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    談最值問題與實際生活

    2017-03-02 08:24:08蔡雅
    試題與研究·教學論壇 2017年4期
    關鍵詞:最值問題生活數學初中數學

    蔡雅

    摘 要:數學是一門應用性非常強的學科,數學知識在生活中的應用非常廣泛,數學知識可以解決生活中的很多實際問題。比如我們常常遇到的最值問題、最優(yōu)方案問題等,這些都是最值問題的實際應用。本文將實際生活與最值問題聯系起來,在探討最值問題的同時,進一步明確數學在生活中的巨大作用。

    關鍵詞:初中數學;最值問題;生活數學

    最值的使用在生活中有很多,比如求兩個點之間的最短距離或者兩線段和的最小,還有我們平常生活中的利潤最大、成本最小等最優(yōu)方案的問題。這些問題都可以轉化成數學問題,然后用數學的方法去解決。下面我們先來看看有關于線段的最值問題:

    一、有關線段和的最值問題

    有關距離的最值問題有一個簡單的問題原型。比如說要在公路上建一個公交車站,在公路旁有兩個村子A與B,問車站建在公路上的哪個位置才能使A、B兩村去車站的路程最短?這種“確定最短路線”的問題就是最經典的求最值問題。在這里,這個問題有兩種情形,第一是兩個村子在公路的不同側,這就轉化成了點與點之間的最短距離,也就是兩點間的連線。第二是兩個村子在公路的同一側(如圖1),那么這就是一個利用軸對稱解決極值的經典問題,而解決這個問題的基本方法就是對稱共線法。利用軸對稱變換,將線路中各線段映射到同一直線上(線路長度不變),確定動點位置(如圖2),計算線路最短長度。此時,這個問題的模型又變成第一種情況,兩個村子在公路的不同側了。

    由上面這個簡單的例子我們可以歸納出求線段和最小的一般方法:通過軸對稱,將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個,映射到直線的另一側,當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時,由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值,最小值為定點線段的長(如圖3)。下面我們來看一道這種類型的變式題:

    恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路X垂直,如圖4建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷(A)和世界級自然保護區(qū)星斗山(B)位于兩高速公路同側,AB=50km,A到直線X的距離為10km,B到直線X和Y的距離分別為40km和30km。請你在X旁和Y旁各修建一服務區(qū)P、Q,使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小,并求出這個最小值。

    分析:這道題目所涉及的四邊形的周長的最小值,包括四條線段的和,看起來會比較麻煩,不知道該怎么下手,其實求四邊形的周長的最小值,可以把周長分成四部分,先分析其中的兩段或三段,把問題拆解成類似原型題目這樣的簡單問題,再做進一步的分析。比如,可以先看BQ和QP這兩段的和的最小值,單獨看這兩段的話,就變得很簡單了,只要根據求兩條線段的和的一般方法,就可以解出。同樣的方法再分析QP和PA,然后把幾條線段綜合起來看,這道題就不難解決了。

    解析:作點A關于X軸的對稱點A′,點B關于Y軸的對稱點B′,連接A′B′,AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。當P、Q在線段A′B′上時,AP+BQ+PQ=A′B′最小。

    過A′、B′分別作X軸、Y軸的平行線交于C。在Rr△A′CB′中,A′C=100,B′C=50,交X軸于P,交Y軸于Q。

    A′B′==50,而AB=50

    ∴四邊形APQB的周長最小值為:AB+A′B′=50(+1)

    總結:有關線段和的最值問題是實際生活中常遇到的問題,解決這類問題的方法就是從最簡單的問題原型出發(fā),抓住解決問題的關鍵,把不在同一直線上的線段轉化到同一條直線上。求多條線段的和的最小值就是要先把問題化成幾個小問題,把每個小問題解決,就能從整體上理清思路,解決整個問題。

    二、有關函數的最值問題

    有關函數的最值問題是中考??嫉囊环N題型,也是生活中常用來解決實際問題的一種數學方法。下面我們來看這樣一個例子:某蒜薹生產基地收獲蒜薹200噸,下表是按批發(fā)、零售、冷庫儲藏后銷售三種方式每噸的平均售價及成本價:

    若經過一段時間,蒜薹按計劃全部售出獲得的總利潤為y(元),蒜薹零售x(噸),且零售量是批發(fā)量的。(1)求y與x之間的函數關系式。(2)由于受條件限制,經冷庫儲藏售出的蒜薹最多80噸,求該生產基地按計劃全部售完蒜薹獲得的最大利潤。

    解析:(1)設零售量為x,則批發(fā)量為3x,儲藏后銷售量為200-4x,

    則y=(3000-700)3x+(4500-1000)x+(5500-1200)(200-4x)

    y=-6800x+860000

    (2)根據題意得:200-4x≤80,則x≥30

    ∵y=-6800x+860000在x范圍內單調遞減

    ∴x=30時,y取得最大值

    y=860000-6800×30=656000

    也就是求得當零售量為30噸的時候,售完全部蒜薹可獲得最大利潤656000元。

    總結:除了一次函數以外,二次函數也是求最值的重要方法。這種方法用于生活中的很多問題。學習數學就是為了把數學知識運用到生活中,幫助我們解決生活中的問題。因此,我們在學習數學的時候一定要多聯系實際,數學和生活并不是兩個獨立存在的,而是一個緊密聯系的結合體。數學的學習能使生活中的問題得到解決,而生活中的問題又是數學知識的原型,是發(fā)展數學的重要動力。

    最值問題是生活中常遇到的問題,通過數學建模來解決實際問題是數學知識用于實際的重要體現,這也正說明了數學知識的生活實用性,學習數學能為我們將來創(chuàng)造美好的生活發(fā)揮應有的作用。

    參考文獻:

    1.傅彪.關于折線段最小值問題的探究.中學數學初中版,2012,8.

    2.趙秀琴.初中數學最值問題的解法.考試周刊,2012,44.

    3.劉明海.盤點初中數學的最值問題.成才之路,2012,18.

    (作者單位:浙江省諸暨市璜山鎮(zhèn)中學)

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