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    三角恒等變換常見(jiàn)典型考題賞析

    2020-05-25 11:44:26尹志雄
    關(guān)鍵詞:鈍角實(shí)數(shù)題型

    ■尹志雄

    作者單位:江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣曹甸高級(jí)中學(xué)

    題型1:三角函數(shù)公式的變形應(yīng)用

    三角函數(shù)公式變形應(yīng)用需注意的兩個(gè)問(wèn)題:①公式逆用時(shí),一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系;②注意特殊角的應(yīng)用,當(dāng)式子中出現(xiàn)等數(shù)值時(shí),一定要考慮引入特殊角。要熟記三角函數(shù)公式的變式,如sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ,cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ,tanα±tanβ=tan(α±β)·(1?tanαtanβ),cos2α=

    例1 已知sin 76°cos46°-cos76°sin46°,則 sinα=( )。

    解:由tanα=sin76°cos 46°-cos 76°·,且α∈,可得由上容易得到應(yīng)選A。

    題型2:角的變換

    熟練掌握常用的角變換技巧,如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),

    例2 設(shè)α為銳角,若,則的值為( )。

    解:(方法1)因?yàn)棣翞殇J角,所以。因?yàn)樗浴?yīng)選B。

    (方法2)因?yàn)棣翞殇J角,所以又因?yàn)樗?/p>

    跟蹤訓(xùn)練2:已知?jiǎng)t的值是( )。

    提示:由,可得

    題型3:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題

    求解三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等問(wèn)題時(shí),一般先要進(jìn)行三角恒等變換,把三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù),再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性以及周期公式求解。解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)圖像的應(yīng)用。

    例3 已知函數(shù)若將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)的圖像,則函數(shù)g(x)在區(qū)間]上的最大值和最小值之和為( )。

    由題意可知函數(shù)g(x)=由,可得,可知當(dāng),即時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值,且g(x)min=-1;當(dāng),即x=0時(shí),函數(shù)g(x)取得最大值,且故函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為應(yīng)選A。

    跟蹤訓(xùn)練3:已知函數(shù)+θ)-cos(2x+θ)(-π<θ<0)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,記f(x)在區(qū)間上的最大值為n,且f(x)在[mπ,nπ](m<n)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的最小值是____。

    提示:因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以0。又因?yàn)?π<θ<0,所以,即θ=,這時(shí)當(dāng)x∈即n=2。令當(dāng)k=2時(shí),即實(shí)數(shù)m的最小值是

    題型4:非特殊角的求值問(wèn)題

    解答這類問(wèn)題,要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系,利用三角變換轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值的問(wèn)題。此類問(wèn)題也可通過(guò)代數(shù)變形(如正負(fù)項(xiàng)相消、分子分母相約)的方式來(lái)求值。

    題型5:給值求值問(wèn)題

    給值求值問(wèn)題的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異,一般可以適當(dāng)變換已知式,求得另外某些函數(shù)式的值,以備應(yīng)用,同時(shí)要注意變換待求式,便于將已知式求得的函數(shù)值代入,從而達(dá)到解題的目的。

    例5 已知的值。

    解:因?yàn)椋?sin2α-sinα·cosα-3 cos2α=0,則(2sinα-3 cosα)(sinα+cosα)=0(sinα+cosα≠0),所以2sinα=3 cosα。又sin2α+cos2α=1,所以cosα=。故原式=

    跟蹤訓(xùn)練5:已知sin(α-β)cosα-cos(β,其中β是第三象限角,則

    提示:依題意可將已知條件變形為,可得sinβ=

    因?yàn)棣率堑谌笙藿?,所以cosβ=

    題型6:三角函數(shù)的求角問(wèn)題

    這類問(wèn)題的一般解題思路是:已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù),已知正弦或余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù)。若角的范圍是,選正弦或余弦函數(shù)皆可;若角的范圍是(0,π),選余弦函數(shù)較好;若角的范圍為,選正弦函數(shù)較好。例6 已知A,B均為鈍角,且,則A+B=____。解:因?yàn)?,解得又因?yàn)锳為鈍角,所以cosA=由,且B為鈍角,可得cosB=

    故cos(A+B)=cosAcosB-sinA·。又A,B均為鈍角,則A,B∈,所以A+B∈(π,2 π),由此可得A+

    跟蹤訓(xùn)練6:已知α,β∈(0,π),且tan(α,則2α-β的值為____。

    提示:由tanα=tan[(α-β)+β]=,可得由,可得0<2α<。由,可得,所以-π<2α-β<0。因?yàn)閠an(2α-β)=,故

    題型7:三角函數(shù)與平面向量的交匯

    平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)命題,其形式多樣,解法靈活,且極富思維性和挑戰(zhàn)性。對(duì)于這類問(wèn)題,根據(jù)所給三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理,可使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化,從而提高解題的效率。

    例7 已知向量a=(cos 2α,sinα),b=

    解:由a=(cos 2α,sinα),b=(1,2sinα,且a·,可得cos 2α,即cos 2α+2sin2α-也即cos 2α+1-cos 2α-sinα=,所以可得

    跟蹤訓(xùn)練7:已知向量a=(cosθ,sinθ),向量則|2a-b|的最大值與最小值的和為____。

    提示:由題意可得a·b=cosθ-sinθ,則∈[0,4],故|2a-b|的最大值與最小值的和為4。

    題型8:三角函數(shù)中的新定義問(wèn)題

    近年來(lái)的高考試題相繼推出了以能力立意為目標(biāo),以增大思維容量為特色,具有相當(dāng)濃度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型。這類創(chuàng)新題型大多以新定義問(wèn)題的形式出現(xiàn),值得同學(xué)們重視。新定義問(wèn)題主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算,然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題,有時(shí)還需要用類比的方法去理解新定義,這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解。

    例8 已知下凸函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)滿足不等式若函數(shù)y=tanx在上是下凸函數(shù),那么在銳角△A B C中,求tanA+tanB+tanC的最小值。

    解:因?yàn)閥=tanx在上是下凸函數(shù),所以(tanA+tanB+tanC)≥,即tanA+,當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=tanC,即時(shí)等號(hào)成立,所以tanA+tanB+tanC的最小值為

    跟蹤訓(xùn)練8:已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),對(duì)函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對(duì)任意x∈I,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱。若h(x)=-asinx是g(x)關(guān)于f(x)=的“對(duì)稱函數(shù)”,且g(x)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

    提示:根據(jù)對(duì)稱函數(shù)的概念,可知h(x)+g(x)=2f(x),即g(x)=2f(x)-h(x)+1。令則函數(shù)+1,其對(duì)稱軸方程為,且圖像的開口向下。由于函數(shù)g(x)在上 遞 減 ,t=sinx在上遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可,即a≤2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2]。

    題型9:三角函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

    三角函數(shù)中的恒成立問(wèn)題通常含有參數(shù),解答這類問(wèn)題,一定要注意三角函數(shù)自身的有界性,結(jié)合自變量的取值范圍,才能正確求解。

    例9 已知不等式對(duì)于x∈恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____

    解:因?yàn)樗栽坏仁降葍r(jià)于m≤在上恒成立。因?yàn)樗?,由此可得m≤

    ,即實(shí)數(shù)

    跟蹤訓(xùn)練9:已知函數(shù)f(x)=,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)α∈,都存在唯一的實(shí)數(shù)β∈[0,m],使f(α)+f(β)=0恒成立,則實(shí)數(shù)m的最大值是____。

    提示:已知函數(shù),若對(duì)任意的實(shí)數(shù),則要使f(α)+f(β)=0 恒 成立,需滿 足f(β)∈,即,所以0≤,可得故實(shí)數(shù)m的最大值是

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