三角恒等變換中的創(chuàng)新問題

■王 飛 劉大鳴(特級教師)

高考對三角恒等變換主要是圍繞“角的變換、名稱的變換、公式的變換、結(jié)構(gòu)的變換以及常數(shù)的變換”等展開的，體現(xiàn)目標(biāo)意識下的“特殊值、消項(xiàng)和約項(xiàng)”，彰顯函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。本文主要介紹這類創(chuàng)新問題中的求解策略。

創(chuàng)新1：姊妹關(guān)系式中的平方法和方程組觀念的應(yīng)用

例1 已知α為第二象限角，sinα+，則間的關(guān)系，對兩邊平方可得

解：注意同角關(guān)系中的平方與二倍角之

因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，可得sinα＞0，cosα＜0，即cosα-sinα＜0，所以cosα-

故 cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+

評析：解答本題的關(guān)鍵是利用sinα+cosα、sinα-cosα和sinαcosα三姊妹關(guān)系式，借助sin2α+cos2α=1和sin 2α=2sinα·cosα的合理應(yīng)用求解的。解題時(shí)，要注意函數(shù)值對角的限制作用，應(yīng)盡量縮小角的取值范圍可避免多解。

創(chuàng)新2：三角恒等變換中的差異分析法

解：通過差異分析，利用平方差公式分解因式，逆用和差角公式，通過“降次消項(xiàng)”求值。

評析：通過觀察角、函數(shù)名稱以及運(yùn)算結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，進(jìn)行差異分析，促使差異的轉(zhuǎn)化。題中通過sin(α±β)=sinαcosβ±cosα·sinβ，cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ和sin 2α=2sinαcosα的逆用，促使分子、分母約分，再 利 用降次消項(xiàng)求值。

創(chuàng)新3：三角恒等變換中的換元變角法

例3 設(shè)α為銳角，若則

的值為____。

解：把所求角用已知角和特殊角表示，采用換元變角法求解。

評析：換元變角法的實(shí)質(zhì)就是角的配湊，如，其中就是題中的新元x，即

創(chuàng)新4：三角函數(shù)名稱的互化(切弦互化)

解：利用切化弦和逆用倍角公式，通過約分求值。

評析：本題凸顯目標(biāo)意識下的“化異為同與分式約項(xiàng)”。解題時(shí)，要熟練運(yùn)用切化弦和變角(20°=30°-10°)等技巧，同時(shí)還要靈活運(yùn)用二倍角公式、和差角公式。

創(chuàng)新5：三角函數(shù)結(jié)構(gòu)式的變換

例5則的值是____。

解：注意到所求式2θ是關(guān)于sinθ，cosθ的二次齊次式，可改變結(jié)構(gòu)化為關(guān)于tanθ的齊次式求解。由已知可得3sinθ-cosθ=0，所以

評析：對已知式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或期待的目標(biāo)，這是三角結(jié)構(gòu)式變換的宗旨。常見的三角結(jié)構(gòu)式的變換有“升冪與降冪”“常值代換”“逆用與變用公式”“通分與約分”“分解與組合”。

創(chuàng)新6：存在性問題中的三角恒等變換

例6 已知函數(shù)f(x)=cos2x+cos2(x+α)+cos2(x+β)，其中α，β為常數(shù)，且滿足0≤α＜β≤π。對于任意實(shí)數(shù)x，問是否存在α，β，使得f(x)是與x無關(guān)的定值。若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由。

解：在假設(shè)存在的條件下，利用倍角公式改變結(jié)構(gòu)特征，借助f(x)是與x無關(guān)的定值構(gòu)建方程組求解。

假設(shè)存在α，β滿足條件，則函數(shù)f(x)=。由此可知f(x)為定值的條件是消去2β可得(1+cos 2α)2+sin22α=1，解得cos 2α，所以。因?yàn)?≤α＜β≤π，故存在使得f(x)為定值。

評析：在假設(shè)存在的條件下，把握函數(shù)f(x)是與x無關(guān)的特征，利用三角公式化簡函數(shù)式，構(gòu)建方程組求值，這是存在性問題常用的思維方法。

創(chuàng)新7：與向量交匯中的三角恒等變換

例7 已知向量m=，且f(x)=m·n+1。

(1)設(shè)方程f(x)-1=0在(0，π)上有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求f(x1+x2)的值。

(2)若把函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)圖像，求函數(shù)g(x)在上的單調(diào)增區(qū)間。

解：(1)由題意可得函數(shù)f(x)=

由f(x)-1=0，可得。由x∈(0，π)，且兩個(gè)零點(diǎn)為x，x，12利用對稱性可得，所以

評析：利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，借助余弦函數(shù)在區(qū)間上的對稱性簡化求值，利用整體變量觀念解出單調(diào)區(qū)間，凸顯三角函數(shù)的工具性、應(yīng)用性及交匯性。

創(chuàng)新8：函數(shù)最值求解中的三角換元法

例8 求函數(shù)的最值。

解：注意變量的取值范圍，挖掘隱含關(guān)系，利用三角換元法求解。

由題意可得-2≤t≤6。

由t的有界性，可考慮三角換元法，即設(shè)由此可得函數(shù)

umin是φ(0)和中的較小者，因?yàn)?/p>

評析：當(dāng)自變量取值為區(qū)間時(shí)，可“設(shè)角換元”，題中要關(guān)注自變量對角的限制要求，其目的是便于進(jìn)一步利用三角函數(shù)的有界性求解。

感悟與提高

提示：設(shè)A=α+β+γ，B=α-β+γ，則2(α+γ)=A+B，2β=A-B。因 為sin[2(α+γ)]=3sin2β，所以sin(A+B)=3sin(A-B)，即sinAcosB+cosAsinB=3(sinAcosB-cosAsinB)，2 cosAsinB=sinAcosB，由此可得tanA=2 tanB。故。應(yīng)選D。