e、π：“數(shù)”你最好兩奇葩

【摘 要】 在茫茫數(shù)海中，有兩個(gè)大放異彩的數(shù)，一個(gè)是π，一個(gè)是e，它們是“數(shù)”字百花園中的兩朵奇葩.那么，π到底是一個(gè)什么樣的數(shù)？為什么千百年來(lái)，人們對(duì)它尋尋覓覓，孜孜以求？e的應(yīng)用精彩廣泛，尤其在微積分中，可以說(shuō)是微妙有趣.那么e究竟有什么實(shí)際意義？為什么以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)？本文從新的視角對(duì)π和e進(jìn)行觀察、分析和研究，并嘗試探討它們之間的關(guān)系，使廣大讀者認(rèn)識(shí)到數(shù)e和數(shù)π的神秘性和美妙性，拋磚引玉，以此激發(fā)人們對(duì)它們做進(jìn)一步研究.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué);常數(shù);π;e;奇葩

數(shù)字像一部未知世界的百科全書，人類讀這部大書已經(jīng)數(shù)千年，但還遠(yuǎn)未讀懂.數(shù)的稠密性告訴我們，在數(shù)軸上，無(wú)論用怎樣薄的刀片，一刀切下去，總是會(huì)“鮮血淋漓”，因?yàn)橐欢〞?huì)有一個(gè)數(shù)被“殺”死，真是茫?！皵?shù)”海，繁若星辰.在這眾多的數(shù)中，有許多“美麗”的數(shù)，如完全數(shù)（等于除本身之外的全部因子之和的數(shù)，如6，28等），無(wú)理數(shù)（如2、3等），充滿人性的數(shù)（如5，是第一個(gè)大于1的奇數(shù)與偶數(shù)之和，因?yàn)槠鏀?shù)象征著男性，偶數(shù)象征著女性，所以人們把5叫做“愛(ài)情”之?dāng)?shù)）.在數(shù)的“百花園”中，更有兩朵奇葩，神秘莫測(cè)而又圣潔美好，讓人難以 釋“懷”，欲罷不能，那就是被人們叫做圓周率的“π”和自然對(duì)數(shù)的底“e”.

1 眾里尋“π”千百度

π是數(shù)學(xué)中最著名的數(shù)，忘記自然界中所有其它常數(shù)也不會(huì)忘記它， 如果數(shù)字也有諾貝爾獎(jiǎng)，那么π必列其中.

π是什么？是圓周率，即圓的周長(zhǎng)與其直徑的比值，與圓的大小無(wú)關(guān)，是刻畫圓這類圖形最重要的數(shù)據(jù)，但凡涉及“彎曲”、“轉(zhuǎn)動(dòng)”、“角度”等，都要用到圓周率，如求圓的周長(zhǎng)、球的體積、扇形弧長(zhǎng)等，甚至有時(shí)涉及到那些和圓周毫不相關(guān)的地方.幾千年來(lái)，人們多么渴望能準(zhǔn)確求出這個(gè)神秘的數(shù)值??！為了這個(gè)數(shù)值，千百年來(lái)，多少人進(jìn)行了苦苦探索，阿基米德、托勒密、張衡、祖沖之、牛頓等一大批數(shù)學(xué)大家曾經(jīng)為之發(fā)奮，為之著迷，甚至不惜一生的精力.

公元前2000年左右，古巴比倫人取圓周率為3，我國(guó)天文學(xué)專著《周髀算經(jīng)》中也提到“徑一周三”，古埃及人使用時(shí)取之為3.16.古羅馬人使用的圓周率是3.12.著名的古希臘學(xué)者阿基米德，曾取π為317.我國(guó)魏晉時(shí)期的劉徽創(chuàng)造了用割圓術(shù)求圓周率的方法，劉徽之后，研究圓周率最有名的的是我國(guó)南北朝時(shí)期的祖沖之，在公元480年左右計(jì)算的圓周率，準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后七位：3.1415926<π<3.1415927.祖沖之是世界上第一個(gè)把圓周率算到小數(shù)點(diǎn)后七位的數(shù)學(xué)家，這是一個(gè)非常了不起的成就，人們把3.1415926叫做“祖率”，用這個(gè)數(shù)值計(jì)算一個(gè)半徑為10千米的圓面積，誤差不超過(guò)6平方米，然而人們希望算出更為精確的圓周率.

對(duì)π的探索可分為三個(gè)時(shí)期：

早期：十六世紀(jì)末之前，主要是實(shí)驗(yàn)法和幾何法，代表人物是劉徽、阿基米德、祖沖之和荷蘭數(shù)學(xué)家盧多夫·范·柯倫等.此時(shí)π的值多是憑直觀推測(cè)或?qū)嵨锒攘慷?，其值相?dāng)粗略.歷史上π首次出現(xiàn)于埃及，1858年蘇格蘭一位古董商人偶然發(fā)現(xiàn)了在古埃及莎草紙上的π數(shù)值.1610年，荷蘭人為π建立了一座不可思議的紀(jì)念碑，上面刻有盧多夫用262邊形所求的帶有35位小數(shù)的π值，盧多夫?yàn)榇嘶ㄙM(fèi)了畢生精力.

晚期：計(jì)算機(jī)的介入，1946年世界上第一臺(tái)計(jì)算機(jī)問(wèn)世，計(jì)算機(jī)的介入使π的值越來(lái)越精確.1949年，馬利蘭德使用計(jì)算機(jī)，將到π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后2037位;1967年計(jì)算機(jī)將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后50萬(wàn)位數(shù);六年后，又進(jìn)展到100萬(wàn)位，1983年，精確到600萬(wàn)位.2002年，日本東京大學(xué)信息基礎(chǔ)中心宣布，他們已將圓周率計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后12411億位.假設(shè)1秒鐘讀4位，讀完這個(gè)圓周率需要花費(fèi)1萬(wàn)年.

π是一個(gè)無(wú)理數(shù)，這一點(diǎn)被約翰·蘭伯特于1768年證明，π是一個(gè)超越數(shù)，是德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼在1882年證明的，由此也說(shuō)明我們永遠(yuǎn)無(wú)法知道π的精確數(shù)值，可是數(shù)學(xué)家們?yōu)槭裁礇](méi)完沒(méi)了地去計(jì)算它的值呢？除了它能引發(fā)新的概念和思想、檢驗(yàn)軟件的性能，反映一個(gè)國(guó)家的文化發(fā)展水平外，其個(gè)中之味只能去慢慢品，真是眾里尋他千百度.

有人試圖在關(guān)于π的展開(kāi)式中能夠發(fā)現(xiàn)一些東西，例如在π的第710000位開(kāi)始，連續(xù)出現(xiàn)了七個(gè)3，即3333333，在π的第一個(gè)1000萬(wàn)位小數(shù)中，數(shù)字5，7，8也都有各個(gè)長(zhǎng)度為七的數(shù)字串出現(xiàn).長(zhǎng)度為六的數(shù)字串，則有87個(gè)之多，上升數(shù)列23456789出現(xiàn)在小數(shù)點(diǎn)后995998位，下降數(shù)列876543210則始見(jiàn)于第2747956位，讓人詫異的是：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e=2.718281……的小數(shù)部分前六位組成的數(shù)字串“718281”在π的展開(kāi)式中也能找到.神奇的是π小數(shù)點(diǎn)后三位相加恰是第一個(gè)完全數(shù)6，小數(shù)點(diǎn)后7位相加正好是第二個(gè)完全數(shù)28，真是不可思議！有一個(gè)很有趣的故事，故事發(fā)生在19世紀(jì)末，說(shuō)的是有一個(gè)名叫古德溫的醫(yī)學(xué)博士，向印第安納洲立法院提出一條議案，希望將π變成“易理解的”，以固定它的值，可是提議者自己卻沒(méi)有能力知道他想要固定的值是多少，最后不了了之.π是那么的神秘，無(wú)法變成“易理解的”，但是如果我們從“角度”這個(gè)角度去看它，可能就輕易解決了這個(gè)難題，π不就是180°嗎？！一個(gè)普通得不能再普通的角度而已.

2 “e”在燈火闌珊處

在中學(xué)教科書中e是這樣被提出的：以e為底的對(duì)數(shù)就做自然對(duì)數(shù).那么e究竟是一個(gè)什么樣的數(shù)？它到底有什么實(shí)際意義呢？為什么以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)？甚至還比圓周率π還大放異彩呢？

2.1 e的前世今生

π的意義很鮮明，就是一個(gè)圓的周長(zhǎng)與其直徑的比值，那么e的意義是什么？是一個(gè)比值嗎？不是，它是一個(gè)極限值，是單位時(shí)間內(nèi)，持續(xù)的翻倍所能達(dá)到的極限值.人們?cè)谘芯裤y行存款、細(xì)胞繁殖、放射性元素的衰變等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，都要研究當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)的值.于是人們定義：當(dāng)x無(wú)限趨向無(wú)窮大時(shí)1+1xx的值就是e.

因?yàn)橐詄為底編制對(duì)數(shù)表最好，許多式子都能得到簡(jiǎn)化，用“它”是最自然的，且y=lnx的反函數(shù)y=ex的導(dǎo)數(shù)就是其自身，所有把e作為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).e也是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一，有人叫它納皮爾常數(shù)，以紀(jì)念蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾引進(jìn)對(duì)數(shù)，也有人稱它為歐拉數(shù)（Euler number），以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名.e的數(shù)值約是2.71828 1828…，據(jù)記載， 第一次提到e的是約翰·納皮爾于1618年出版的對(duì)數(shù)著作附錄中的一張表——由它為底計(jì)算出的一張自然對(duì)數(shù)列表.第一次把e看為常數(shù)的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）.而已知的第一次用到常數(shù)e是在萊布尼茨給惠更斯的信中，不過(guò)當(dāng)時(shí)并不是用e來(lái)表示的，直到1727年，歐拉才首次用e作為數(shù)學(xué)符號(hào)使用.到1736年，e第一次才在出版物，即歐拉的《力學(xué)》中出現(xiàn).雖然以后也有研究者用字母c表示，但e較常用，終于成為標(biāo)準(zhǔn).用e表示的確實(shí)原因不明，但可能因?yàn)閑是“指數(shù)”（exponential）一字的首字母.也有可能是因?yàn)檫@是歐拉自己名字Euler的首字母，對(duì)此，無(wú)法考證.e是無(wú)理數(shù)和超越數(shù)，由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）于1873年證明的，但最先推測(cè)e是超越數(shù)的是法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾，那時(shí)是1844年.

2.2 e的生活原型

e離我們生活很遠(yuǎn)嗎？到底如何理解e是單位時(shí)間內(nèi)，持續(xù)的翻倍所能達(dá)到的極限值呢？其實(shí)e的生活原型很多，最貼近我們生活的就是利息的計(jì)算，為此首先要理解復(fù)利是怎么回事，就是利息也可以并進(jìn)本金再生利息.本利和的多少，與計(jì)息周期有很大關(guān)系，計(jì)息周期越短，其本來(lái)利和越大，如果計(jì)息周期無(wú)限縮短，本利和會(huì)無(wú)限大嗎？答案是否定的，它的無(wú)限趨近于某一個(gè)數(shù)值，e就現(xiàn)身在該數(shù)值當(dāng)中.

銀行儲(chǔ)蓄可能幫助理解e的內(nèi)涵.假設(shè)在銀行存了1元錢（下圖圓圈所示），存款年利率為1，計(jì)息周期為1年，滿1年后銀行付給利息1元（三角形所示），存款余額為2元（如下圖）.

如果計(jì)息周期改為半年，半年利率是0.5，每半年付一次利息，并且隨即就存入銀行，利息生新的利息（下圖斜四邊形所示），1年存款余額為2.25元.

如果計(jì)息周期為4個(gè)月，并且新產(chǎn)生的利息也隨即存入銀行，利息再生新的利息（下圖六邊形所示），年底的余額≈2.4414元.

圖3如果計(jì)息周期為一天，這樣利滾利的余額≈2.7146元.假設(shè)計(jì)息周期為1秒，每秒都再存入，本利總額額接近2.7182818元，如此下去，總的利息就越來(lái)越接近于并且不會(huì)突破一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是e.用表格可能更清晰.

數(shù)學(xué)家歐拉把這個(gè)極限記作e，e=2.71828…，即自然對(duì)數(shù)的底.

除了復(fù)利計(jì)算以外，事實(shí)上還有許多其他的生活原型，問(wèn)題雖然不都一樣，答案卻都殊途同歸地指向e.比如，其中一個(gè)有名的問(wèn)題就是求雙曲線y=1x底下的面積，雙曲線和計(jì)算復(fù)利會(huì)有什么關(guān)系，可是這個(gè)面積算出來(lái)，卻和e有很密切的關(guān)聯(lián).驀然回首，原來(lái)生活中處處有e.

2.3 e的不同尋常

e在自然科學(xué)中的應(yīng)用不亞于π，放射性物質(zhì)的衰變，地球年齡的考察，生物的繁殖等很多增長(zhǎng)或衰減過(guò)程都要用到e，都可以用自然對(duì)數(shù)函數(shù)模擬問(wèn)題的研究.e還會(huì)在意想不到的地方出現(xiàn)，如最大乘積問(wèn)題：將一個(gè)數(shù)m分成若干等份，要使各等份乘積最大，應(yīng)分成多少份？要解決這個(gè)問(wèn)題便要同e打交道，答案是：使均分成的份數(shù)與me最接近時(shí)或者說(shuō)使等分的各份盡可能地接近e時(shí)，它們的積最大.又如：求y=xx的最大值，也居然與e有關(guān)，就是當(dāng)x=e時(shí)取到，最大值為ee≈1.445;以e為底的指數(shù)函數(shù)，它是唯一的多次求導(dǎo)仍是自己的函數(shù);1592年，15歲的高斯發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)定理：在數(shù)列1，2，3，…，N中，所含素?cái)?shù)數(shù)與N的比值，近似等于1lnN，并且N的值越大，就越接近，直到100年后，素?cái)?shù)定理才被證明.

關(guān)于e，神奇的結(jié)論還有很多，此處不再贅述.

3 金風(fēng)玉露一相逢

π和e是兩個(gè)最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)，兩個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也是兩個(gè)超越數(shù)，但它們誕生的歷程、背景卻極不相關(guān)，應(yīng)該是“風(fēng)馬牛不相及”，可是因?yàn)樗鼈兊纳衿?，多少年?lái)，人們一直試圖探尋它們之間的關(guān)系，還真有不少說(shuō)不清道不明的東西，如π和e的前36位小數(shù)展開(kāi)式中，第13位是相同的，第17，18，21，34位也都是相同的，曾經(jīng)有人以驚人的毅力繼續(xù)干下去，提出一個(gè)猜想：“π和e的小數(shù)展開(kāi)式從大體上說(shuō)來(lái)，平均每10位就要出現(xiàn)一次數(shù)字相同.”對(duì)此猜想，人們不能證明，但也未能否定.如果改變“參照物”，我們以最樸素的二進(jìn)制來(lái)觀察：

這個(gè)恒等式人們把它叫做歐拉公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的兩個(gè)超越數(shù)聯(lián)系到了一起，初看上去沒(méi)什么了不起，仔細(xì)想想，簡(jiǎn)直不可思議！1，0，π，e，i這五個(gè)數(shù)和兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)“+”，“=”.按來(lái)源和出現(xiàn)的歷史順序，它們相差很遠(yuǎn)，1是正整數(shù)也是實(shí)數(shù)的基本單位，出現(xiàn)得最早，0的出現(xiàn)要晚的多，是唯一的中性數(shù)，最小的自然數(shù)，i來(lái)源于代數(shù)，關(guān)于i所代表的數(shù)的合理性討論則是16世紀(jì)以后的事，π來(lái)源于幾何，e來(lái)源于分析，“π”很早就為古巴比倫人和古埃及人所知，至于“e”直到19世紀(jì)，其神秘的面紗才被揭開(kāi)，這7個(gè)在不同歷史時(shí)期出現(xiàn)而又在性質(zhì)上相去甚遠(yuǎn)的不同數(shù)字與符號(hào)，居然統(tǒng)一在一個(gè)如此簡(jiǎn)潔的式子里，真是集簡(jiǎn)潔、和諧、奇異等美學(xué)要素于一身，讓人驚嘆不已.e與π都非常復(fù)雜且看似極不相關(guān)，它們卻能通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)潔公式聯(lián)系在一起，真是驚人，難怪人們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式.

有詩(shī)贊曰：

最美之公式

e頂“ i π”，+ 1 同側(cè)舞，

“= ”擔(dān)平衡， 異側(cè)0似無(wú)，

五數(shù)性各異，兩個(gè)不同符，

相聚在一起，天地古今殊.

金風(fēng)玉露一相逢，便勝卻人間無(wú)數(shù)！“e”和“π”這種關(guān)系，有一首歌詞，似乎為它們量身定做：一個(gè)是閬苑仙葩，一個(gè)是美玉無(wú)瑕.若說(shuō)沒(méi)奇緣，今生偏又遇著他;若說(shuō)有奇緣，如何心事終虛化……（《枉凝眉》）

真是：茫?！皵?shù)”海到天涯，百花園中兩奇葩，金風(fēng)玉露一相逢，數(shù)你最好“e”“π”！

作者簡(jiǎn)介 劉權(quán)華，教育碩士，南京市教育科學(xué)研究所科研員，南京市高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，江蘇省“333”高層次人才工程中青年科學(xué)技術(shù)帶頭人，在省級(jí)及以上期刊發(fā)表教育教學(xué)論文60余篇.主要研究方向：高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)，教師發(fā)展研究.