巧借數(shù)學(xué)錯(cuò)誤 實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)

劉雁冰

[摘? 要] 錯(cuò)誤往往是伴隨著學(xué)習(xí)自然生成的，是無法避免的，因此師生要學(xué)會(huì)接受錯(cuò)誤、利用錯(cuò)誤，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的動(dòng)力和成長(zhǎng)的鋪路石. 在面對(duì)錯(cuò)誤時(shí)不要過于急躁，應(yīng)給學(xué)生一定的時(shí)間進(jìn)行總結(jié)和反思，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)習(xí)能力提升.

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)誤;反思;習(xí)慣;能力

隨著知識(shí)容量和難度的不斷增加，學(xué)習(xí)過程中出錯(cuò)的概率勢(shì)必有所提升，因此面對(duì)錯(cuò)誤時(shí)，師生應(yīng)有秉持寬容、客觀的態(tài)度，避免因過度焦慮而影響教學(xué)效果. 錯(cuò)誤在學(xué)習(xí)過程中是必不可少的，是教學(xué)中寶貴的生成性資源，只有經(jīng)歷一些錯(cuò)誤，才能順利地走出思維誤區(qū)，進(jìn)而培養(yǎng)思維的深刻性[1]. 其實(shí)，在教學(xué)過程中，教師也會(huì)犯錯(cuò)，即使教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，面對(duì)動(dòng)態(tài)生成的課堂時(shí)也會(huì)出現(xiàn)瑕疵和不足. 因此，面對(duì)“教”與“學(xué)”中的不足時(shí)不應(yīng)急于全盤否定，而應(yīng)進(jìn)行深刻的反思，從而找到錯(cuò)誤的根源，只有這樣才能合理地進(jìn)行開發(fā)和利用，將“不足”轉(zhuǎn)化為優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，使教學(xué)能力和教學(xué)素養(yǎng)得到優(yōu)化和提升. 因此，教學(xué)中不僅要正視錯(cuò)誤，而且要合理地應(yīng)用錯(cuò)誤，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“教”與“學(xué)”的共同進(jìn)步. 基于此，筆者結(jié)合“教”與“學(xué)”中的錯(cuò)誤，淺談幾點(diǎn)應(yīng)對(duì)策略，僅供參考！

[?]預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，鼓勵(lì)質(zhì)疑

教師也會(huì)犯錯(cuò)，有時(shí)可能是故意而為之，有時(shí)可能是受到了外界的干擾，有時(shí)可能是課前準(zhǔn)備不充分，等等. 出現(xiàn)錯(cuò)誤后不要急于改正，有時(shí)可以借題發(fā)揮，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力;也可以借助教師的錯(cuò)誤讓學(xué)生面對(duì)錯(cuò)誤時(shí)能夠更加自信和從容，從而將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的動(dòng)力和學(xué)習(xí)的信心.

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+1，x≥0，

1，x<0， 則滿足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的范圍是________.

在復(fù)習(xí)“函數(shù)與不等式”時(shí)，教師精選了一道高考真題作為例題，進(jìn)而通過真題的滲透樹立學(xué)生解題的信心. 在本題的求解過程中，教師故意“犯錯(cuò)”，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去質(zhì)疑，從而在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的同時(shí)，培養(yǎng)思維的深刻性.

解：畫出函數(shù)的圖像，如圖1所示. 由于函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增的，所以不等式f（1-x2）>f（2x）等價(jià)于1-x2>2x，解得-1-

問題求解后，學(xué)生都沒有表示異議，并且認(rèn)為應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想，解題思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)單，可見學(xué)生都掉入了教師預(yù)設(shè)的“陷阱”.

師：解題后，我們還需要做什么呢？

生齊聲答：檢查！

師：很好！現(xiàn)在把檢查的任務(wù)交給大家來完成. （教師引導(dǎo)學(xué)生借助檢查“回頭望”，從而發(fā)現(xiàn)問題）

生1：上面的答案有問題. x=-2不是不等式f（1-x2）>f（2x）的解.

師：很好，生1檢查時(shí)應(yīng)用了特殊值法，是一個(gè)好辦法. 那么問題到底出現(xiàn)在哪里呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生一起探究）

生2：函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)遞增的，其在區(qū)間[0，+∞）上才是單調(diào)遞增的，因此不等式f（1-x2）>f（2x）和不等式1-x2>2x并不是等價(jià)的，應(yīng)加上條件1-x2>0，即-1

師：說得非常好，看來是我做題時(shí)考慮不周.

在學(xué)生的潛意識(shí)里認(rèn)為教師是不會(huì)犯錯(cuò)的，教材更不會(huì)有問題，于是很少對(duì)教材內(nèi)容和教學(xué)過程產(chǎn)生疑問，即使有異議也是從自身尋找原因，即使不能說服自己也不會(huì)去質(zhì)疑，而是用教師或教材的解題方法來替代原有的解題思路，然沒有釋疑地盲目套用可能會(huì)造成更多的錯(cuò)誤，得不償失. 因此，教師可以讓學(xué)生多經(jīng)歷一些糾錯(cuò)的過程，打破學(xué)生對(duì)教師和課本的過度迷信，讓學(xué)生敢于質(zhì)疑，敢于提出新思路、新見解，從而將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為學(xué)生不斷前行的動(dòng)力.

[?]自我發(fā)現(xiàn)，全面提升

教學(xué)中容易發(fā)現(xiàn)，同樣的教學(xué)內(nèi)容，同樣的教師，其在不同班級(jí)講授往往會(huì)得到不同的教學(xué)效果，這也就印證了課堂是動(dòng)態(tài)的、是變化的. 教學(xué)中教師不能忽視學(xué)生，不能忽視課堂的生成性資源，這往往是高效課堂的最佳切入點(diǎn). 對(duì)于同一問題若觀察的角度不同，勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)不同的解法;對(duì)于同一知識(shí)點(diǎn)若出發(fā)點(diǎn)不同，勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果;若師生對(duì)待問題的態(tài)度不同，其最終效果也會(huì)有所不同. 因此教學(xué)中不能搞“一刀切”，不能用一成不變的眼光去看待問題、看待學(xué)生，那樣勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生的積極性. 教學(xué)中教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，允許學(xué)生自由地表達(dá)，同時(shí)容許學(xué)生犯錯(cuò)，這樣既能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，又能找到學(xué)習(xí)中存在的不足，從而通過思考、交流、爭(zhēng)辯、糾錯(cuò)等學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)形成更加深入的、全面的、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而彌補(bǔ)學(xué)生認(rèn)識(shí)的不足，促進(jìn)學(xué)習(xí)能力提升[2].

例2 已知函數(shù)f（x）=（a，b是常數(shù)，a≠0）滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有唯一解，求函數(shù)f（x）的解析式.

解：由f（x）=x，即=x，得（ax+b）x=x，整理得ax2+（b-1）x=0（a≠0）. 又方程f（x）=x有唯一解，所以Δ=（b-1）2=0，即b=1. 又f（2）==1，解得a=. 所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=.

師：請(qǐng)大家分析一下，以上求解過程是否存在問題呢？（在本題的評(píng)講過程中，教師“以生為主”，讓學(xué)生自主糾錯(cuò)）

生3：?jiǎn)栴}應(yīng)該出現(xiàn)在去分母的過程中，由=x得到（ax+b）x=x，在分式中ax+b≠0，然解題中忽略了這一點(diǎn)，因此不是等價(jià)轉(zhuǎn)化.

生4：表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，需要說明當(dāng)b=1時(shí)，方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）才有唯一解x=0，這個(gè)解滿足ax+b≠0. 加上這個(gè)說明，應(yīng)該就沒有問題了.

師：經(jīng)過生3和生4的補(bǔ)充，這樣是不是就沒有問題了呢？（教師給學(xué)生充足的時(shí)間再探究）

生5：由方程f（x）=x有唯一解，Δ=（b-1）2=0不一定成立，還可能是Δ=（b-1）2>0，此時(shí)b≠1，方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）有兩個(gè)解，x=0，x=≠0. 其中x=一定是方程的解，說明x=0不是方程的解，是增根，這時(shí)ax+b=b=0;又f（2）==1，所以a=1，此時(shí)f（x）==1（x≠0）. 所以函數(shù)的解析式應(yīng)該是兩個(gè)，即f（x）=或f（x）=1（x≠0）.

這樣學(xué)生經(jīng)歷思考、補(bǔ)充、再探究，對(duì)問題又有了更深層的理解. 在該教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師將問題交給學(xué)生進(jìn)行自主探究，學(xué)生獲得了更多展示的機(jī)會(huì)，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性被迅速激發(fā)了出來，有利于課堂效率提升. 因此，當(dāng)學(xué)生犯錯(cuò)時(shí)，教師不要急于指正，應(yīng)該給學(xué)生一定的時(shí)間進(jìn)行自我反思、自我糾錯(cuò)，即使不能順利訂正，然因其經(jīng)歷了反思的過程，同樣可以達(dá)到深層理解的目的，這樣就將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為了學(xué)生成長(zhǎng)路上的鋪路石.

[?]治好病根，避免再錯(cuò)

在學(xué)習(xí)過程中容易發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)不夠充分，常籠統(tǒng)地將錯(cuò)誤歸結(jié)為“馬虎”或“不會(huì)”，并未對(duì)錯(cuò)誤追根溯源，從而使得學(xué)生解題時(shí)常出現(xiàn)“一錯(cuò)再錯(cuò)”的現(xiàn)象. 其實(shí)，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是各種各樣的，有可能是基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，有可能是運(yùn)算出現(xiàn)了問題，有可能是知識(shí)出現(xiàn)了負(fù)遷移，也有可能是解題時(shí)過度依賴直覺思維，忽視了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚瑥亩菇忸}思路出現(xiàn)了偏差，等等. 因此，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生正確地認(rèn)識(shí)自己的錯(cuò)誤，這樣才能及時(shí)地查漏補(bǔ)缺，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

例如，在計(jì)算中誤認(rèn)為lg（x+y）=lgx+lgy，=a+b等，表面上看是馬虎所致，然實(shí)質(zhì)上是受思維定式的影響，出現(xiàn)了知識(shí)的負(fù)遷移. 對(duì)待類似的錯(cuò)誤，絕不能一點(diǎn)帶過，應(yīng)重點(diǎn)進(jìn)行剖析，通過特例進(jìn)行重點(diǎn)說明，讓學(xué)生留下深刻印象，避免再錯(cuò). 又如，學(xué)生判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，常因忽視定義域而造成錯(cuò)解，出現(xiàn)這一錯(cuò)誤的根源大多是學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的概念理解不清.

總之，在糾錯(cuò)過程中，只有找到真正的錯(cuò)因，才能有針對(duì)性地查漏補(bǔ)缺，從而通過知識(shí)的梳理和強(qiáng)化避免再錯(cuò).

[?]實(shí)時(shí)診斷，實(shí)時(shí)評(píng)價(jià)

教學(xué)中，部分教師為了趕進(jìn)度，常對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤置之不理，這樣因矯正不及時(shí)而出現(xiàn)了理解偏差，久而久之讓學(xué)生形成了錯(cuò)誤意識(shí)，后期進(jìn)行“回爐改造”往往需要更多的時(shí)間，得不償失. 其實(shí)，對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤應(yīng)該越早糾正效果會(huì)越好，這樣可以有效避免出現(xiàn)“夾生飯”的現(xiàn)象. 因此，教學(xué)中當(dāng)學(xué)生的理解出現(xiàn)偏差時(shí)，教師要及時(shí)進(jìn)行引導(dǎo);當(dāng)學(xué)生的作業(yè)出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，也要及時(shí)做出評(píng)價(jià). 當(dāng)然，因?yàn)閷W(xué)生的學(xué)習(xí)能力不同，作業(yè)中出現(xiàn)錯(cuò)解的情況也會(huì)有所不同，對(duì)于典型問題教師要集中進(jìn)行講解，對(duì)于個(gè)別問題教師可以通過“互評(píng)互助”的方式進(jìn)行評(píng)價(jià)，這樣不僅可以有效保證課堂時(shí)間不被浪費(fèi)，而且通過合作可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，有助于學(xué)生的共同進(jìn)步. 總之，對(duì)于錯(cuò)誤的診斷和評(píng)講要保證實(shí)時(shí)性，避免積少成多而讓學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.

總之，教師要合理地利用好這些寶貴的錯(cuò)誤資源，結(jié)合學(xué)生反饋及時(shí)調(diào)整教學(xué)方案，以此提高教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]?孫四周. “錯(cuò)誤”是一種重要的教學(xué)資源[J]. 中國(guó)教育學(xué)刊，2012（03）：79-81.

[2] 李允. 教學(xué)錯(cuò)誤資源：理性認(rèn)識(shí)與有效開發(fā)[J]. 中國(guó)教育學(xué)刊，2011（04）：40-42.