例說二元最值問題的求解

王小檐 肖振華

摘要：最值問題的探究是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是各類競(jìng)賽命題的重點(diǎn)考查對(duì)象。本文以高中數(shù)學(xué)最值例題為切入點(diǎn)，首先探討二元最值問題的一般解法，然后給出另一種新穎解法“參數(shù)法”來解決二元最值的這一類問題，并歸納總結(jié)此類問題的通法，為二元最值問題的解答開辟了新的思路，在某種程度上也提高了學(xué)生解題能力。

關(guān)鍵詞：最值問題;高中數(shù)學(xué);通法研究;參數(shù)法

一、 典題呈現(xiàn)

【例1】（2013年浙江大學(xué)自主招生試題）若x2+2xy-y2=7（x，y∈R），求x2+y2的最小值。

分析：此種題型是高中數(shù)學(xué)最值問題探究的一道經(jīng)典題型，隨著新高考改革的趨勢(shì)，近些年最值問題是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)問題，也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的重要組成部分，本題的已知條件是滿足一個(gè)二元二次方程，目的是要求x2+y2的最小值，此題的一般解法也非常多，切入點(diǎn)很容易把握，本文以這道題為例探究其一般解決方法，并重點(diǎn)研究“參數(shù)法”解決此類問題。

二、 一般解法

評(píng)注：判別式法在最值問題的處理上屬于常規(guī)解法，這種解法的關(guān)鍵是換元之后再變形，使得所求式子x2+y2成為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，然后再利用判別式Δ≥0求出范圍即可。

評(píng)注：均值不等式在最值問題的求解中是很常見的，使用范圍比較廣，此種解法的關(guān)鍵是涉法湊成2xy和x2+y2這兩種形式，因?yàn)橛芯挡坏仁絰2+y2≥2xy（當(dāng)x=y時(shí)，取“=”）做保證就很容易求出其最小值。

評(píng)注：使用三角代換法解題的關(guān)鍵是很好地利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式，這里通常結(jié)合輔助角公式進(jìn)行考查，學(xué)生需熟練掌握輔助角公式。

評(píng)注：此方法實(shí)質(zhì)上是雙換元法，接著將式子進(jìn)行配方，配成完全平方項(xiàng)之后利用平方項(xiàng)是非負(fù)數(shù)，就可以求出最終的結(jié)果。

評(píng)注：“參數(shù)法”是最值問題中不常見的解法，此種解法的關(guān)鍵是引入?yún)?shù)λ，再將式子整理之后利用判別式Δ=0，解出λ的值，帶入化成完全平方項(xiàng)即可求出最值，這種解法是本文重點(diǎn)講解的一種求解二元最值問題的方法，后文將詳細(xì)闡述。

三、 通法研究

問題：已知實(shí)數(shù)x，y滿足Ax2+Bxy+Cy2=D（D≠0），求M=ax2+bxy+cy2的最值（取值范圍）。

解法（分三步）：

首先，引入?yún)?shù)λ（λ≠0），使M=ax2+bxy+cy2+λ（Ax2+Bxy+Cy2-D）

整理得到（a+λA）x2+（b+λB）xy+（c+λC）y2-λD，

即M=（a+λA）x2+（b+λB）xy+（c+λC）y2-λD（1）

然后，令Δ=（b+λB）2-4（a+λA）（c+λC）=0，解出λ的值，

最后，解出的λ再代入（1）式得M=α（βx+γy）2-λD。

分析：參數(shù)法解二元最值問題首先引入?yún)?shù)λ，λ的值實(shí)質(zhì)上可以取任何實(shí)數(shù)，在這里的令Δ=0，目的是為了使M能成功化成完全平方項(xiàng)，且對(duì)應(yīng)的方程有且只有一個(gè)根，才使得λ取特殊值，使得解題更為簡(jiǎn)單化。

四、 “參數(shù)法”解高考題

【例2】（2007·上海理，5）若x，y∈R+，且x+4y=1，則xy的最大值是_。

【例3】（2010·山東文，14）已知x，y∈R+，且滿足x3+y4=1，則xy的最大值為_。

【例4】（2011·浙江理，16）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+xy+y2=1，則2x+y的最大值是_。

五、 結(jié)論

通過收集大量此種類型的例題，使用“參數(shù)法”進(jìn)行求解，在一定程度上會(huì)減少高考數(shù)學(xué)考試中學(xué)生因無法定位使用何種方法解題時(shí)所耗費(fèi)的時(shí)間，只要滿足“參數(shù)法”的前提條件即可進(jìn)行作答，從而提高了學(xué)生的解題速度，也保證了準(zhǔn)確率。在平常解題中可以嘗試“參數(shù)法”解題，作為教師也應(yīng)該對(duì)問題進(jìn)行多維度的審視，深入挖掘問題的內(nèi)涵和外延，透視問題的本質(zhì)，找到解決問題的一般方法。與此同時(shí)，教師應(yīng)進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多用、多題一解的訓(xùn)練，特別是對(duì)題目的背景、條件、結(jié)論等進(jìn)行改編、拓展、延伸，以達(dá)到“做一題，通一類”的效果，“參數(shù)法”為二元最值問題開辟了新的思路，也提高了學(xué)生思維發(fā)展能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張楊文.高考數(shù)學(xué)你真的掌握了嗎？數(shù)學(xué)五章[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014：67-68.

[2]范花妹，秦慶雄.對(duì)一道自主招生考試題的探究——兼談處理一類二元最值問題的通法[J].數(shù)學(xué)通訊，2015：110-114.

作者簡(jiǎn)介：

王小檐，肖振華，江西省贛州市，贛南師范大學(xué)。