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    品味三角恒等變換中的誤區(qū)警示

    2020-05-25 11:44:08樊炯炯
    關(guān)鍵詞:銳角余弦剖析

    ■樊炯炯

    三角恒等變換的方法靈活多變,突出對思維的靈活性和嚴(yán)密性的考查,解題時稍有不慎,便會出現(xiàn)增解、漏解甚至錯解的情況。本文歸納三角恒等變換求解中的誤區(qū),希望能給同學(xué)們以警示。

    誤區(qū)1:三角函數(shù)定義理解出錯

    例1 已知角θ的終邊落在直線y=-3x上,求2sinθ+3 cosθ的值。

    錯解:取直線上一點(1,-3),則sinθ=-3,cosθ=1,所以2sinθ+3 cosθ=-3。

    剖析:上述解法對sinθ=y,cosθ=x的理解有誤,定義中的(x,y)必須是角θ終邊與單位圓的交點坐標(biāo),不是任意點。

    正解:設(shè)角θ終邊與單位圓的交點為(x,y),則由此解得或故

    警示:此類問題需要借助單位圓,將角θ終邊上的點轉(zhuǎn)化成終邊與單位圓的交點,通過解方程組求得交點,再依據(jù)三角函數(shù)的定義求解。

    誤區(qū)2:應(yīng)用誘導(dǎo)公式忽視分類意識

    錯解:原 式

    剖析:上述解法對三角函數(shù)誘導(dǎo)公式理解不準(zhǔn)確,沒有對整數(shù)k分奇偶性進行討論。

    警示:誘導(dǎo)公式(k∈Z)的本質(zhì)是:奇變偶不變(對k而言,指k取奇數(shù)或偶數(shù)),符號看象限(把α看成銳角時整體角所在的象限)。當(dāng)整體角無法確定象限時,一定要對整數(shù)k分奇偶性進行討論。

    誤區(qū)3:對誘導(dǎo)公式中的符號看象限理解不正確

    剖析:上述解法對中的符號看象限理解不正確。

    正解:利用誘導(dǎo)公式可把看成銳角,則是第二象限角,所以

    警示:誘導(dǎo)公式可簡記為:奇變偶不變,符號看象限。這里的“奇偶”指的是的倍數(shù)的奇偶,“變與不變”指的是三角函數(shù)名稱的變化?!胺柨聪笙蕖钡暮x是:把整個角看成銳角時,所在象限的相應(yīng)余弦函數(shù)值的符號。

    誤區(qū)4:給值求角中選用三角函數(shù)名稱不當(dāng)致錯

    例4 若,且α,β均為銳角,求2α+2β的值。

    錯解:因為α為銳角,所以cosα=又β為銳角,所以cosβ。所以sin(α+β)=。由于0°<α<90°,0°<β<90°,所以0°<α+β<180°,所以α+β=45°或α+β=135°,即2α+2β=90°或2α+2β=270°。

    剖析:因為y=sinx在(0,π)上不是單調(diào)函數(shù),y=cosx在(0,π)上是單調(diào)函數(shù),所以應(yīng)求cos(α+β)的值,可避免出錯。

    正解:因為α為銳角,所以cosα=。又β為銳角,所以cosβ所以cos(α+β)=

    由于0°<α<90°,0°<β<90°,所以0°<α+β<180°,故α+β=45°,可得2α+2β=90°。

    警示:由三角函數(shù)值確定角的大小,一定要注意結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù)。已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);已知正、余弦函數(shù)值,若角在(0,π)內(nèi),選余弦函數(shù),若角在內(nèi),選正弦函數(shù)。

    誤區(qū)5:忽視隱含條件的挖掘致錯

    例5 若α,β,γ均為銳角,且sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,則α-β=____。又α,β均為銳角,所以

    錯解:由條件可得sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,兩式平方相加得cos(α

    剖析:上述解法沒有真正利用α,β,γ均為銳角的條件,從而導(dǎo)致多解。

    正解:由條件可得sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,兩式平方相加得cos(α。由γ為銳角,可得sinα-sinβ=

    因為α,β均為銳角,所以α<β,則β<0,故-sinγ<0,因此條件中隱含著sinα<sinβ。

    警示:當(dāng)三個角均為銳角時,一定要挖掘它們之間的隱含條件,如題中由sinα-sinβ=-sinγ<0,可得α<β。

    感悟與提高

    已知sinθ,cosθ是方程4x2-4m x+2m-1=0的兩個實根,且,則m=____。

    提示:由根與系數(shù)的關(guān)系可知1+2sinθcosθ后可解得

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