運用向量簡證三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式

云南省玉溪市第一中學(xué)(653100) 武增明

若?ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,頂點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),內(nèi)心O(x0,y0),則

為了便于廣泛交流,把此結(jié)論稱之為三角形內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)公式,即三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式.

三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式,文字表述簡潔,符號表述漂亮,結(jié)構(gòu)優(yōu)美,十分有趣,讓人賞心悅目,享受到數(shù)學(xué)之美,感受到數(shù)學(xué)的魅力,且有著廣泛的用途.由此引起筆者極大的探究興趣與熱情,筆者查閱了大量的資料,沒有找到三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式的證明記錄.筆者反復(fù)思考,反復(fù)推算,調(diào)整思維,受文[2]的啟示,筆者想到運用向量探究三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式的簡證,獲得成功,形成此文,與大家分享、共賞.

簡證1因為點O是?ABC的內(nèi)心,連接AO并延長交邊BC于點D,連接BO,CO,如圖1,則由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理,有所以于是

圖1

②代入①,得

因為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),O(x0,y0),所以由③,得a(x1?x0,y1?y0)+b(x2?x0,y2?y0)+c(x3?x0,y3?y0)=0 即

所以ax1+bx2+cx3?(a+b+c)x0=0,ay1+by2+cy3?(a+b+c)y0=0 故

簡證2連接AO,作OD ⊥AC交邊AC于點D,如圖2.設(shè)?ABC的內(nèi)切圓半徑為r,則OD=r.因為AO平分∠BAC,所以可設(shè)?→AO=,所以

圖2

因為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),O(x0,y0),所以

故而(a+b+c)(x0?x1)=b(x2?x1)+c(x3?x1)

(a+b+c)(y0?y1)=b(y2?y1)+c(y3?y1)

說明同理,可得