一道幾何賽題的探究與推廣

廣東省深圳中學(xué)(518001) 邱際春

1 問題提出

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生在《1978年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題解》一書的前言中提到了下面一道具有豐富內(nèi)涵的幾何題:

題目[1]若凸四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點(diǎn)F,G.求證:

華羅庚先生指出這個(gè)問題包含了射影幾何的基本原理,從結(jié)論可以看出,給定K,F,L三點(diǎn)時(shí),可以僅用直尺作圖便可找出點(diǎn)G,使得F“內(nèi)分”KL的比例,等于G“外分”KL的比例.張景中院士在《幾何新方法和新體系》[1]與《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》[2]中均摘錄了這一問題,并對此作了深入地分析,提出了以共邊定理為基礎(chǔ)的多種解法.

筆者在“巨人”的肩膀上對這一幾何問題進(jìn)行多角度探究,得到一些有意義的結(jié)論.

圖1

圖2

2 解法探究

首先,我們來看華羅庚給出的用中學(xué)生所掌握的知識(shí)可以解決的方法.

證法1如圖2,設(shè)?KFD中KF邊上的高為h,利用2S?KFD=FK · h=DF · DKsin ∠FDK,可得進(jìn)而再求出與的類似表達(dá)式.于是

類似地,有

評注事實(shí)上,若讀者熟悉三角形的又一面積公式

也容易證得這一結(jié)論.

其次,考慮到題目中涉及直線的相交和同一直線上的線段比,故可用共邊定理將線段比化為面積比,把面積比化為線段比,在兩種幾何量的反復(fù)轉(zhuǎn)化中解決問題.

證法2由共邊定理可得

評注顯然,上述證法非常簡明.若考慮適當(dāng)添加輔助線后亦可證得,例如在圖3中連接CF,則有

圖3

圖4

在圖4中連接AF,則有

最后,容易看出圖形中隱含“三線共點(diǎn)”和“三點(diǎn)共線”的條件,故可直接用塞瓦定理和梅涅勞斯定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

證法3注意到對于點(diǎn)B與?DKL,應(yīng)用塞瓦定理可得對于直線AG截?DLK,截點(diǎn)依次為A,C,G,應(yīng)用梅涅勞斯定理可得

評注在數(shù)學(xué)競賽試題中,當(dāng)題設(shè)條件或所證結(jié)論涉及“三點(diǎn)共線”與“三線共點(diǎn)”時(shí),常常利用梅涅勞斯定理和塞瓦定理來解決.

3 變式探究

由于上述幾何問題所要證的K,F,L,G是同一直線上的四個(gè)點(diǎn),而圖形中這樣的點(diǎn)還有很多,例如D,M,B,F;A,M,C,G,以及延長BC與DG交于點(diǎn)N的K,B,C,N,等等.因此,我們對上述幾何問題進(jìn)行探究,可以得到下面幾個(gè)變式題.

變式1若凸四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC相交于點(diǎn)M,且對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點(diǎn)F,G.求證:

圖5

證法1由共邊定理可得

證法2注意到對于點(diǎn)C與?ABD,應(yīng)用塞瓦定理可得對于直線KL截?ABD,截點(diǎn)依次為K,F,L,應(yīng)用梅涅勞斯定理可得

變式2若凸四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC相交于點(diǎn)M,且對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點(diǎn)F,G.求證:

圖6

證法1由共邊定理可得

證法2注意到對于點(diǎn)B與?ACD,應(yīng)用塞瓦定理可得對于直線KG截?ACD,截點(diǎn)依次為K,L,G,應(yīng)用梅涅勞斯定理可得

變式3若凸四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點(diǎn)F,G,邊BC延長后與直線DG交于點(diǎn)N.求證:

圖7

證法1由共邊定理可得

證法2注意到對于點(diǎn)A與?CKL,應(yīng)用塞瓦定理可得對于直線DG截?CKL,截點(diǎn)依次為D,N,G,應(yīng)用梅涅勞斯定理可得

評注事實(shí)上,上述變式題也可用面積法和消點(diǎn)法來解決.此外,連接BG分別交直線DK,DL于點(diǎn)P,Q,還有等結(jié)論.

4 拓展延伸

4.1 直接推廣

考慮到凸四邊形只是較為特殊的一種平面四邊形,相應(yīng)的還有凹四邊形和星形四邊形,故可將凸四邊形推廣至平面四邊形,從而得到下面的幾何問題.

推廣1若平面四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點(diǎn)F,G.則有

分析若平面四邊形ABCD是凸四邊形,則證明方法同原題目;若平面四邊形ABCD是凹四邊形(如下圖8),則證明方法同變式2;若平面四邊形ABCD是星形四邊形(如下圖9),則證明方法同變式1.

圖8

圖9

推廣2若平面四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC相交于點(diǎn)M,且對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點(diǎn)F,G.則有

推廣3若平面四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC相交于點(diǎn)M,且對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點(diǎn)F,G.則有

推廣4若平面四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC相交于點(diǎn)M,且對角線BD,AC延長后分別與直線KL交于點(diǎn)F,G,邊BC延長后與直線DG交于點(diǎn)N.則有

評注事實(shí)上,推廣1 至推廣3 相互等價(jià),而推廣4 的證明也大同小異,故留給讀者思考,不再贅述.

4.2 利用調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)進(jìn)行拓展

圖10

我們觀察圖1發(fā)現(xiàn),其中蘊(yùn)含下面一個(gè)基本圖形——完全四邊形.這是由兩兩相交且沒有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,如圖10.與完全四邊形聯(lián)系緊密的是調(diào)和點(diǎn)列,這涉及到線段的內(nèi)分點(diǎn)與外分點(diǎn),我們設(shè)兩點(diǎn)C,D內(nèi)分與外分同一線段AB成同一比例,即則稱點(diǎn)C和D調(diào)和分割線段AB,或者A,B,C,D是調(diào)和點(diǎn)列.因此,原題目中K,L,F,G成調(diào)和點(diǎn)列,變式1 至變式3 中的A,C,M,G;D,B,M,F;K,C,B,N均為調(diào)和點(diǎn)列.

接下來,我們介紹有關(guān)調(diào)和點(diǎn)列的兩個(gè)性質(zhì)[3]:

性質(zhì)1若A,C,B,D是共線的四點(diǎn),則C,D調(diào)和分割線段AB的充要條件是AB·CD=2AD·BC=2AC·BD;

性質(zhì)2若A,C,B,D是共線的四點(diǎn),過共點(diǎn)直線外一點(diǎn)O引射線OA,OC,OB,OD,則C,D調(diào)和分割線段AB的充要條件是另一直線l分別交射線OA,OC,OB,OD于點(diǎn)A′,C′,B′,D′,點(diǎn)C′,D′調(diào)和分割線段A′B′.

根據(jù)上述兩個(gè)性質(zhì),可進(jìn)一步探究得到下面兩個(gè)結(jié)論:

推廣5若凸四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,對角線BD,AC相交于點(diǎn)M,且過點(diǎn)M的直線分別交AD,BC,KL于點(diǎn)P,Q,G.則有

分析如圖11,延長BD與KL交于點(diǎn)F,且連接KM.注意到過點(diǎn)K的四條線束KD,KM,KC,KL均被兩條直線DF,PG所截.又由變式1 的結(jié)論可知D,B,M,F成調(diào)和點(diǎn)列,從而由性質(zhì)2 知P,Q,M,G是調(diào)和點(diǎn)列,故

圖11

評注特別地,當(dāng)直線PG繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與DF重合時(shí),推廣5 便退化為變式1.

推廣6若凸四邊形ABCD的兩邊AD,BC延長后交于點(diǎn)K,兩邊AB,CD延長后交于點(diǎn)L,過點(diǎn)D的直線分別交AC,AL,CK,KL于點(diǎn)E,F,P,Q,延長KL,AC交于點(diǎn)G,延長GB分別交DL,DQ于點(diǎn)H,I.則有

圖12

分析如圖12,延長BD分別交AC,KL于點(diǎn)M,N,連接DG,則由變式1 可知故D,B,M,N成調(diào)和點(diǎn)列.考慮過點(diǎn)G的四條直線GD,GA,GF,GK分別與直線DN,DQ交于點(diǎn)D,M,B,N和點(diǎn)D,E,I,Q,從而由性質(zhì)2 知D,I,E,Q成調(diào)和點(diǎn)列,故由性質(zhì)1 可得DI ·EQ=2DQ·IE=2ED·QI.

同理可知,K,L,N,G成調(diào)和點(diǎn)列,考慮過點(diǎn)B的四條直線BK,BN,BL,BG分別與直線AG,DQ交于點(diǎn)K,N,L,G和點(diǎn)P,D,F,I,從而由性質(zhì)2 知P,F,D,I成調(diào)和點(diǎn)列,故由性質(zhì)1 可得PF ·DI=2PI·FD=2PD·FI.

由上述兩式可得

從而

故

評注特別地,當(dāng)直線DQ繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與DB重合時(shí),則推廣6 退化為變式1.