關(guān)注學(xué)生發(fā)展 打造愉悅課堂

阿麗米熱·艾尼

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)的學(xué)科地位及學(xué)科價(jià)值決定教學(xué)中不能搞“灌輸”和“題?！?，教師應(yīng)以發(fā)展學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)，注意教學(xué)素材的積累和整合，以“三個(gè)理解”為基礎(chǔ)合理地開(kāi)發(fā)和利用多樣教學(xué)資源，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，優(yōu)化學(xué)生認(rèn)識(shí)，提升教學(xué)品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)素材;數(shù)學(xué)思考;教學(xué)品質(zhì)

人們常說(shuō)“得數(shù)學(xué)者得天下”，可見(jiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科在高中學(xué)科中的價(jià)值和地位. 數(shù)學(xué)教學(xué)旨在促進(jìn)學(xué)生高效、自主地學(xué)習(xí). 為了追求高效，大多數(shù)教師認(rèn)為“灌輸”和“題海”是最有效的教學(xué)手段，然實(shí)踐證明，“灌輸”和“題海”不僅會(huì)增加教學(xué)負(fù)擔(dān)，使得“教師教得苦，學(xué)生學(xué)得累，教學(xué)收益低”，而且無(wú)法達(dá)到教學(xué)預(yù)期. 其實(shí)只有讓學(xué)生“樂(lè)學(xué)”“會(huì)學(xué)”才能實(shí)現(xiàn)高效、高質(zhì)的教學(xué)目標(biāo). 為了讓學(xué)生“樂(lè)學(xué)”“會(huì)學(xué)”，教師要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，知曉學(xué)生“之所需”“之所想”，尊重個(gè)體發(fā)展，讓“學(xué)”變成一件自發(fā)的、自然的事情，從而讓學(xué)生心悅誠(chéng)服地優(yōu)化認(rèn)知，以此提升課堂效率. 但在實(shí)際的解題教學(xué)中，為了趕進(jìn)度，大多數(shù)教師習(xí)慣統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，將自己認(rèn)為的最優(yōu)解決方案灌輸給學(xué)生，忽視了個(gè)體思維差異所帶來(lái)的解題差異，忽視了課堂生成性資源的開(kāi)發(fā)與利用，從而使得課堂氛圍消極、低沉. 由于學(xué)生的思維方式、認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)習(xí)慣等存在差異，因此對(duì)于同一問(wèn)題往往可能有著不同的解決方案. 面對(duì)這些不同的解決方案時(shí)，教師應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)自我展示的平臺(tái)，從而捕捉思維的閃光點(diǎn)和障礙點(diǎn)，繼而通過(guò)有針對(duì)性的引導(dǎo)來(lái)優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心. 筆者以“基本不等式”復(fù)習(xí)課為例，談?wù)剮c(diǎn)教學(xué)體會(huì)，以期共鑒！

[?]教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 積累素材，豐富認(rèn)知

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)際反饋來(lái)看，學(xué)生應(yīng)用基本不等式時(shí)常常會(huì)因?yàn)楹雎圆坏仁降倪m用條件而出現(xiàn)錯(cuò)解，因此教師在新知教學(xué)中會(huì)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)三個(gè)條件——“一正、二定、三相等”，有的教師還會(huì)強(qiáng)調(diào)“和定積最大”“積定和最小”等特征，但學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中還是會(huì)出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，究其原因就是學(xué)生并沒(méi)有真正領(lǐng)悟其本質(zhì)，因此解題時(shí)自然會(huì)出現(xiàn)漏用或錯(cuò)用的情況. 基于此，教師應(yīng)充分暴露學(xué)生的思維誤區(qū)，以此找到問(wèn)題的癥結(jié)，繼而通過(guò)有效引導(dǎo)幫助學(xué)生突破思維障礙.

本課教學(xué)中教師先與學(xué)生共同回顧了知識(shí)要點(diǎn)，然后給出了兩個(gè)具體練習(xí)例題進(jìn)行知識(shí)的鞏固和強(qiáng)化.

例1 已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且ab-a-2b=0，求-+b2-的最小值.

教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，學(xué)生解答如下：

解法1：因?yàn)?b2≥ab，+≥2，a+2b≥2=ab，三個(gè)不等式均是在a=2b時(shí)取“=”，所以只需求出a，b的值，代入所求即可.

解法2：將條件ab-a-2b=0轉(zhuǎn)化為1=+，所求即

-+b2-，猜測(cè)=時(shí)取最小值.

解法3：條件ab-a-2b=0等價(jià)于a+2b=ab，所求化簡(jiǎn)為-ab-，整體消元為ab或a+2b的二次函數(shù)再求最小值.

例2 已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足xy+2x+3y=21，求xy+5x+4y的最小值.

學(xué)生解答如下：

解法1：xy+5x+4y≥xy+2，當(dāng)且僅當(dāng)5x=4y時(shí)取“=”，結(jié)合條件xy+2x+3y=21解出x，y，代入所求即可.

解法2：將xy+5x+4y消元化簡(jiǎn)為10+3

x+3+

，0≤x≤，再利用基本不等式求解.

可見(jiàn)，同一問(wèn)題涌現(xiàn)出了不同的解題方法，當(dāng)面對(duì)不同的解題方法時(shí)教師的態(tài)度將直接影響學(xué)生的解題信心. 若教師不進(jìn)行細(xì)致分析，僅對(duì)答案的對(duì)錯(cuò)給予評(píng)價(jià)，將很難培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性;若教師對(duì)不同解法視而不見(jiàn)，只是將自己的解題過(guò)程講授給學(xué)生，然后讓學(xué)生進(jìn)行模仿，這樣不僅難以發(fā)散學(xué)生的思維，而且不易實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的內(nèi)化. 其實(shí)，教師應(yīng)尊重學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多維度地思考和解決問(wèn)題，同時(shí)要對(duì)不同解法給予正面的評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)解法的優(yōu)化和認(rèn)知的完善.

2. 深度剖析，優(yōu)化認(rèn)知

通過(guò)以上解法可以看出，雖然部分學(xué)生也得到了正確的答案，然不乏歪打正著和缺乏嚴(yán)密邏輯的情況，因此實(shí)際教學(xué)中教師有必要順著學(xué)生的思路“探一探”，明晰學(xué)生思維盲點(diǎn)，繼而通過(guò)合理的引導(dǎo)幫助學(xué)生跳出思維誤區(qū)，優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知. 為了明晰學(xué)生的思維過(guò)程，教師不妨與學(xué)生進(jìn)行深入交流、探討，找到問(wèn)題的癥結(jié)，繼而對(duì)癥下藥，糾正學(xué)生認(rèn)知偏差，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

（1）探究過(guò)程，糾正認(rèn)知偏差

對(duì)于例1，通過(guò)以上三種解法所得的最終答案都是7，若學(xué)生給出答案后按照教師的方案解題，不僅難以發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中存在的問(wèn)題，而且會(huì)深化學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，繼而影響解決準(zhǔn)確率的提升.

對(duì)于解法1，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得

+b2

-

+

≥ab-2，顯然這樣的推理是錯(cuò)誤的，只是剛好在a=2b時(shí)取最小值. 實(shí)際教學(xué)中，教師沒(méi)有直接給出具體錯(cuò)因，而是讓學(xué)生思考這樣一個(gè)問(wèn)題：若將問(wèn)題改編為“求++b2+的最小值”，那么

+b2

+

+

≥ab+2是否可以用解法1求解呢？

教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生交流，對(duì)于以上問(wèn)題學(xué)生持有不同的態(tài)度：有的學(xué)生認(rèn)為用解法1做沒(méi)有問(wèn)題，求出a，b的值代入后就是定值，符合“二定”的條件，同時(shí)也能取等號(hào);有的學(xué)生認(rèn)為之所以能得到定值是因?yàn)橄热×说忍?hào)，不符合基本不等式的應(yīng)用條件. 學(xué)生一時(shí)難以說(shuō)服彼此. 此時(shí)教師并沒(méi)有直接指正，而是讓學(xué)生分析例2的解法1：等號(hào)成立時(shí)x=，y=3，但取x=1，y=或x=0，y=7等，代入xy+5x+4y的值均比等號(hào)成立時(shí)小，可見(jiàn)例1和例2的解法1是存在問(wèn)題的. 但對(duì)于

+b2

+

+

≥ab+2，發(fā)現(xiàn)ab+2可以求出最小值，且當(dāng)ab=8時(shí)取最小值，雖然多次運(yùn)用了基本不等式，但是每次取等號(hào)的條件是相同的，故求++b2+的最小值時(shí)應(yīng)用解法1是正確的.

這樣學(xué)生通過(guò)交流、對(duì)比、探究，發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的癥結(jié)，達(dá)成了認(rèn)知的共識(shí)，即多次應(yīng)用基本不等式取最值時(shí)，一定要確保每次取等號(hào)的條件是相同的，也要保證出現(xiàn)定值.

在以上錯(cuò)因分析過(guò)程中，教師預(yù)留了充足的時(shí)間讓學(xué)生自由爭(zhēng)論，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的癥結(jié)，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，顯然優(yōu)于教師直接指正. 在復(fù)習(xí)階段，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析和解決問(wèn)題的能力，因此教師應(yīng)學(xué)會(huì)放手，多給學(xué)生一些機(jī)會(huì)讓他們自己去發(fā)現(xiàn)，這樣可有效提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

（2）深度探究，達(dá)成共識(shí)

在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)常常浮于表面，過(guò)度依賴直覺(jué)思維，不經(jīng)過(guò)探究就給問(wèn)題下定義，如題難、題新、運(yùn)算復(fù)雜等，從而解題時(shí)出現(xiàn)了畏難情緒. 大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣在自己擅長(zhǎng)的領(lǐng)域、用自己擅長(zhǎng)的方式去思考和解決問(wèn)題，顯然這樣難以發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案，不利于學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展. 教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度探究，以此讓學(xué)生認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知.

對(duì)于例1的解法2，學(xué)生之所以猜測(cè)=時(shí)取最值，主要源于條件及所求的，的地位的一致性，可見(jiàn)學(xué)生具有敏銳的洞察力. 為了深化理解，讓學(xué)生達(dá)成共識(shí)，教師繼續(xù)引導(dǎo)，讓學(xué)生通過(guò)換元來(lái)看清結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：令m=，n=，則m+n=1，m>0，n>0，求+-1的最小值. 將+-1化簡(jiǎn)為

-1

-2，由條件得0

回顧以上過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，“和定積最大”的特征已經(jīng)顯現(xiàn)，因此可以將所求轉(zhuǎn)化為與積有關(guān)的二次函數(shù)，問(wèn)題即可迎刃而解. 有學(xué)生提出（a-2）（b-1）=2的積為定值，令m=a-2，n=b-1，則mn=2，m>0，n>0，所求為-+（n+1）2-的最小值，但轉(zhuǎn)化至此就不知道該如何轉(zhuǎn)化為mn了. 教師提示“積定”就是求m，n和的形式，問(wèn)題化簡(jiǎn)得+（m+2n）-1，而m+2n≥2=4，這樣根據(jù)“積定和最小”亦能求解.

再探究例1的解法3，其解題思路是將ab，a+2b看成兩元，用消元法將所求化簡(jiǎn). 分析學(xué)生解題思路后教師提出了這樣的問(wèn)題：“本題是a，b兩元問(wèn)題，是否能直接消元呢？”學(xué)生認(rèn)為直接消元會(huì)很煩瑣，所以并沒(méi)有進(jìn)行這樣的嘗試，于是師生共同嘗試消元a，得+b2-1，b>1，令b-1=t，即

t+

-2，顯然直接消元a通俗易懂，運(yùn)算簡(jiǎn)便. 可見(jiàn)，憑直覺(jué)并不能發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解決方案，在解題中只有多嘗試，才能收獲最優(yōu)方案. 另外，解題過(guò)程中不能一味追求技巧，這樣可能會(huì)失去問(wèn)題的本真，從而造成解題思路偏移，最終影響解題效果.

對(duì)于例2，條件xy+2x+3y=21可轉(zhuǎn)化為（x+3）（y+2）=27，符合“積定”的特征，令m=x+3，n=y+2，換元得mn=27，m≥3，n≥2，求3m+n+10的最小值，這樣應(yīng)用基本不等式或線性規(guī)劃知識(shí)即可迎刃而解. 接下來(lái)教師又繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考，令t=xy+5x+4y，將xy+2x+3y=21轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的二元一次方程組，消化并化簡(jiǎn)得3x2+（28-t）x+3（28-t）=0，由Δ≥0得t≥28，經(jīng)檢驗(yàn)，等號(hào)能取到.

回顧以上過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，在解決二元或多元問(wèn)題時(shí)，消元可謂是解決此類問(wèn)題最常用的處理方法，而合理?yè)Q元可優(yōu)化整體關(guān)系，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提升解題效率. 解題時(shí)不要拘泥于一種形式，應(yīng)注意分析問(wèn)題特征，借助多種渠道（如基本不等式、函數(shù)、方程等）優(yōu)化解題策略. 另外，應(yīng)用基本不等式時(shí)要把握好應(yīng)用的條件，抓住“和定”“積定”等特征合理轉(zhuǎn)化，繼而提升解題準(zhǔn)確率.

3. 借助實(shí)踐，升華認(rèn)知

通過(guò)深入探討，學(xué)生的探究熱情被激發(fā)出來(lái)，學(xué)生迫不及待地想用所學(xué)知識(shí)和方法去解決問(wèn)題，此時(shí)若能提供獨(dú)立實(shí)踐的機(jī)會(huì)，定能實(shí)現(xiàn)鞏固認(rèn)知，深化理解的效果. 基于此，教師精心選題，以“舊題新做”幫助學(xué)生及時(shí)鞏固和優(yōu)化認(rèn)知.

例3 已知圓C被x軸分成兩段圓弧，弧長(zhǎng)比為3∶1，截y軸所得弦長(zhǎng)為2. 求圓心C到直線l：x-2y=0的距離最小的圓的方程.

根據(jù)已知，大多數(shù)學(xué)生容易得到圓心C（a，b）到直線l的距離為d=，且2b2-a2=1，但是求最值時(shí)望而卻步，現(xiàn)分析思路：

解法1：從幾何意義上進(jìn)行解讀，可以應(yīng)用線性規(guī)劃知識(shí)，轉(zhuǎn)化為l的平行線與雙曲線有公共點(diǎn)的問(wèn)題，聯(lián)立a-2b=z，2b2-a2=1對(duì)a，b有解，消元得2b2+4bz+z2+1=0，由Δ≥0求得d的最小值.

解法2：直接從代數(shù)的角度求解.

①由d=去掉絕對(duì)值得a-2b= ±d，分別消元a代入2b2-a2=1，得到關(guān)于b的二次方程，由Δ≥0求得d的最小值.

②由d=兩邊平方去掉絕對(duì)值，可得5d2=a2+4b2-4ab，接下來(lái)學(xué)生又給出了多種解法：有的學(xué)生結(jié)合2b2-a2=1，變形得5d2=，分子分母同時(shí)除以b2，化簡(jiǎn)后令p=3-，則3-2

可見(jiàn)，通過(guò)練習(xí)將剛剛探究中達(dá)成的共識(shí)融于解題之中，取得了較好的效果.

通過(guò)以上練習(xí)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的全過(guò)程，不僅讓學(xué)生深化了對(duì)以上例題的理解，而且糾正了學(xué)生認(rèn)知偏差，使學(xué)生對(duì)常規(guī)解法和最優(yōu)方案也有了清晰的認(rèn)識(shí)，有效拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)了思維的變通性.

[?]教后反思

經(jīng)歷以上過(guò)程不僅幫助學(xué)生夯實(shí)了基礎(chǔ)，而且進(jìn)行了思維的拓展和提升，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升是至關(guān)重要的. 結(jié)合上述教學(xué)實(shí)踐，筆者談幾點(diǎn)自己的心得體會(huì)：

首先，教師不要將自己的想法強(qiáng)加給學(xué)生，要尊重學(xué)生，將學(xué)生的解答過(guò)程轉(zhuǎn)化為寶貴的教學(xué)資源，并通過(guò)合理的開(kāi)發(fā)和利用實(shí)現(xiàn)認(rèn)知優(yōu)化. 在日常教學(xué)中，教師要了解學(xué)生，多留意他們?nèi)粘５膶W(xué)習(xí)過(guò)程，只有這樣才能準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平、解題習(xí)慣、學(xué)習(xí)動(dòng)向和實(shí)際需求，從而有針對(duì)性地選擇教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，調(diào)整教學(xué)策略，以此讓課堂教學(xué)更適合學(xué)生的思維發(fā)展，讓學(xué)生學(xué)得自然、愉悅.

其次，教師要多鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、交流、總結(jié)和反思，注意培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)習(xí)慣. 教學(xué)中教師要多給學(xué)生一些時(shí)間和空間去思考、去表達(dá)、去嘗試、去探究，引導(dǎo)學(xué)生從多角度去分析和解決問(wèn)題，這樣才能拓展學(xué)生的思維，優(yōu)化解題思路. 同時(shí)，解答后要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，繼而認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，掌握解題的通法，形成批判性的思維習(xí)慣，進(jìn)而逐漸提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力. 總之，實(shí)際教學(xué)中教師切勿急于求成，要通過(guò)深入探究來(lái)誘發(fā)學(xué)生深度思維，從而逐漸將知識(shí)內(nèi)化為能力，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

再次，教學(xué)中教師要“以生為主”，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過(guò)循序漸進(jìn)地引導(dǎo)幫助學(xué)生完善認(rèn)知. 在此過(guò)程中，教師要有足夠的耐心去啟發(fā)、指導(dǎo)、交流、傾聽(tīng)，要充分了解學(xué)生，這樣才能通過(guò)有針對(duì)性的引導(dǎo)糾正學(xué)生認(rèn)知的偏差，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

最后，教師也要不斷提升自己、完善自己、發(fā)展自己. 在教學(xué)中改變傳統(tǒng)單一的教學(xué)模式，多方面積累教學(xué)素材，通過(guò)合理的開(kāi)發(fā)和整合，助力學(xué)生全面提升.

總之，教師要尊重學(xué)生、信任學(xué)生、理解學(xué)生，注重學(xué)生“雙基”的提升和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)平等和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生感覺(jué)學(xué)習(xí)是一件自然的、愉悅的事情，以此激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提升教學(xué)效率.