運(yùn)用逆向思維，巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題

周映花

摘? 要：小學(xué)階段是培養(yǎng)逆向思維的重要時(shí)期，要結(jié)合學(xué)情實(shí)際，完善教法體系，讓學(xué)生從逆向思維應(yīng)用中，提高解題熱情，增強(qiáng)解題能力。文章對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用逆向思維，巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了探析。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);逆向思維;價(jià)值

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，思維的激活與創(chuàng)新是發(fā)展重點(diǎn)，運(yùn)用逆向思維來(lái)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往能夠?yàn)榍山怆y題找到新的突破口。逆向思維是思維發(fā)散的一種方式，并不適合所有數(shù)學(xué)問(wèn)題。但對(duì)于逆向思維的關(guān)注，重在開(kāi)拓學(xué)生的解題視野，為學(xué)生巧解題、會(huì)解題奠定基礎(chǔ)。關(guān)注逆向思維，就是要以“反其道而行之”的思維方式，面對(duì)數(shù)學(xué)題目，變換解題方向，尋找新的突破口。

■一、重視逆向思維滲透，發(fā)揮教育價(jià)值

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，思維力的培養(yǎng)至關(guān)重要。逆向思維是一種思維方式，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，“多做題”仿佛成為不變的定律。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的思維就可能被固化，而逆向思維作為發(fā)散思維之一，其作用表現(xiàn)在：一是將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，如某題：29+299+2999+29999+299999，如果采用傳統(tǒng)的求和計(jì)算，不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，還易出錯(cuò)。如果采用逆向思維，可以將上面的五個(gè)數(shù)分別加“1”，再整體減“5”，那么解題效率將大大提升?？梢?jiàn)，從逆向思維來(lái)分析和求解數(shù)學(xué)題，可以讓一些復(fù)雜的難題變得簡(jiǎn)單。二是增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解。數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)具有邏輯性、關(guān)聯(lián)性、抽象性，學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)因理解不準(zhǔn)確而找不到解題思路。如7的5倍是多少？我們通過(guò)正向思維，可以很快算出“35”;但我們問(wèn)學(xué)生：一個(gè)數(shù)的5倍是“35”，這個(gè)數(shù)是多少？一些學(xué)生就會(huì)迷惑不解，搞不清楚如何求解。

事實(shí)上，在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中，很多數(shù)學(xué)公式具有雙向性。如1千克=1000克，同樣10000克=10千克。只有讓學(xué)生理解并懂得逆向思維的重要性，而不是按部就班地習(xí)慣于搬用固定公式來(lái)解題，才能增強(qiáng)學(xué)生的解題思維靈活性，夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

■二、挖掘題目中的關(guān)鍵點(diǎn)，抓住逆向思維應(yīng)用時(shí)機(jī)

在數(shù)學(xué)解題中，對(duì)逆向思維的運(yùn)用，并非適合所有題。什么時(shí)候適宜逆向思維，需要我們把握數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵點(diǎn)。如數(shù)學(xué)教材中的順逆公式、順逆關(guān)系式等，這些問(wèn)題可以利用逆向思維，換個(gè)角度來(lái)分析題意，找準(zhǔn)解題突破口。

以某題為例：有一包糖，共80塊。由2人分，每人多少塊？由4人分，每人多少塊？由8人分，每人多少塊？對(duì)于該題所用到的數(shù)學(xué)乘除法知識(shí)，我們可以進(jìn)行剖析。什么是乘法？對(duì)于相同的幾個(gè)數(shù)相加，就等于該數(shù)乘以相加的次數(shù)。反過(guò)來(lái)，對(duì)于除法，一個(gè)數(shù)除以加數(shù)，可以得到次數(shù)。因此，從某種視角來(lái)看，乘法與除法具有互逆性。分析上題可知，由2人去分，就等于將“80”作為整體，分給2人，用“80÷2”來(lái)解;由4人來(lái)分，就等于“80÷4”;同樣道理，對(duì)于8人來(lái)分，就等于“80÷8”。在求解中，數(shù)量關(guān)系的提煉是解題的關(guān)鍵點(diǎn)。通常在題目分析時(shí)，可以用順推方式來(lái)找到數(shù)量關(guān)系，也可以用逆推方式去推導(dǎo)數(shù)量關(guān)系。

又如，顧客給售貨員100元，買(mǎi)了3個(gè)足球，售貨員找顧客4元，問(wèn)足球多少錢(qián)？分析該題時(shí)，需要我們從題設(shè)中找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系。顧客付了100元，找回4元，實(shí)際付了多少錢(qián)？這些錢(qián)，共買(mǎi)了3個(gè)足球，由此可以算出每個(gè)足球值多少錢(qián)。在分析題意時(shí)，可以逆向?qū)ふ仪蠼馑悸?。想要算出每個(gè)足球的價(jià)格，就得知道兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是花了多少錢(qián)，二是買(mǎi)了幾個(gè)球。顯然，題目中有“3”個(gè)球，但并未給出具體的錢(qián)數(shù)。這個(gè)錢(qián)數(shù)又與付出“100”元，找回“4”元有關(guān)，可以先計(jì)算出花了多少錢(qián)，即“100-4=96”，然后，利用“一個(gè)數(shù)乘以3得到96”這一逆向思維，就可以找到計(jì)算方法，“96÷3=32”。

可見(jiàn)，對(duì)于逆向思維的應(yīng)用，要能夠從題意中找到逆向轉(zhuǎn)換的條件。教師要引導(dǎo)學(xué)生全面梳理題意，從求解目標(biāo)反向推導(dǎo)解題條件，與哪些數(shù)量關(guān)系有關(guān)，需要把握哪些數(shù)量值，再?gòu)闹懈鶕?jù)數(shù)學(xué)邏輯，列出求解方法。

■三、關(guān)注題設(shè)條件，促進(jìn)發(fā)散思維養(yǎng)成

逆向思維的培養(yǎng)，需要強(qiáng)化學(xué)生發(fā)散思維意識(shí)。對(duì)于數(shù)學(xué)題目，教師要關(guān)注學(xué)生多維化分析題設(shè)條件，拓展數(shù)學(xué)求解思路。很多數(shù)學(xué)公式往往是需要學(xué)生記憶的，但這些公式，很多學(xué)生并未真正理解，導(dǎo)致求解時(shí)用錯(cuò)。對(duì)于這些公式，可以從逆向思維分析入手，探析題設(shè)條件，將解題目標(biāo)與題設(shè)建立有效關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生靈活運(yùn)用公式解題。

如小明有一些小五星，這學(xué)期又得到24個(gè)。小明將小五星送給小華30個(gè)，還剩52個(gè)。問(wèn)小明原有多少個(gè)小五星？對(duì)該題的求解，如果采用正向思維，學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)未知數(shù)，也不懂方程，顯然在求解思路上難以為繼。如果采用逆向推理，小明現(xiàn)有52個(gè)小五星，加上之前送給小華的30個(gè)，應(yīng)該是52+30=82（個(gè)）;但這個(gè)數(shù)量里，還有這學(xué)期新得的24個(gè)，所以應(yīng)該減去24，即82-24=58（個(gè)）。所以說(shuō)，通過(guò)逆向思維來(lái)突破解題疑惑，可以讓學(xué)生從倒推中，深刻理解題意，把握數(shù)量關(guān)系。同樣，逆向思維在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師要善于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不能照搬、照抄公式，而是要主動(dòng)去理解題意，引導(dǎo)學(xué)生抓住思維發(fā)散點(diǎn)。

又如對(duì)于連續(xù)多個(gè)分?jǐn)?shù)的求和計(jì)算，■+■+■+■+■，若直接按照兩兩通分來(lái)計(jì)算，則解題煩瑣、解題量大，還易解錯(cuò)。因此，對(duì)于該題，能否獨(dú)辟蹊徑，找到新的求解方法？對(duì)于該題，我們可以利用■-■=■，■-■=■，■-■=■，■-■=■，■-■=■對(duì)原式進(jìn)行變換，得到■-■+■-■+■-■+■-■+■-■，最終簡(jiǎn)化為■-■=■。如此變換，既讓計(jì)算量大大降低，也提高了解題速度。所以說(shuō)，應(yīng)用逆向思維解題時(shí)，要讓學(xué)生發(fā)散思維，并給予針對(duì)性訓(xùn)練。

■四、突破解題常規(guī)，巧解數(shù)學(xué)難題

對(duì)逆向思維在數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用，要突破常規(guī)思維，敢于從逆向推導(dǎo)中解決難題。通常，在面對(duì)解題方法煩瑣的應(yīng)用題時(shí)，可以換個(gè)角度，從逆向思維中來(lái)嘗試解題。對(duì)于應(yīng)用題，利用常規(guī)的解法，主要由已知條件，尋求未知目標(biāo)。但一些題目情境較為復(fù)雜，正向求解困難大。

如，有一個(gè)猴子和一框桃子，如果猴子每天吃框里的一半還多一個(gè)桃子，等第十天時(shí)，框里僅剩1個(gè)桃子。問(wèn)猴子吃了幾個(gè)桃子？對(duì)于該題，在尋找解題方法時(shí)，通常會(huì)根據(jù)題意，假設(shè)共有x個(gè)桃子，然后列出一元一次方程，來(lái)推導(dǎo)出一個(gè)很復(fù)雜的解題式子。對(duì)于小學(xué)生，這種解法顯然是煩瑣的。此時(shí)我們可引入逆向思維，從反向來(lái)推導(dǎo)。先從第十天向前推，依次推導(dǎo)第一天，這樣一來(lái)，問(wèn)題就會(huì)變得很簡(jiǎn)單。也就是說(shuō)，第十天時(shí)，有1個(gè)桃子，則第九天時(shí)，應(yīng)該4個(gè);以此類(lèi)推。然后將這些桃子數(shù)量加一起，即可求解。在平時(shí)，一些難以求解的應(yīng)用題，往往可以嘗試逆向思維來(lái)獲得解題捷徑。如某題：羊圈有羊100只，山羊是綿羊的3倍，山羊、綿羊各多少只？分析題設(shè)條件，共有100只羊，山羊是綿羊的3倍。學(xué)生想依靠一個(gè)倍數(shù)關(guān)系求解，但他們沒(méi)有學(xué)過(guò)二元一次方程，會(huì)感到棘手，無(wú)從突破。這時(shí)，我們可以從逆向求索。既然山羊是綿羊的3倍，那綿羊的3倍與山羊數(shù)量相等。如果這些羊全是綿羊，則綿羊的4倍就應(yīng)該等于總羊數(shù)。由此，就可以求出綿羊的數(shù)量，再按照3倍計(jì)算出山羊數(shù)量，難題瞬間迎刃而解。

同樣，在小學(xué)應(yīng)用題中，難點(diǎn)往往是給出一個(gè)已知條件，但并未給出另外的條件，需要學(xué)生能夠從逆向分析中，找到另外的條件。如某題：工廠生產(chǎn)零部件，每天生產(chǎn)2000個(gè)，10天可完成;為了提前完成，如果每天多加工500個(gè)，問(wèn)比原計(jì)劃提前幾天完成？該題求解的是實(shí)際天數(shù)比計(jì)劃天數(shù)少幾天，需要我們計(jì)算出實(shí)際天數(shù)。但這個(gè)天數(shù)是未知的。根據(jù)原計(jì)劃，每天2000個(gè)，10天完成，則可以求解出總數(shù)量。第二種方案是每天多加工500個(gè)，則每天加工2500個(gè)，根據(jù)總數(shù)量、每天加工量可以計(jì)算出實(shí)際天數(shù)，20000÷2500=8（天）。題目需要求解的是提前了幾天，8天與10天進(jìn)行比較，則10-8=2（天）。

■五、結(jié)語(yǔ)

逆向思維作為一種數(shù)學(xué)求解思路，其應(yīng)用要結(jié)合具體的題目靈活選擇。通常，面對(duì)數(shù)學(xué)難題，需要把握兩點(diǎn)：一是尋找題設(shè)條件，哪些是已知，哪些是未知，根據(jù)已知可以推導(dǎo)出哪些中間量，與求解目標(biāo)有何關(guān)系。二是在分析題意時(shí)，可以從逆向思維來(lái)嘗試求解，由問(wèn)題的結(jié)果，從逆向推導(dǎo)中一步步回溯，找到解題方法。在平時(shí)，教師要重視逆向思維的訓(xùn)練，讓學(xué)生能夠從逆向思維應(yīng)用中，深刻理解題意，找準(zhǔn)求解關(guān)鍵點(diǎn)，增強(qiáng)難題求解信心，提升數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)。