尋找隱直線解決非直線問題*
——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的試題研究

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 肖建平

直線是非常直觀的,借助函數(shù)圖像的切線(分界線)解題,具有非常強(qiáng)的視覺感受.切線是曲線割線的極限位置,它反映了曲線的局部的幾何性質(zhì).如果我們能夠?qū)ふ业胶瘮?shù)隱藏的直線(切線或者分界線)進(jìn)行解題,往往可以簡化運(yùn)算,為解題帶來極大的方便.本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角,結(jié)合GeoGebra 軟件畫圖,來研究近年高考(模擬)題,探討尋找隱直線(切線或者分界線)解決非直線問題.

使用GeoGebra 軟件畫圖,可以直觀的看出函數(shù)圖像的彎曲方向,從而涉及到函數(shù)的凹凸性.曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的下(上)方的曲線稱為凸(凹)的,相應(yīng)的函數(shù)稱為凸(凹)函數(shù).

定義[1]設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,x2和任意實(shí)數(shù)λ ∈(0,1)總有f(λx1+(1?λ)x2)≤λf(x1)+(1?λ)f(x2),則稱f為I上的凸函數(shù).反之,如果有f(λx1+(1?λ)x2)≥λf(x1)+(1?λ)f(x2),則稱f為I上凹函數(shù).

定理[1]設(shè)稱f為I上的可導(dǎo)函數(shù),則下述論斷互相等價(jià):

1°f為I上的凸函數(shù)；

2°f′為I上的增函數(shù)；

3°對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,x2,有f(x2)≥ f(x1)+f′(x1)(x2?x1).

注1論斷3°的幾何意義是:當(dāng)x ∈I時(shí),曲線y=f(x)總是在它的任一切線的上方.

注2對(duì)于凹函數(shù)f,則f′為I上的減函數(shù),曲線y=f(x)總是在它的任一切線的下方.

注3定理的證明過程請查閱參考文獻(xiàn)[1].

結(jié)合凸(凹)函數(shù)的定義及定理,可以使我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)更加精確.

例1(2019年高考全國卷I 文科第20 題)已知函數(shù)f(x)=2 sinx ?xcosx ?x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);

(2)若x ∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解(1)因?yàn)閒′(x)=cosx+xsinx?1,f′′(x)=xcosx.當(dāng)時(shí),f′′(x)>0,當(dāng)時(shí),f′′(x)<0,所以f′(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.又f′(0)= 0,所以f′(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).

圖1

(2)由(1)知,f′(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn),設(shè)為x0,且當(dāng)x ∈(0,x0)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增;當(dāng)x ∈(x0,π)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(x0,π)單調(diào)遞減,又因?yàn)閒(0)= 0,f(π)= 0,所以x ∈[0,π]時(shí),f(x)min= 0,所以f(x)≥0 成立,由f(x)的圖像可知,f(x)的圖像都在直線y=0 的上方.直線y=ax是過原點(diǎn)O(0,0)的直線系,當(dāng)直線y= 0 繞原點(diǎn)O(0,0)從水平方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與x軸垂直時(shí)滿足題意,所以a的取值范圍是(?∞,0].

評(píng)注本題是不等式恒成立問題,通過研究過定點(diǎn)的直線y=ax與函數(shù)f(x)=2 sinx ?xcosx ?x圖像的位置關(guān)系,進(jìn)而應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)思想結(jié)合圖形直觀想象,求解參數(shù)a的取值范圍.

例2(2017年高考全國卷II 文科第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1?x2)·ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

解(1)f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,解答過程略.

圖2

(2)因?yàn)閒(x)= (1?x2)· ex,所以f′(x)= (1?2x ?x2)·ex,當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),f′′(x)=?ex(x2+4x+1)<0,f′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,由定理得f(x)為(0,+∞)上的凹函數(shù).因?yàn)閒′(0)= 1,f(0)= 1,所以f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是y=x+1,由f(x)≤ax+1 等價(jià)于凹函數(shù)f(x)的圖像都在切線y=x+1 的下方.直線y=ax+1 是過定點(diǎn)(0,1)的直線系,當(dāng)直線y=x+1 繞定點(diǎn)(0,1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至垂直時(shí)滿足題意,所以a的取值范圍是[1,+∞).

評(píng)注本題是不等式恒成立問題,看作是過定點(diǎn)的直線y=ax+1 與函數(shù)f(x)=(1?x2)·ex圖像的位置關(guān)系;再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)思想結(jié)合圖形直觀想象,轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線的斜率與切線的斜率的大小關(guān)系求解參數(shù)a的取值范圍.

例3(2016年高考全國卷II 文科第20 題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx ?a(x ?1).

(1)當(dāng)a=4 時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)若當(dāng)x ∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,求a的取值范圍.

解(1)曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程是2x+y ?2=0,解答過程略.

(2)因?yàn)楫?dāng)x ∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,即(x+1)lnx ?a(x?1)>0,即(x+1)lnx>a(x?1),記g(x)=(x+1)lnx,x∈[1,+∞),所以g(x)>a(x ?1).

圖3

評(píng)注本題與例1、例2 有所不同,乍看與直線沒有關(guān)系,但是通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?部分分離,化為過定點(diǎn)的直線y=a(x ?1)與函數(shù)g(x)=(x+1)lnx圖像的位置關(guān)系;再應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)思想結(jié)合圖形直觀想象,轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線的斜率與切線的斜率的大小關(guān)系求解參數(shù)a的取值范圍.

例4(2015年高考山東卷理科第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2?x),其中a ∈R.

幾人嬉笑一番，趙仙童告辭。接下來，趙仙童走訪了市文聯(lián)、市作協(xié)、市戲劇家協(xié)會(huì)、中青旅行社，到家已錯(cuò)過了午飯時(shí)間，磚子正在啃脆脆的快餐面。午飯前，磚子打過趙仙童手機(jī)，趙仙童沒接，莫名其妙地關(guān)機(jī)了。

(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;

(2)若?x>0,f(x)≥0 成立,求a的取值范圍.

解(1)當(dāng)a <0 時(shí),函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn); 當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)無極值點(diǎn); 當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn);解答過程略.

(2)因?yàn)?x>0,f(x)=ln(x+1)+a(x2?x)≥0 成立,所以a(x2?x)≥?ln(x+1),所以由于ex≥x+1,所以x≥ln(x+1),當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)閤>0,所以所以則a(x?1)>?1,所以f(x)≥0 等價(jià)于a(x ?1)> ?1,記g(x)=?1,(x >0),直線l:y=x ?1,所以直線l過點(diǎn)(1,0)和(?1,0),由函數(shù)g(x)的圖像是平行于x軸的一條射線(不含端點(diǎn))和直線l的圖像得g(x)的圖像都在直線y=a(x ?1)的下方.直線y=a(x ?1)是過定點(diǎn)(1,0)的直線系,當(dāng)直線l:y=x ?1繞定點(diǎn)(1,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至x軸時(shí)滿足題意,故0 ≤a≤1,所以a的取值范圍是[0,1].

圖4

評(píng)注本題初看與直線沒有關(guān)系,但是通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?分離出直線,利用常見的不等式ex≥x+1 進(jìn)行放縮,變?yōu)檫^定點(diǎn)的直線y=a(x ?1)與函數(shù)g(x)=?1,(x>0)圖像的位置關(guān)系;再應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)思想結(jié)合圖形直觀想象,轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍來求解參數(shù)a的取值范圍.

例5若恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

圖5

直線y=a(x+1)是過定點(diǎn)(?1,0)的直線系,因?yàn)樗詅(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,設(shè)f(x)的過點(diǎn)(?1,0)切線l與y=f(x)的切點(diǎn)為,則切線l的斜率

又因?yàn)?/p>

評(píng)注本題是指數(shù)與對(duì)數(shù)混雜的函數(shù)不等式,通過利用對(duì)數(shù)平均不等式進(jìn)行放縮就會(huì)豁然開朗,從而轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線y=a(x+1)與函數(shù)圖像的位置關(guān)系;再應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)思想結(jié)合圖形直觀想象,轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍來求解參數(shù)a的取值范圍.

例6(2020 屆高三廣東六校二聯(lián))已知函數(shù)f(x)=lnx+x+1,g(x)=x2+2x.

(1)求函數(shù)y=f(x)?g(x)的極值;

(2)若實(shí)數(shù)m為整數(shù),且對(duì)任意的x >0 時(shí),都有f(x)?mg(x)≤0 恒成立,求實(shí)數(shù)m的最小值.

解(1)極大值為無極小值,解答過程略.

圖6

(2)因?yàn)?x >0 時(shí),f(x)?mg(x)≤ 0 恒成立,所以設(shè)函數(shù)h(x)= lnx,函數(shù)h(x)=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線為y=x ?1,因?yàn)樵?0,+∞)上單調(diào)遞減,由定理得h(x)是(0,+∞)上的凹函數(shù),則凹函數(shù)h(x)的圖像總是在切線y=x ?1 的下方,所以lnx ≤x ?1,當(dāng)且僅當(dāng)x= 1 時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)且僅當(dāng)x= 1 時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)時(shí),有因?yàn)楫?dāng)x >0 時(shí),是減函數(shù),所以x ≥1,所以整數(shù)m的最小值為1.

評(píng)注本題靈活運(yùn)用常見的不等式lnx≤x ?1 進(jìn)行放縮,大大簡化了運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)問題的快速解決.

通過上面的例題可知,導(dǎo)數(shù)壓軸題能夠分離出直線方程或者能尋找出隱藏的切線(分界線)的,可以根據(jù)圖形直觀想象,再結(jié)合運(yùn)動(dòng)與靜止的相對(duì)觀念,求出參數(shù)的取值范圍或最小值.當(dāng)然,我們也要夯實(shí)基礎(chǔ),熟練掌握常見的不等式,進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s可以簡化運(yùn)算.同時(shí),在直觀想象核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成過程中,能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識(shí),提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維.