利用“同解方程”簡化解析幾何的運算

江蘇省海安市實驗中學 (226600) 潘新峰

解析幾何是指借助笛卡爾坐標系，利用方程來研究幾何對象之間的關系和性質的一門幾何學分支．高中階段所學曲線都是用方程來表示的，曲線上所有的點的坐標都是方程的解，以方程的解為坐標的點都在曲線上，即曲線的方程、方程的曲線．本文重點關注利用“同解方程”以減少解析幾何的運算量.

一、同解原理

原理：已知二次函數(shù)f(x)=a1x2+b1x+c1、g(x)=a2x2+b2x+c2，若f(x1)=f(x2)=0且g(x1)=g(x2)=0，其中x1≠x2，則存在λ∈R且λ≠0，使得a1=λa2、b1=λb2、c1=λc2．

證明：因為g(x)=a2x2+b2x+c2，若f(x1)=f(x2)=0且g(x1)=g(x2)=0，所以根據(jù)因式分解的理論一定有，f(x)=a1(x-x1)(x-x2)且g(x)=a2(x-x1)(x-x2)，于是存在λ∈R且λ≠0，使得f(x)=λg(x)，即存在λ≠0，使得a1=λa2，又b1=-a1(x1+x2)且b2=-a2(x1+x2)，所以存在λ≠0，使得b1=λb2，同理存在λ≠0，使得c1=λc2．

二、例題選講

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)設經過點P(2,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點，點Q(m,0)．

①若對于任意直線l總存在點Q，使得QA=QB，求實數(shù)m的取值范圍；

②設點F為橢圓C的左焦點，若點Q為ΔFAB的外心，求實數(shù)m的值．

例2 (2008年江蘇高考18題)設平面直角坐標系xOy中，設二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖像與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．

(1)求實數(shù)b的取值范圍；

(2)求圓C的方程；

(3)問圓C是否經過某定點(其坐標與b無關)？請證明你的結論．

解析：(1)易得實數(shù)b的取值范圍為(-∞,0)∪(0,1)．

方法二：設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，由于拋物線和所求圓都通過x軸上相同的兩點，所以方程x2+Dx+F=0與方程x2+2x+b=0必然同解，于是解得D=2、F=b，在把點(0,b)代入圓的方程，解得E=-(b+1)，故所求圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0．

(3)易得圓C過定點(-2,1)、(0,1)．

評注：通過例1的解析和例2中兩種方法的比較，我們可以看出，利用同解原理求曲線方程中的參數(shù).可以大大的減少運算量.

三、鞏固練習

(1)求橢圓的標準方程；

(2)直線y=x+1和橢圓交于A，B兩點，求過三點A，B，F(xiàn)的圓的方程．

圖2

評注：考慮到A、B關于x軸對稱，它們的橫坐標相等，又點A、B、E均在橢圓上，故可以利用“同解方程”的方法來解決這個問題.

四、結束語

近年來解析幾何解答題往往是高考中區(qū)分中上層學生數(shù)學成績的一個關鍵考點．解決此類問題時的理念是數(shù)形結合，方法有“線切入”和“點切入”(見例題1).其中對能力的要求主要體現(xiàn)在如何選擇變量和合理的運算路徑上，從而解析幾何的主要特征是“算”．考生如果對運算方法運用不當，面臨繁雜的運算將無從下手，最終只能望運算而興嘆，以失敗告終．我們要引導學生根據(jù)題目的特征選擇合理的方法，盡可能地簡化運算，在解決解析幾何問題時就會做到胸有成竹，舉重若輕，這正是筆者寫這篇文章的用意所在．