例析向量問題的精彩交匯

■馮克永

向量是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，又是高考的一大熱點，是高中數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，已成為聯(lián)系其他數(shù)學(xué)知識的媒介。

一、與集合的交匯問題

例1 已知集合A={a|a=(x+y，3)}，B={b|b=(5，x-y)}，求A∩B。

解：由題意可得a=b，即解得

二、與函數(shù)的交匯問題

例2 已知向量若函數(shù)f(x)=a·b-2t|a+b|的最小值是求t的值。

解：由a·b=cos 2x，|a+b|=2 cosx，可得f(x)=2 cos2x-4tcosx-1。令s=則f(s)=2s2-4t s-1，s∈[0，1]。①當t≤0，s=0時，f(0)min=-1(舍去)；②當0＜t≤1，s=t時，③當t＞1，s=1時，，可得(舍去)。綜上可得

三、與三角形的心的交匯問題

例3 若點O，H分別是△A B C的外心和垂心，求證

解：如圖1，延長B O交圓O于D，則B D為圓O的直徑，故∠B C D=∠B A D=90°。延長AH交B C于E，因為A E⊥B C，所以AH∥D C。同理可得，DA∥CH，所以四邊形AHC D為平行四邊形，所以

四、與概率的交匯問題

例4 將一顆骰子投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則向量c=(a，b)與向量d=(-1，1)的夾角θ＞90°的概率是( )。

圖1

解：由向量c=(a，b)與向量d=(-1，1)的夾角θ＞90°，可得-a+b＜0，即a＞b。一顆骰子投擲兩次分別得到點數(shù)(a，b)的所有基本事件為(1，1)，(1，2)，…，(6，6)，共36種情況，其中a＞b的共有(種)情況。故所求概率為應(yīng)選D。

例5 已知G為△A B C的重心，過點G的直線與邊A B，A C分別交于點D，E，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△A B C內(nèi)，若則黃豆落在△A D E內(nèi)的概率為____。

解：設(shè)由G為△A B C的重心，可得由D，G，E三點共線，可得由此可得解得。故所求概率為