終邊與單位圓交點的坐標變化，讓學生直觀感知交點坐標的唯一確定以獲得對三角函數(shù)概念的本質(zhì)理解;利用信息技術(shù)在單位圓上取點繪制圖象，使學生直觀理解三角函數(shù)的周期性.

6.4 重視過程性教學，促進學生數(shù)學思維發(fā)展

數(shù)學是思維的體操，啟發(fā)學生的數(shù)學思考是數(shù)學教學的關(guān)鍵[9].教師在教學中要引導學生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，在過程性體驗中開展認知活動，啟發(fā)學生數(shù)學思考，鍛煉學生數(shù)學思維.例如，教師可以從數(shù)學活動的三個階段（對經(jīng)驗材料的數(shù)學組織、對數(shù)學材料的邏輯組織、對數(shù)學理論的應(yīng)用）出發(fā)設(shè)計三角函數(shù)模型的教學活動，選取典型實例安排學生依次經(jīng)歷問題分析、建模、求模、用模的過程，讓學生在參與建?；顒舆^程中習得數(shù)學建?；窘?jīng)驗，提升建模能力，促進思維發(fā)展.

參考文獻

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