巧用數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生的運算能力

余雪芳

【摘要】? 隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，教育越來越關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)，就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，更關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題。一個人具備了核心素養(yǎng)，必然善于以數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來思考和解決問題，這已成為當(dāng)代學(xué)生進入社會的必備本領(lǐng)。數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的組成部分，標(biāo)準(zhǔn)中把掌握基本運算能力列為培養(yǎng)學(xué)生的能力之首。從學(xué)生實際出發(fā)，結(jié)合教材與課堂，發(fā)掘數(shù)形結(jié)合因素，從提出問題，領(lǐng)會本質(zhì)，理解算理，解決問題，到提升素養(yǎng)，進行多層次、全方位的幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)知識，滲透數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，提升運用圖形認(rèn)識事物能力，感知問題解決方向，使復(fù)雜問題簡單化，從而培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】? 數(shù)形結(jié)合 運算能力 理解算理 運算素養(yǎng)

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標(biāo)識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）11-070-02

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，教育越來越關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)，就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，更關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題。一個人具備了核心素養(yǎng)，必然善于以數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來思考和解決問題，這已成為當(dāng)代學(xué)生進入社會的必備本領(lǐng)。數(shù)學(xué)是奇妙的，在某種程度上也是艱澀的。初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有較大量的運算要求，這個階段也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力的黃金時期，有理數(shù)的運算、整式的運算、分式的運算、根式的運算和解方程等都和運算有關(guān)。每當(dāng)考試后，經(jīng)常會聽到家長向老師提問：為什么孩子上課都聽懂了，作業(yè)也會做了，但是考試就不行了？在實際教學(xué)中，不少老師抱怨：“學(xué)生的計算能力太差了，連簡單的運算都過不了關(guān)”。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的運算能力作為核心素養(yǎng)目標(biāo)之一，標(biāo)準(zhǔn)中把掌握基本運算能力列為培養(yǎng)學(xué)生的能力之首。因此，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法提高學(xué)生的運算能力有著極為重要的意義。

一、利用數(shù)形結(jié)合，提出問題

數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，化難為易，化抽象為直觀，使人充分運用左、右腦的思維功能，相互依存、彼此激發(fā)，全面、協(xié)調(diào)、深入發(fā)展人的思維能力。使用“數(shù)形結(jié)合”的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。

數(shù)學(xué)本是抽象的，而數(shù)形結(jié)合在問題提出中的應(yīng)用，能夠使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得形象化，變得簡單;可以幫助學(xué)生更好的發(fā)現(xiàn)問題解決問題;有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的解決問題的習(xí)慣。

例如運用火柴棒按如圖所示的方式，搭x個正方形時，如何計算火柴棒的根數(shù)？

思路1：在這些圖形中，第一個正方形用4根，每增加一個正方形就增加3根火柴棒，那么搭x個正方形需要火柴棒___根;

思路2：把每一個正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再減去多算的火柴棒的根數(shù)，得到的代數(shù)式是___;

思路3：第一個正方形可以看成是3根火柴棒加1根火柴棒搭成的，此后每增加一個正方形就增加3根火柴棒，那么搭x個正方形共需火柴棒___根。

從而提出問題：去括號前后，括號里各項的符號有什么變化？把數(shù)形結(jié)合“帶進”課堂，并應(yīng)用于問題提出中，在教學(xué)時鼓勵學(xué)生大膽猜想，提高學(xué)生的運算能力。

二、利用數(shù)形結(jié)合，領(lǐng)會本質(zhì)

畢達哥拉斯曾說過：“數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?nèi)绾沃赖摹笨梢姺治鰡栴}能力的培養(yǎng)顯得多么重要。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，常用一個數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合，借助直觀，形象圖形，使數(shù)學(xué)實際問題和幾何直觀圖形有機結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解，領(lǐng)會數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，尋找正確的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng).如在學(xué)習(xí)“兩點之間，線段最短”時出現(xiàn)一題“在小河的同一側(cè)有A，B兩個村莊，現(xiàn)要在河邊修建一座水泵站向兩個村莊送水，問水泵站修在哪里到兩村莊距離和最短”此問題具有一定的抽象性，當(dāng)憑學(xué)生想象是很難有突破點，可引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，直接觀察，思考如何轉(zhuǎn)化點A，B，和水泵點，讓三點共線，距離最短。讓學(xué)生理清問題的關(guān)鍵點——找出A的對稱點，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，提高運算能力。

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念：“數(shù)”，屬于數(shù)學(xué)抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物;而“形”主要指幾何圖形，屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物。它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系;反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述。

情形一：“以數(shù)解形”

例1用一些完全相同的棋子按如圖所示的規(guī)律拜訪，第100個圖形有____個棋子

分析：這是一道典型的規(guī)律探究題，學(xué)生在解答時如果僅關(guān)注棋子的變化，解答是比較困難的，但如果將圖形的規(guī)律問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的規(guī)律問題，根據(jù)圖形中點的個數(shù)得到有關(guān)棋子個數(shù)的通項公式，然后帶入數(shù)值計算即可。

根據(jù)第1個圖形有5個棋子，第2個圖形有11個棋子，第3個圖形有17個小圓，∴第n個圖形有：5+6（n-1）=6n-1個棋子，第100個圖有599個棋子。

情形二：“以形助數(shù)”

例2在學(xué)習(xí)完全平方公式時，學(xué)生默寫公式及背誦口訣時都比較熟練，但在應(yīng)用公式時經(jīng)常認(rèn)為（a+b）2=a2+b2，究其原因是學(xué)生沒有真正的理解。如果我們在學(xué)習(xí)完全平方公式的時候更注重巧用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法來突破這個難點，就更直觀，更容易記住了。

三、利用數(shù)形結(jié)合，理解算理

初中數(shù)學(xué)是比較抽象的一門學(xué)科，無論定義，公理;還是法則，定理等知識都是具有一定抽象性。數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、法則等是進行數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ)，概念模糊、公式錯誤、法則，性質(zhì)等含混不清，都會影響運算的進行和正確性，正確的運算必須建筑在透徹地理解算理的基礎(chǔ)上?？梢?，數(shù)形結(jié)合思想在運算中的實踐，不僅而體會到其中的算理，也展現(xiàn)了數(shù)與形的有序結(jié)合所產(chǎn)生的“美”與“妙”，更直接地反映出數(shù)形思想的結(jié)合能引導(dǎo)學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，對學(xué)生進行了審美觀念的滲透、聯(lián)想思維的檢測，培養(yǎng)了學(xué)生大膽而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，引導(dǎo)學(xué)生獲取知識、結(jié)論、方法的途徑及思維過程，教給學(xué)生有效的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的一種認(rèn)知能力，使學(xué)生的解題思路進入一個理性的廣闊天地。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何運用數(shù)形結(jié)合，是教師的教學(xué)藝術(shù)所在。比如解一元一次方程，不僅使得學(xué)生能掌握步驟，還要理解每一步的依據(jù)。如移項法則是由等量原理導(dǎo)出的。如合并同類項是由乘法分配律導(dǎo)出的，如果借助圖形學(xué)生就易于領(lǐng)悟其中之間的關(guān)系，那么就會加深對合并同類項的理解。例如整式加減中圖3-8的長方形由兩個小長方形組成，求這個長方形的面積。提問：求這個大長方形的面積有幾種方法呢？通過例子中的兩部分面積得出8n和5n，將8n和5n拉出來分析，合并同類項：8n+5n=13n，使學(xué)生深刻理解運算的算理。

四、利用數(shù)形結(jié)合，解決問題

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！狈从车氖抢脭?shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)問題，顯得直觀、方便，而且應(yīng)用也很廣泛。利用數(shù)形結(jié)合，也能更好地突破重難點。教學(xué)的重點與難點是課堂教學(xué)的靈魂，如果把握好了教學(xué)重點，突破了教學(xué)難點，這節(jié)課基本就上好了。突破難點的方法有很多，比如演示實驗法，動手操作法，數(shù)形結(jié)合法等，但是根據(jù)教學(xué)實際，數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中是最經(jīng)常用到的方法。突破“一元不等式組”難點“找不等式解集的公共部分”，也是巧用數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)軸找到解集的公共部分，再把這個公共部分用不等式表示出來。

利用數(shù)形結(jié)合輕而易舉地解決了不等式解集的問題。

五、利用數(shù)形結(jié)合，提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識，而數(shù)學(xué)知識又蘊藏著數(shù)學(xué)思想方法，二者相輔相成，密不可分。數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法的這種辨證統(tǒng)一性，決定了教師在傳授數(shù)學(xué)知識的同時，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。同時，數(shù)學(xué)思想方法又是數(shù)學(xué)的靈魂，是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生提高思維水平，真正懂得數(shù)學(xué)的價值，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀，從而發(fā)展數(shù)學(xué)，運用數(shù)學(xué)，這也是現(xiàn)代教學(xué)思想與傳統(tǒng)教學(xué)思想的根本區(qū)別。

數(shù)形結(jié)合能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，掌握問題的發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識從感性上升到了理性的層面，最終培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，在教學(xué)設(shè)計過程中，需要結(jié)合具體內(nèi)容，將教學(xué)知識的“明線”與數(shù)形結(jié)合思想的“暗線”有機結(jié)合，將數(shù)形結(jié)合思想方法用在適當(dāng)處，使學(xué)生對知識、技能、思想的總結(jié)融為一體，使得“思想方法有載體，知識技能有靈魂”。

總的來說，在中學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師應(yīng)該緊密結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，以數(shù)學(xué)知識為載體，不是為了單純的運算而運算，巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)從而達到解決問題的目的，這更是學(xué)生必備的一種高層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：2.

[2]張林華.數(shù)形結(jié)合思想引領(lǐng)下的“向量數(shù)乘運算”教學(xué)設(shè)計.上海中學(xué)數(shù)學(xué).2012（5）.