數(shù)學(xué)思維與表述能力之間的相互促進

徐日銀

摘? 要：如何判斷學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中思維是否得到培養(yǎng)，這對于數(shù)學(xué)教師而言是一個較大的挑戰(zhàn)。面對這個挑戰(zhàn)，教師只能從學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果表現(xiàn)的角度，去尋找判斷思維能力是否得到培養(yǎng)的依據(jù)。在中高年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的思維能力培養(yǎng)與表述能力培養(yǎng)之間存在著相互促進的關(guān)系。學(xué)生通過大量復(fù)雜的思維，可以強化自己的邏輯思維;而當學(xué)生用簡潔的語言描述學(xué)習(xí)結(jié)果時，他們的思維又得到了純化、強化。因此可以認為：思維能力與表述能力之間是可以相互促進的。在實現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維能力與表述能力相互促進的時候，教師必須關(guān)注的一個核心是：學(xué)生才是這個過程中的主體。

關(guān)鍵詞：中高年級學(xué)生;數(shù)學(xué)思維;表述能力

在小學(xué)中高年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與表述能力，是兩個基本任務(wù)。小學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的啟蒙階段，是學(xué)習(xí)習(xí)慣形成的重要時期。升入中高年級之后，學(xué)生的思維方式開始發(fā)生轉(zhuǎn)變，主動思考的情形逐漸增加，并且能夠表達自己的看法，這時應(yīng)側(cè)重于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對思維本身就有較高的要求，同時數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程又是一個思維能力培養(yǎng)的過程，但是思維是內(nèi)在的，如何判斷學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中思維是否得到培養(yǎng)，這對于數(shù)學(xué)教師而言是一個較大的挑戰(zhàn)。面對這個挑戰(zhàn)，教師只能從學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果表現(xiàn)的角度，去尋找判斷思維能力是否得到培養(yǎng)的依據(jù)。很顯然，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后的表述能力，就是學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的一種表現(xiàn)。同時，進一步的研究還發(fā)現(xiàn)，在中高年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的思維能力培養(yǎng)與表述能力培養(yǎng)之間存在著相互促進的關(guān)系，文章將結(jié)合實踐案例對這兩者之間的關(guān)系進行一個梳理。

■一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視思維能力和表述能力的培養(yǎng)

首先必須強調(diào)的一點就是，中高年級的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視思維能力和表述能力的培養(yǎng)。其主要原因在于：處于中高年級段的小學(xué)生，正是思維能力培養(yǎng)的黃金時期，而這個時候的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，也能夠為學(xué)生思維能力的培養(yǎng)提供很好的機會。思維能力與表述能力之間的關(guān)系，可以這樣理解：思維能力是內(nèi)斂的，而表述能力是外顯的，學(xué)生表述的內(nèi)容就是自己思維的內(nèi)容，學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)知識之后如何進行表述，既關(guān)系到學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律及其之間的關(guān)系的理解，也對應(yīng)著學(xué)生的學(xué)習(xí)能力;同時必須注意的是，學(xué)生建構(gòu)了數(shù)學(xué)知識之后，在思考如何進行表述時，也是一個重要的思維階段。而從教師掌握學(xué)生學(xué)習(xí)情況的角度來看，關(guān)注學(xué)生的表述能力的過程，其實就是判斷自己教學(xué)效果的過程。正因如此，才有人說“學(xué)數(shù)學(xué)不如做數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)不如說數(shù)學(xué)”，在筆者看來，這句話很好地解釋了數(shù)學(xué)思維表達能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。然而，從我們平時的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中可以看出，我們學(xué)生的數(shù)學(xué)思維表達能力還不太理想，這也說明數(shù)學(xué)教師在學(xué)生的思維能力和表述能力培養(yǎng)方面需要付出更多的努力。

其實學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、表述能力不強的原因是多方面的，首當其沖的就是應(yīng)試形態(tài)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)常常讓學(xué)生機械地學(xué)習(xí)并運用知識，在這樣的學(xué)習(xí)過程中，思維的空間較小，思維含量較低，因此思維能力和表述能力都不容易得到培養(yǎng);另一個原因在于，教師有時不能很好地把握思維能力與表述能力之間的關(guān)系，或者說不能根據(jù)學(xué)生的表述去判斷學(xué)生的思維情況。這兩個原因?qū)嶋H上對應(yīng)著教師的認識和能力問題，只有教師認識到學(xué)生思維能力和表述能力培養(yǎng)的重要性，知道如何根據(jù)學(xué)生的表述去判斷學(xué)生的思維，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中很好地實現(xiàn)思維能力與表述能力的相互促進。

■二、在知識建構(gòu)中實現(xiàn)思維能力與表述能力相互促進

思維能力的培養(yǎng)與表述能力的培養(yǎng)，與學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)過程是同步的。因此，在數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的過程中實現(xiàn)思維能力和表述能力的相互促進，應(yīng)當是數(shù)學(xué)教師面對中高年級學(xué)生的最佳選擇。從宏觀的角度來看，判斷力、論證力、推理力、概括力、綜合力、理解力、抽象力等是常見的思維能力，屬于智慧的核心范疇，是智慧活動的樞紐。依托小學(xué)數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是立足于數(shù)學(xué)學(xué)科特點，從不同角度培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活、敏捷等基本素養(yǎng)的教學(xué)方法。下面就以“多邊形的內(nèi)角和”為例進行詳細說明。

在“多邊形的內(nèi)角和”知識學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)知道了三角形的三個內(nèi)角和是180度。也就是說，從知識邏輯的角度來看，學(xué)生通過邏輯推理是可以得出多邊形的內(nèi)角和的，關(guān)鍵就在于學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)多邊形與三角形之間的關(guān)系，并且在發(fā)現(xiàn)了推理的邏輯之后，能否對邏輯推理的結(jié)果進行有效的表述。于是在實際教學(xué)中，筆者重視了這樣三個環(huán)節(jié)：

第一個環(huán)節(jié)：猜想。在明確了“如何求四邊形的內(nèi)角和”這個問題后，讓學(xué)生通過自主思考或者自主活動（包括自發(fā)的小組合作或者是跨小組合作）等方式去探究問題的解決方案。這個過程中，筆者觀察到了學(xué)生這樣的一些學(xué)習(xí)行為：他們會在自己的草稿紙上畫出一個四邊形（不少學(xué)生下意識畫的是長方形），于是他們猜想四邊形的內(nèi)角和是360度，而且對自己的猜想往往深信不疑。

第二個環(huán)節(jié)：證明。有了猜想之后，自然是去證明。這個時候?qū)W生的思維往往表現(xiàn)出一定的發(fā)散特征：不少學(xué)生認為長方形不能代表所有的四邊形，因此學(xué)生的推理方向很快轉(zhuǎn)變?yōu)榧偃缡且粋€一般的四邊形，如何證實其內(nèi)角和是360度？部分學(xué)生的第一反應(yīng)是用量角器去量，對于學(xué)生的這一行為，教師應(yīng)當鼓勵。在學(xué)生動手測量完畢，并且發(fā)現(xiàn)4個角的和近似地等于360度時，教師可以進一步追問：有沒有其他更好的方法呢？這個問題自然能夠驅(qū)動學(xué)生進一步思考，思維也就進一步深入。無論學(xué)生能否想到辦法，在這樣一個過程中學(xué)生都總是處于高效思維的狀態(tài)，所以當最后有學(xué)生畫出一條對角線，將四邊形分成兩個三角形之后，不少學(xué)生欣喜若狂，感覺這個方法非常奇妙。此外，更有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：如果自己面對的是五邊形或者六邊形，其實也可以通過這種方法得出多邊形的內(nèi)角和。

第三個環(huán)節(jié)：表述。當學(xué)生在思維、操作中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了求多邊形內(nèi)角和的方法之后，自然要讓學(xué)生將自己的發(fā)現(xiàn)表述出來——這不只是為了培養(yǎng)學(xué)生的表述能力，同時也是為了強化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認知。大量的教學(xué)經(jīng)驗表明，如果只是讓學(xué)生想、讓學(xué)生做，而不讓學(xué)生去運用、去表達，那他們掌握的知識就不牢固。事實上，對于多邊形的內(nèi)角和，學(xué)生最初的表達確實是有疏漏的地方的，比如有學(xué)生說“要求多邊形的內(nèi)角和，就看這個多邊形里面有幾個三角形”，也有學(xué)生說“多邊形的內(nèi)角和就等于多邊形的邊數(shù)減去2，然后乘360度”……這樣的表述具有典型的生活語言的特征，不滿足數(shù)學(xué)語言精確、簡潔的特征，因此需要引導(dǎo)學(xué)生去轉(zhuǎn)換。

事實表明，學(xué)生通過大量復(fù)雜的思維，可以得出多邊形內(nèi)角和的計算公式，可以在生活語言向數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程中強化自己的邏輯思維;而當學(xué)生能夠用簡潔的語言描述多邊形內(nèi)角和的計算方法時，他們的思維又得到了純化、強化。因此可以認為：思維能力與表述能力之間是可以相互促進的。

■三、思維能力與表述能力相互促進過程中的學(xué)生地位

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與表述能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中實現(xiàn)思維能力與表述能力相互促進時，教師必須關(guān)注的一個核心是：學(xué)生才是這個過程中的主體，因此必須關(guān)注學(xué)生的主體地位。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，中高年級的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象思維能力，在遇到不同難度的學(xué)習(xí)內(nèi)容的時候，中高年級的學(xué)生也往往能夠在形象思維和抽象思維之間做出比較好的切換，所以從這個角度講，中高年級階段是思維能力和表述能力培養(yǎng)的重要階段。在這個階段中，讓思維能力和表述能力之間形成相互促進的良好循環(huán)，對于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、生成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)來說，具有很大的幫助作用。

數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)?！币虼耍鳛橐幻W(xué)數(shù)學(xué)教師，必須改變小學(xué)生用生活語言表達對數(shù)學(xué)知識理解的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力，從而促進其思維能力的發(fā)展。筆者在多年的中高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中一直高度重視這個學(xué)段的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的思維特點，比如筆者就發(fā)現(xiàn)：當中高年級學(xué)生遇到較為抽象的數(shù)學(xué)問題時，他們會直接通過畫圖或者自己尋找例子的方式，來化解自己思維上的困難。這種思維特點就決定了在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的時候，教師可以在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)域內(nèi)選擇難度稍大的問題，以培養(yǎng)學(xué)生的思維切換能力?？偟膩碚f，面對中高年級的學(xué)生，思維能力與表述能力之間的相互促進是可以實現(xiàn)的，這應(yīng)當成為課堂上的一個常態(tài)。