構(gòu)造直角三角形解代數(shù)最值問題

江蘇省泰州中學(xué)附屬初中 (225300) 劉興龍

構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它可以根據(jù)問題的條件結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出一個(gè)載體把所給的數(shù)學(xué)元素及其關(guān)系全面準(zhǔn)確地載入，實(shí)現(xiàn)將已知問題轉(zhuǎn)化的目的.此法新穎獨(dú)特，對培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、遷移、轉(zhuǎn)化等思維有著十分重要的作用.本文主要介紹如何構(gòu)造直角三角形解代數(shù)最值問題，供師生教學(xué)參考.

圖1

評注:本題難度較大，用一般方法不易求解，且過程十分繁瑣.于是考慮構(gòu)造直角三角形將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，其構(gòu)思精巧，令人耳目一新.

圖2

評注：本題是一道數(shù)形結(jié)合的綜合題，解題關(guān)鍵是應(yīng)用勾股定理，相似三角形及不等知識，通過構(gòu)造直角三角形，使代數(shù)問題得以轉(zhuǎn)化，從而化復(fù)雜為簡單，化抽象為直觀.

圖3

評注：有些代數(shù)題，用代數(shù)方法很難解決，但如果抓住“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，就可賦“數(shù)”以“形”意，把抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)化為構(gòu)造直角三角形.用幾何圖形的直觀性，可使已知和結(jié)論間的關(guān)系變得更明確、更形象，從而使問題變得簡單明了.

解：構(gòu)造直角三角形ΔABP和ΔDCP，使CP+BP=12,AB⊥BC,CD⊥BC,AB=2,CD=3.并設(shè)

圖4

綜上所述，構(gòu)造直角三角形求代數(shù)式的最大值和最小值問題，其關(guān)鍵在于要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的圖形求解，有助于培養(yǎng)邏輯推理和直觀想象能力.并且這種數(shù)形結(jié)合的方法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，實(shí)現(xiàn)了抽象思維與形象思維之間的轉(zhuǎn)換，符合新課程改革的理念要求，對于啟迪學(xué)生思維，開拓學(xué)生視野，提高綜合解題水平大有益處.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能直觀發(fā)現(xiàn)解題捷徑，而且能避免大量的計(jì)算和復(fù)雜的推理，大大簡化解題過程，因此，在平常解題過程中，要多給學(xué)生滲透這種思想方法，多加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度，從而開拓學(xué)生的思維和視野.