活躍在競賽中的構(gòu)造局部不等式法

安徽省蕪湖市無為縣第三中學城北校區(qū)(238300) 朱小扣

筆者發(fā)現(xiàn)構(gòu)造局部不等式在證明競賽題與數(shù)學通訊等期刊的征解題中有著重要的作用,本文將從四個角度去構(gòu)造局部不等式,以期拋磚引玉.

一．利用切線法構(gòu)造局部不等式

例1(2015年安徽省初賽第9 題)設(shè)正實數(shù)a,b滿足a+b=1.求證:

證明易知處的切線方程是y=2?x,故只需證

①+②即證.

用切線法可以解決很多題目,如數(shù)學通訊問題332:

例2(數(shù)學通訊問題332)已知正數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx≤3,求證:

證明先證:

注意到

故①成立.同理:

①+②+②得:

令a=xy,b=yz,c=zx,則問題轉(zhuǎn)化為在:a+b+c≤3的條件下,求證:

由切線法得只需證:

由于4 ≥(1+a)(3?a)?(a ?1)2≥0,故④成立.同理:

④+⑤+⑥得:

故原命題得證.

二．利用割線法構(gòu)造局部不等式

例3已知a,b,c ∈R+,a+b+c=1,求證:

證明可知在(0,1),兩點的割線方程是故只需證在(0,1)上恒成立即可.由于

當0< x <1 時恒成立,于是,即證.

上述例題用割線法可以很快解決,又如數(shù)學通訊問題399:

例4(數(shù)學通訊399 問題)已知?ABC,記BC=a,CA=b,AB=c,求證:

證明由于不等式是齊次的,可設(shè)a+b+c=1,因為三角形任意兩邊大于第三邊,故a,b,.原命題等價于:當a,b,時,求證:

令

故上述不等式成立.于是,

三式相加得:

即

故原不等式得證.

三．利用均值不等式構(gòu)造局部不等式

例5已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z= 1,求證

證明由得:

同理可得:

故只需證明:

事實上,

故原不等式得證.

例6(數(shù)學通訊398 問題)已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c≤12,求證:abc≤2a+5b+10c.

證明記S=2a+5b+10c,以下證明:

當且僅當a=5,b=4,c=3 時取等號即證

本題證明是筆者采用文[2]中類似的構(gòu)造方法寫出來的,令人疑惑的是為什么這樣構(gòu)造局部不等式,原因如下:

先猜想當a=5,b=4,c=3 時取等號,于是配湊:

此法還可以解決很多類似的題目.

四．利用支撐函數(shù)構(gòu)造局部不等式

例7(數(shù)學通訊390 問題)已知正數(shù)a,b,c,d且滿足abcd=1,求證:

證明嘗試構(gòu)造支撐函數(shù):由

令

則

易得f′(1)=0,

而

故可得:

于是,f′(x)單調(diào)遞減,由f′(1)= 0 易得,當x ∈(0,1)時,f′(x)>0,x ∈(1,+∞)時,f′(x)<0.從而f(x)≤f(1)=0,即證①式.于是,

四式相加,即證.

此種方法有別于切線法的“以直代曲”,這是“以曲代曲”,又如:

例8(2004年波蘭奧林匹克)已知正數(shù)a,b,c且滿足a2+b2+c2=1,求證:

證明嘗試構(gòu)造支撐函數(shù):.由

以下證明:

注意到

故①式恒成立,從而

三式相加,即證.

類似地,還可以解決很多不等式競賽題,如:2005年摩爾多瓦競賽題等.

五.總結(jié)

以上闡述了四種構(gòu)造局部不等式證明試題的方法,正是“花開四朵,各自妖嬈.”當然,能用構(gòu)造局部不等式去證明的題目可能遠不止這四種,希望大家能繼續(xù)研討升級.