例說(shuō)向量的數(shù)量積的應(yīng)用

■蔣慶富

已知兩個(gè)非零向量a，b，那么|a||b|·cosθ(θ是a與b的夾角)叫作向量a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a·b。若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2。

一、求向量的數(shù)量積

例1 設(shè)△A B C的外接圓的圓心為P，半徑為3，若( )。

解：由的外接圓的圓心為P，半徑為3，可知兩向量的。由向量加法的平行四邊形法則可和向量的模是3。易得知 ，的夾角為120°，所以應(yīng)選A。

評(píng)析：正確理解的意義是解答本題的關(guān)鍵。

例2 如圖1所示，正六邊形A B C D E F的邊長(zhǎng)為1，則

圖1

評(píng)析：解題時(shí)要注意向量與的夾角是60°，而不是120°。

二、求向量的模

例3 如圖2所示，在△A B C中，O為B C的中點(diǎn)，若A B=1，A C=3，與的夾角為60°，則

圖2

評(píng)析：利用向量之間的關(guān)系構(gòu)造是解答本題的關(guān)鍵。

三、判斷三角形的形狀

例4 若O為△A B C所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿(mǎn)足=0，則△A B C的形狀為( )。

表3方案?jìng)?cè)重于對(duì)現(xiàn)有各類(lèi)設(shè)備的數(shù)量而不是可用生產(chǎn)時(shí)間進(jìn)行拆分和最優(yōu)分配，相較于表1和表2方案，避免了生產(chǎn)流程的頻繁切換，大大簡(jiǎn)化了對(duì)設(shè)備的管理和調(diào)度．

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.正三角形

D.等腰直角三角形

解：由，可得

評(píng)析：兩個(gè)向量相減時(shí)，其差向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)。

四、求面積問(wèn)題

例5 在四邊形A B C D中則該四邊形的面積為( )。

解：因?yàn)?，所以?duì)角線A C，B D互相垂直，所以該四邊形的面積S=應(yīng)選C。

評(píng)析：由得到對(duì)角線A C，B D互相垂直是解題的關(guān)鍵。

例6 已知，且，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為( )。

解：因?yàn)椋?，所以所求的平行四邊形的面積為應(yīng)選A。

評(píng)析：由題設(shè)條件求出是解答本題的關(guān)鍵。

五、求向量的夾角

例7 已知向量a·(a+2b)=0，|a|=2，|b|=2，則向量a與b的夾角為( )。

解：設(shè)θ是a與b的夾角。由a·(a+2b)=0，可得|a|2+2a·b=0。根據(jù)向量數(shù)量積的定義及已知條件可得22+2×2×2×cosθ=0，所以。又因?yàn)棣取蔥0，π]，所以應(yīng)選B。

評(píng)析：利用可求兩向量的夾角，但要注意夾角θ∈[0，π]。

六、求參數(shù)的值

例8 已知菱形A B C D的邊長(zhǎng)為6，∠A B D=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊B C，D C上，B C=2B E，C D=λ C F。若則λ的值為( )。

A.2 B.3

C.4 D.5

評(píng)析：把向量用基底向量和表示是解題的關(guān)鍵，但要注意作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的。

七、求取值范圍問(wèn)題

例9 已知向量a，b，c共面，a，b，c均為單位向量，且a·b=0，則|a+b-c|的取值范圍是( )。

解：設(shè)向量=α，=β。

因?yàn)閍·b=0，所以a⊥b，則或α，于是可得|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2 cosα

評(píng)析：求解本題要注意兩點(diǎn)：一是角α與β之間的關(guān)系；二是正確運(yùn)用兩角和的余弦公式求最值。