一道課本習(xí)題的解答修正與教學(xué)啟示

普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》必修第一冊（2019年6月第1版）第156頁拓廣探索第13題：

本題為開放探究題，考查學(xué)生對函數(shù)零點及零點存在定理的理解與應(yīng)用.試題以含參數(shù)的類二次函數(shù)為背景，由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍，需對最高次系數(shù)、判別式進(jìn)行討論.在解決問題的過程中，滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論和數(shù)形結(jié)合思想，是一道培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的好題.

下面筆者給出幾點教學(xué)啟示，供讀者參考.

1 教學(xué)內(nèi)容與要求的變化

本題考查內(nèi)容為必修第一冊第四章《4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）》第一課時《函數(shù)的零點與方程的解》.與上一版教科書相比，新版教科書有幾點重要變化：

1.1 零點定義提前給出

必修第一冊第二章《2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》就給出了二次函數(shù)的零點的定義，用二次函數(shù)的觀點認(rèn)識一元二次方程，為一般函數(shù)零點的定義作了鋪墊.這種由特殊到一般給出定義的方法，既符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的意圖，又遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，幫助學(xué)生從函數(shù)的觀點認(rèn)識方程，領(lǐng)悟函數(shù)的本質(zhì).

1.2 課題調(diào)整，結(jié)論升級

新版教科書的課題由原來“方程的根與函數(shù)的零點”調(diào)整為“函數(shù)的零點與方程的解”，將“函數(shù)的零點”提前，同時將上一版的“結(jié)論”升級為新版的“定理”，并給出了“函數(shù)零點存在定理”的名稱.這種處理加強(qiáng)了該內(nèi)容作為數(shù)學(xué)內(nèi)部應(yīng)用的定位，突出了函數(shù)的核心地位，并將重心放在應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)研究方程的解上，體現(xiàn)了“用聯(lián)系的觀點看待問題”“用新觀點看待舊事物”“用動態(tài)變化的觀點看待靜態(tài)確定的事物”等思想[3].

1.3 例題要求提高

新版教科書第143頁例1：求方程lnx+2x-6=0的實數(shù)解的個數(shù).

本題雖與上一版相同，但卻提高了要求，不僅將該題作為引例使用，而且在教師教學(xué)用書中通過嘗試函數(shù)的取值、放縮判斷函數(shù)值符號f（2）=ln2-20，尋找函數(shù)零點所在的區(qū)間;也可轉(zhuǎn)化為兩個基本函數(shù)g（x）=lnx與h（x）=-2x+6的交點個數(shù).這些解法更符合教學(xué)實際，既有助于提高學(xué)生的估算意識，也拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

2 “函數(shù)零點存在定理”的理解與把握

“函數(shù)零點存在定理”在數(shù)學(xué)分析上是“閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理”的特例，由捷克數(shù)學(xué)家波爾察諾在1817年首先證明.但由于當(dāng)時缺乏實數(shù)理論，證明不嚴(yán)格，后由德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯將這個證明嚴(yán)密化.

可以看出，由含參數(shù)的函數(shù)在某個區(qū)間上的零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍，實際是用函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的必要性，由于必要性不一定成立，解題時要格外小心，不要遺漏情況.當(dāng)然如果給出的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)最多有一個零點，這樣就一定成立了.

參考文獻(xiàn)

[1] 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心等.普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.6.

[2] 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心等.普通高中教科書教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)（人教A版）必修第一冊 [M].北京：人民教育出版社，2019.7.

[3] 章建躍.函數(shù)零點存在定理的育人價值[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2018（5）：封底.

作者簡介 王學(xué)忠（1978—），男，高級教師，臨沂市高中數(shù)學(xué)中心組成員、兼職教研員，致力于高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考研究，發(fā)表論文10余篇.