再談導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

湖南省懷化市鐵路第一中學(xué)(418000) 高 用

在近幾年各地高考及模擬試題中,導(dǎo)函數(shù)壓軸題頻繁出現(xiàn)雙變量的問題,此類題型因含有兩個變量,思維量大,解題方法靈活,對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)提出了很高要求.為此,本文通過具體例題的求解談?wù)勄蠼鈱?dǎo)數(shù)中雙變量問題的解題思想和幾種有效方法,希望能對廣大教師同行的教學(xué)有益.

1.等量消元,去二為一

二元變量問題難的主要原因就在于所含兩個變量同時變化難以控制,所以將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量勢在必行.消元,通常是利用變量所滿足的等量關(guān)系進行代換,消去其中一個變量,留下唯一變量,即去二為一,使之成為一元變量問題求解.

例1(2018年高考全國Ⅰ卷理科第21 題)已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:

分析x1,x2為函數(shù)f(x)的極值點,即x1,x2是方程f′(x)= 0 的根,則方程的根與系數(shù)滿足等量關(guān)系,于是可以試著通過這一條件尋找x1與x2的等量關(guān)系,進而利用此等量消元,即而轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解.

解析(1)f(x)的定義域為

(i)若a≤2,則f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.

(ii)若a >2,令f′(x)<0 得,或所以f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

(2)由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)a>2 時,f(x)存在兩個極值點.

由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足x2?ax+1 = 0,所以x1+x2=a,x1x2= 1,不妨設(shè)x1< x2,則x2>1.即

評注一般題目明確給出或者隱含關(guān)于兩個變量的等量關(guān)系,則可以通過這個等量關(guān)系,實現(xiàn)兩變量的相互代換,是能夠消元處理這種問題的明顯信號,而像例1 一樣給出根與系數(shù)的關(guān)系的題目是利用消元求解的常見題型.

2.整體換元,合二為一

如果兩個變量間不存在等量關(guān)系,但可以通過適當(dāng)?shù)卮鷶?shù)變形將兩個變量化為某種結(jié)構(gòu)的整體,常見的如x1?x2,就可以利用換元實現(xiàn)雙變量合二為一的目的,這也是把雙變量轉(zhuǎn)化為單變量的一種有效手段.

例2已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax ?a,a ∈R.

(1)若直線y=g(x)是曲線y=f(x)的一條切線,求a的值;

(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是曲線y=h(x)=f(x)?g(x)上的兩個不同的點,證明:

分析此題條件沒有給出x1,x2的等量關(guān)系,則無法直接消元,可以先嘗試將要證的不等式進行等價變形,不難發(fā)現(xiàn)兩個變量x1,x2能夠化為的整體形式,從而實現(xiàn)整體換元,轉(zhuǎn)化為一元問題求解.

解(1)a=1.

(2)的證法1h(x)=f(x)?g(x)= lnx ?ax+a,則

不妨設(shè)0< x2< x1,則令則

評注判斷是否能夠把兩個變量化為的形式進行整體換元,代數(shù)式中出現(xiàn)lnx是一個標志.另外,除lnx之外的部分要能夠整理成關(guān)于x1,x2的齊次分式,如例2 中,通過提公因式得從而變形得到關(guān)于x1,x2的二次齊次分式

(2)的證法2不妨設(shè)0< x2< x1,令則x1=tx2,t>1,所以

例3已知函數(shù)f(x)=ex,x ∈R.設(shè)a < b,比較的大小,并說明理由.

分析作差比較兩式的大小,由于題目沒給兩變量a,b的等量關(guān)系的條件,于是嘗試整體換元.因為式子中出現(xiàn)了ex,作差之后不能像例2 一樣出現(xiàn)兩變量的商但可以通過提公因式,使得指數(shù)出現(xiàn)兩變量的差b ?a,所以試圖將兩個變量整理成b ?a的形式實現(xiàn)整體換元.

解法1設(shè)

設(shè)x=b ?a,并令g(x)=x+2+(x ?2)·ex,x>0,則g′(x)=1+(x ?1)·ex.

因為g′′(x)= (1+x ?1)·ex=x·ex>0,所以g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g′(0)= 0,因此g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而g(0)= 0,所以在(0,+∞)上g(x)>0,即g(x)=x+2 +(x ?2)· ex>0.所以故當(dāng)a < b時,

事實上,此題也可以將不等式等價代數(shù)變形,化為對數(shù)形式,于是就可以把兩變量整理成商的形式實現(xiàn)整體換元了.

解法2要證明亦即證明

令x=eb,y=ea(x > y >0),不等式等價于變形得:即

評注整體換元求解雙變量問題時,一般地,若代數(shù)式中出現(xiàn)lnx,則將兩個變量化為商的形式整體換元,如果出現(xiàn)的是ex,就將兩個變量化為差的形式整體換元.當(dāng)然,通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形可以實現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)的互換.

3.對稱分離,化二為一

例4已知?ax+(a ?1)lnx,a >1.證明:若a <5,則對任意x1,x2∈(0,+∞),x12,有

分析不難發(fā)現(xiàn)要證的不等式中兩個變量x1,x2在結(jié)構(gòu)上是對稱的,而且容易分離,于是將兩個變量分離之后便可以得到g(x1)> g(x2)的形式,結(jié)合題意,對任意x1,x2∈(0,+∞),g(x1)> g(x2)成立,從而轉(zhuǎn)化為g(x)的單調(diào)性來求解.

解析不妨設(shè)x1> x2>0,原不等式等價變形為f(x1)?f(x2)>?(x1?x2),即f(x1)+x1>f(x2)+x2.

設(shè)g(x)=f(x)+x,則

由題意,要證對任意x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,恒成立,即要證明g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

評注例3 是一種特定題型,同時也很常見.當(dāng)不等式中的兩個變量對稱并且能夠分離,不等式又是對兩個變量在某區(qū)間恒成立,則可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義將問題轉(zhuǎn)化為單調(diào)性進行處理,從而將雙變量x1,x2轉(zhuǎn)化為單變量x,然后利用導(dǎo)數(shù)工具求解即可.從最終效果來說,對稱分離,轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性,實現(xiàn)了將兩個變量化二為一.

4.指定主元,分二為一

例5已知函數(shù)f(x)=aex+b在(0,f(0))處的切線為x ?y+1=0.

(1)求f(x)的解析式;

(2)設(shè)A(m,f(m)),B(n,f(n)),m < n,k表示直線AB的斜率.求證:f′(m)

分析雖然要證的不等式中兩個變量是對稱的,但是不能分離,也不能化為商或差的形式整體換元,此題可以嘗試指定其中一個變量為主變量,另一個為參數(shù),把問題當(dāng)成一個變量來處理.

解析(1)因為(0,f(0))在切線x ?y+1 = 0 上,則f(0)= 1,即切點為(0,1),而切點又在函數(shù)f(x)=aex+b的曲線上,則b=1.于是f(x)=aex+1,f′(x)=aex,由題意f′(0)=1,即a=1,所以f(x)=ex+1.

(2)f′(m)< k < f′(n)即變形得(n ?m)em

令g(n)=(n?m)em?en+em=nem?en?mem+em,n > m,則g′(n)=em?en<0,所以g(n)在(m,+∞)上單調(diào)遞減,故g(n)

令h(n)=en?em?(n ?m)en=(1?n+m)en?em,n>m,則h′(n)=(m?n)en<0,所以h(n)在(m,+∞)上單調(diào)遞減,故h(n)

綜上,(n ?m)em< en?em<(n ?m)en,于是得證.

評注指定主元,利用這個變量構(gòu)造函數(shù)處理完后,若還剩下另一個變量,則只需把剩下的這個變量作為函數(shù)變量進一步處理即可,如例5 中得g(n)< g(m),若g(m)不是0 而是關(guān)于m的式子,則把m作為變量繼續(xù)證明這個關(guān)于m的式子小于0.可以看出,指定主元這種處理方法的根本出發(fā)點就是將兩個變量分成主次,依次逐個擊破,分而化解,在分開逐個處理的每一個過程中就都成了單變量問題,即謂之分二為一.

結(jié)束語

綜上所述,求解二元變量問題的核心是轉(zhuǎn)化成一元變量,這是數(shù)學(xué)中多元化一元的基本思想.上述的利用等量關(guān)系消元、整體換元(比值、差值)、對稱分離變量,轉(zhuǎn)化為單調(diào)性、指定主元,分開處理等求解方法,就是在這一思想的指導(dǎo)下,利用題目的特有條件將二元變量問題轉(zhuǎn)化為一元變量問題的不同手段.不管題目如何變化,萬變不離其宗,本質(zhì)就是如何將二元轉(zhuǎn)化為一元的問題!