調和點列及調和線束性質的證明與應用舉例

首都師范大學附屬回龍觀育新學校(102208) 李路軍 李洪景

常在資料上看到一些證明不完整的有關調和點列和調和線束性質的敘述,作為教師只有理清其本質,使用起來才能心明眼亮.本文給出的例子,讓我們更清楚的洞穿題目的意圖及本質,為我們的教學提供了堅實的基礎.本文著重對橢圓中的調和點列及調和線束問題予以討論,實際上所提及的性質在二次曲線系中都是成立的,可類比得出.

調和點列的定義若同一直線上四點G,A,H,B滿足GA×HB=GB×AH,即,則稱A,B調和分割線段GH或G,H調和分割線段AB,A,B,G,H為調和點列(G,H與A,B稱為調和共軛).

一、完全四邊形中的調和點列

1.完全四邊形.兩兩相交又沒有三線共點的四條直線段及它們的六點所構成的圖形稱作完全四邊形,如圖1,ABMCKD是一個完全四邊形.

2.完全四邊形中的調和點列.

圖1

圖2

作為準備,我們考慮如下張角定理:

張角定理[1](本質是正弦定理的面積形式).如圖2,三角形ABC中,D為BC上一點,連接AD,設∠CAD=α,∠BAD=β,則

證明因為S?ABC=S?ABD+S?ADC,所以兩邊同時除以AB·AC·AD,整理得:

完全四邊形中的調和點列[2]如圖3.1,完全四邊形ABMCKD中,設AC與BD的交點為G,連接MG交AD于H,則A,D,H,K為調和點列.

證明設 ∠MAC=α,∠KAC=β,在?AMH,?ABD,?AMD,?ABK中,分別有:

因為sin0,所以;所以

即AH ×DK=AK×DH,則A,D,H,K為調和點列.

根據線段間的數量關系,調和點列有不同的等價形式:

都可以說明點A,D,H,K為調和點列.

圖3.1

圖3.2

如圖3.2 連接KG交AM于L,則點A,B,L,M也為調和點列,這也正是本文要講的調和線束性質2.圖3.2 中有7 線9 點,存在四個完全四邊形,這個圖形也成為完全四點形[3].

二、圓錐曲線中的調和點列

圓、橢圓、雙曲線、拋物線這個家族中,有很多共性,這里以橢圓為例證明.

性質1給定橢圓= 1(a > b >0),過點F(x0,y0)(F不在橢圓上且不為原點)的直線與橢圓交于A,B不同兩點,若點P,F,A,B為調和點列,則點P為直線AB與直線的交點.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,n).當直線AB斜率存在時,設AB方程為y ?y0=k(x ?x0).與橢圓方程聯(lián)立,化簡得:

當?≥0 時,

點P,F,A,B為調和點列,即滿足即2mx0+2x1x2?(x0+m)(x1+x2)= 0;兩根之和之積代入,化簡得:a2y0(m ?x0)k+(mx0b2+a2y20?a2b2)=0.又代入化簡得即有P點在直線上.

如果過F的直線斜率不存在,且與橢圓也有兩個不同的交點時,根據縱坐標間的關系,可驗證P點也滿足直線方程.

綜上,P點恒在直線上.得證.

當點F為(t,0)(?a < t < a,t0)時,點P在直線上;點F為焦點時,點P在相應的準線上.當點F為(0,t)(?b

評注在射影幾何中,直線稱為點F(x0,y0)關于橢圓的= 1(a > b >0)極線,點F(x0,y0)稱為直線的極點.從上面的證明過程可知,過點F(x0,y0)的直線與橢圓交于A,B不同兩點,若點P,F,A,B為調和點列時,點P為直線AB與點F的極線的交點.

所以在圓錐曲線中,調和點列與曲線的極線極點相關.

三、調和線束的兩條性質

調和線束的定義如圖4,如果K,H,D,A是調和點列,直線外一點M與它們的連線稱為調和線束,即直線MK,MH,MD,MA為一簇調和線束.

平面內不過點M也不與KA重合的直線,可以劃分為兩類,一類是與其中一條線束平行;一類是與四條線束都不平行,下面研究它們的性質.

圖4

圖5

調和線束性質1平面內若一條直線與調和線束中的其中一條平行而與其余三條相交,則相交線段被平分.下面僅以與MA平行進行證明.

如圖5,過點D作MA的平行線,分別交直線MK,MH于點C,B,則D為線段CB中點.

證明:?KDC～ ?KAM,所以; 又?DBH～?AMH,所以;又因為K,H,D,A為調和點列,,所以CD=DB,即D為BC中點.則所有與MA平行的直線被MK,MD,MH所截,得到的線段被平分.

如果直線與MH平行,可以過點K作輔助線進行證明.其余類推.

調和線束性質2平面內若一條直線與調和線束都相交,且交于不同的四個點,則相應的交點也成調和點列.下面分四種情況進行證明.

(1)直線與射線MK,MD,MH,MA都相交或者與其反向延長線都相交的情況.如圖6,過點K作一條直線l與直線MD,MH,MA分別相交于點D1,H1,A1,則K,H1,D1,A1為調和點列.

證明過點D1作MA的平行線交MK,MH于E,F兩點.根據性質1,可知D1為EF的中點.

?KED1～ ?KMA1,所以; 又?D1FH1～?A1MH1,所以,則K,H1,D1,A1為調和點列.

根據平行性,平面內與l平行的任意直線與調和線束相交后,相應的四個點也構成調和點列.

圖6

圖7.1

(2)直線與其中三條射線相交,與另一條射線反向延長線相交的情況.僅以與MK反向相交為例.如圖7.1,過點D作一直線l與射線MK反向延長交于點K1,與MH,MA分別交于點H1、A1,則相應的點K1,H1,D,A1成調和點列.

證明過點D作MA的平行線交MK,MH于E,F兩點.根據性質1,可知D為EF的中點.

?K1ED～ ?K1MA1,所以又?DFH1～?A1MH1,所以所以,則K1,H1,D,A1為調和點列.

根據平行性,平面內與l平行的任意直線與調和線束相交后,相應的四個點也構成調和點列.

(3)直線與其中兩條射線相交,與另兩條射線反向延長線相交的情況.這里以與MK、MD反向相交為例.如圖7.2,過點H作一直線l與射線MK、MD反向延長線交于點K1,D1,與MA交于A1,則相應的點K1,H,D1,A1成調和點列.

證明過點K1作MH的平行線交MD1,MA于E,F兩點.根據性質1,可知K1為EF的中點.

?K1ED1～ ?HMD1,所以又?A1FK1～?A1MH,所以,則K1,H,D1,A1為調和點列.

根據平行性,平面內與l平行的任意直線與調和線束相交后,相應的四個點也構成調和點列.

圖7.2

圖7.3

(4)直線與其中一條射線相交,與其余三條射線反向延長線相交的情況.這里以與MA相交為例.如圖7.3,過點A作直線l與射線MK、MD、MH反向延長線交于點K1,D1,H1,則相應的點K1,H1,D1,A成調和點列.

證明過點D1作MA的平行線交MH,MK的反向延長線于E,F兩點.根據性質1,可知D1為E,F的中點.

?H1ED1～ ?H1MA,所以; 又?D1FK1～?AMK1,所以;所以,則K1,H1,D1,A為調和點列.

根據平行性,平面內與l平行的任意直線與調和線束相交后,相應的四個點也構成調和點列.綜上,平面內任意一不過點M的直線都有相應的情況對應.

四、應用舉例

例1(2018年武漢大學自主招生試題[4])已知橢圓的左右焦點為F1,F2,A,B分別為橢圓E的左右頂點,D(1,0)為線段OF2的中點,且

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)若點M為橢圓E上的動點(異于A,B),連接MF1并延長交橢圓E于點N,連接MD、ND并分別延長交橢圓E于P,Q,連接PQ,設直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1,k2,試問是否存在常數λ,使得k1+λk2= 0 恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

圖8

簡析(Ⅰ)

(Ⅱ)如圖8,點D對應的極線是x= 9,設NM、PQ交極線于點R,NP,MQ交極線于點G,則有完全四邊形NMRQGP,連接RD,并延長交NPG于點K,則N,P,K,G為調和點列,RN,RP,RK,RG為調和線束,根據性質2,x軸與線束的相應交點依然為調和點列,設RQ與x軸的交點為I,極線與x軸的交點為H,即F1,D,I,H為調和點列,滿足,把坐標代入,可得,則

圖9

例2(2017年高考北京卷理科第18 題)已知拋物線C:y2= 2px過點P(1,1),過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點.

(I)求拋物線C的方程;

(II)求證:A為線段BM的中點.

簡析(I)拋物線C的方程為y2=x;

例3(2013年高考江西卷理科)橢圓1(a>b>0)經過點,離心率,直線l的方程為x=4.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)AB是經過右焦點F的任一弦(不經過點P),設直線AB與直線l相交于點M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數λ,使得k1+k2=λk3.若存在求λ的值;若不存在,說明理由.

簡析(Ⅰ)

(Ⅱ)如圖10,直線x= 4 是右焦點的極線,所以點M,F,B,A為調和點列,PM,PF,PB,PA為調和線束,由調和線束性質2,則x軸與調和線束相應的交點依然為調和點列,設PM,PB,PA與x軸的交點依次為K,R,X,則K,F,R,X為調和點列,有,則,化簡kPA+kPB=2kPM.

圖10

例4設A,B是橢圓短軸(長軸)的兩個端點,P為平面內任意一點(不在直線AB上),設直線PA,PB與橢圓分別交于E,F,與長軸(短軸)所在直線分別相交于C,D,直線EF與短軸(長軸)所在直線相交于M,則直線PM平分線段CD[5].

簡析如圖11,實際上,此試題可認為是過y軸上一點M(不與原點、A,B重合)作直線交橢圓于E,F,連接AE,BF,相交于一點P,則直線PE,PM,PF被x軸所截,截得的線段被平分.

圖11

設BE與AF的交點與點P的連線與y軸的交點為L,在完全四邊形BFPEMA中,M,L,A,B為調和點列,PM,PL,PA,PB為調和線束,又點M在y軸上,其極線PL一定與y軸垂直,根據調和線束性質1,那么x軸與另外三條線束的相交線段被平分.

圖12

如果點P在橢圓上(不與頂點重合),如圖12,設過點P的切線與x軸交于Q點,M,L,A,B為調和點列,PM,PL,PA,PB為調和線束,根據調和線束性質1,那么x軸與另外三條線束的相交線段被平分,則Q為CD中點.

本文僅僅是對圓錐曲線中的橢圓進行了相應的研究,而在圓、雙曲線、拋物線中也是成立的.

圓錐曲線壓軸題,一向都是思維的難點與計算的痛點,但是如果能先從幾何的角度去認識它,分析它,就有助于對習題的深刻理解,并減少運算.所以人們常說,解析幾何首先是幾何,要有幾何的眼光.調和線束的性質應用,在一些競賽中也常常隱蔽出現(xiàn)[6],只有掌握了其本質,解決問題時才能直入主題,才能站在高處思考問題,故以后的教學中,要有意的培養(yǎng)學生洞察問題本質的意識,不僅僅是“解析”.如果不能從幾何角度解釋,說明我們還沒有找到幾何解釋的方法.