著眼局部 把握整體 理解本質(zhì) 完善認(rèn)知*
——分段函數(shù)奇偶性判斷的深度理解與教學(xué)感悟

安徽省阜陽(yáng)市紅旗中學(xué) (239000) 潘 靜

案例設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)=lgx，則f(x)在R上的解析式為.

分析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)=0，因此只要再求出x>0時(shí)f(x)的解析式即可，當(dāng)然此種情況求解并不難，通常解答如下：設(shè)x<0則-x>0，因x∈(0，+∞)時(shí)，f(x)=lgx，所以f(-x)=lg(-x)(※)，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故由(※)得，-f(x)=lg(-x)，即f(x)=-lg(-x).

一、問(wèn)題提出

上面的解答方法通常稱為“轉(zhuǎn)代法”，此法自然流暢，易于掌握，是處理這類問(wèn)題的通法，無(wú)論高一新課教學(xué)，還是高三備考教學(xué)中，如果遇到上述類型的試題，就常常使用這種方法，可以說(shuō)是我們教師的拿手好戲，教學(xué)起來(lái)得心應(yīng)手，順風(fēng)順?biāo)瑳](méi)有什么懸念.然而筆者最近在高三備考教學(xué)中，在展示上述解法之后，出現(xiàn)了意外，一位學(xué)生提出質(zhì)疑：“老師，在等式(※)中，對(duì)應(yīng)關(guān)系f不是‘取常用對(duì)數(shù)lg口’嗎？那為何根據(jù)‘f(x)是定義在R上的奇函數(shù)’，可以將f(-x)變換為-f(x)，而lg(-x)卻不能將‘-’移出來(lái)寫成-lgx呢？”一石激起千層浪，對(duì)呀，這位同學(xué)說(shuō)得好，大家看，為何在等式f(-x)=lg(-x)中，左邊f(xié)(-x)的負(fù)號(hào)“-”可以移出來(lái)，而右邊式子lg(-x)中卻沒(méi)有將負(fù)號(hào)“-”移出來(lái)？不少學(xué)生說(shuō)，因?yàn)榇藭r(shí)x<0，lg(-x)中不能將負(fù)號(hào)“-”移出來(lái)，否則-lgx無(wú)意義，的確如此，但這種分析能否作為“(※)中l(wèi)g(-x)中不能將負(fù)號(hào)“-”移出來(lái)”的理由呢？顯然，有些牽強(qiáng)附會(huì)，不能說(shuō)服一部分學(xué)生，于是又大家面面相覷，看起來(lái)不少學(xué)生仍在陷入沉思之中，既然(※)中對(duì)應(yīng)關(guān)系f是‘取常用對(duì)數(shù)lg口，等號(hào)右邊不可將“-”移出來(lái)，到底怎么回事呢？

二、問(wèn)題解決

因?yàn)樯鲜霭咐械暮瘮?shù)f(x)是分段函數(shù)且是奇函數(shù)，故f(-x)=-f(x)中等號(hào)兩邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系f是不同的,故設(shè)x<0，則-x>0，因x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)=lgx(“f”此時(shí)是指“取常用對(duì)數(shù)lg口”)，所以f(-x)=lg(-x)①(“f”此時(shí)是仍指“取常用對(duì)數(shù)lg口”).又f(-x)=-f(x)②(注：此變換悄悄地使得對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”的意義發(fā)生變化)，故由、通過(guò)等量代換，得到的-f(x)=lg(-x)中的“f”已不是“取常用對(duì)數(shù)lg口”，而是-lg(-口).

而在f(-x)=lg(-x)(x<0)中，“f”的意義就是“取常用對(duì)數(shù)lg口”，為何等號(hào)左邊的負(fù)號(hào)“-”能移出來(lái)，而等號(hào)右邊的式子lg(-x)中負(fù)號(hào)“-”不能移出來(lái)呢？

為了方便解釋，對(duì)于本案例中對(duì)應(yīng)關(guān)系，不妨設(shè)當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系f記為“f1”，當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系f記為“f2”(注：f1與f2一定不同)，則由上面的分析知，當(dāng)x<0時(shí)，有f1(-x)=lg(-x)，又根據(jù)f(x)是奇函數(shù)，我們可以得到當(dāng)x<0時(shí)，使得

f1(-x)=-f2(x)，即得 ，而對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) 不是奇函數(shù)，故沒(méi)有這種功能，即沒(méi)有l(wèi)g口.雖然在lg口中，“l(fā)g口”的意義就是“取常用對(duì)數(shù)lg口，我們根據(jù)f(x)是奇函數(shù)，將-中的“-”號(hào)移出，但對(duì)應(yīng)關(guān)系由“f1”變?yōu)椤癴1”了，而不是原來(lái)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了，由于f1與f2統(tǒng)一地記為f，故只能由f(-x)=lg(-x)(x<0)得到-f(x)=lg(-x)，而不能將lg(-x)中的“-”號(hào)移出.

因此當(dāng)分段函數(shù)又是奇函數(shù)(或偶)時(shí)，我們不能用固有的眼光去看待分段函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”，要從整體上去認(rèn)識(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”，切不可將分段函數(shù)f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”與構(gòu)成分段函數(shù)每段的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系混為一談，否則，本案例中的質(zhì)疑就難以得到詮釋.

三、教學(xué)思考

此案例中學(xué)生提出的質(zhì)疑的確困擾著一部分善于思考的學(xué)生，由于我們不少教師平時(shí)沒(méi)有對(duì)此問(wèn)題作進(jìn)一步的深入思考，當(dāng)學(xué)生向教師提出上述質(zhì)疑時(shí)，就用“若將f(-x)=lg(-x)(x<0)中

lg(-x)的‘-’移出，則lgx就無(wú)意義”去搪塞學(xué)生，結(jié)果學(xué)生還是不明白，知其然不知其所以然，這種教學(xué)現(xiàn)象充分說(shuō)明我們有些教師在解題教學(xué)時(shí)只是為解題而解題，沒(méi)有將解法形成的原因即算理講清楚，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)照貓畫虎，機(jī)械地模仿操作，缺少思維活動(dòng)的展示，這就嚴(yán)重違背了與“數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)”，到頭來(lái)，學(xué)生不能學(xué)到真正的數(shù)學(xué)，得到的只是一個(gè)個(gè)被動(dòng)接受的數(shù)學(xué)知識(shí)方法而已.

當(dāng)然，講清楚有時(shí)是不容易的，這就要求教師平時(shí)多思、多悟，將數(shù)學(xué)教出活力，教出數(shù)學(xué)味.筆者在教學(xué)中不甘平庸，時(shí)常對(duì)大家熟視無(wú)睹的數(shù)學(xué)現(xiàn)象都會(huì)深思一番，收獲頗豐，教學(xué)起來(lái)就能駕輕就熟，深入淺出，學(xué)生聽(tīng)得明白，易接受.然而，很多教師在當(dāng)今的教學(xué)中受急功近利的影響，只知道展示解題過(guò)程，至于為什么這樣處理，而不那樣處理，卻解釋得少，思考得更少，上述案例得質(zhì)疑看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不易，如果教師不靜下心來(lái)潛心研究一番，還真找不出癥結(jié)所在，試想：因?yàn)榻處熑绻v得不透，學(xué)生的負(fù)擔(dān)不是越來(lái)越重嗎？因此要使學(xué)生學(xué)得輕松，教師教學(xué)時(shí)必須講得清清楚楚，通俗易懂，讓學(xué)生學(xué)得更明白一些，不知其理，反而學(xué)得更辛苦.難怪很多高一學(xué)生感到高一數(shù)學(xué)學(xué)得吃力，是情理之中的事，因?yàn)槲覀兘處熢诮虒W(xué)中對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法未講透徹，往往局限于“知其然，而不知所以然”的層面，講解缺少深度，從而導(dǎo)致學(xué)生囫圇吞棗的多，試想：不理解的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，怎能談得上靈活運(yùn)用？