高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)基本策略的研究

張建明

[摘? 要] 波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)解題的成敗取決于解題思路的正確與否，因此我們要從可以接近它的方向去逐層突破[1].”解題教學(xué)作為高中教學(xué)的重中之重，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維與核心素養(yǎng)具有深遠(yuǎn)的影響. 文章認(rèn)為，解題教學(xué)的基本策略有：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)情感;示范解題，優(yōu)化方法;合作探究，提升能力;變式應(yīng)用，發(fā)散思維.

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué);思維;合作探究;變式

數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的掌握程度，一般體現(xiàn)在解題中. 解題雖不是教學(xué)的最終目的，卻是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的最佳手段，它對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與核心素養(yǎng)具有重要的促進(jìn)作用. 解題就是將理論的學(xué)習(xí)體現(xiàn)在實(shí)踐之中，有很多因素會(huì)影響著學(xué)生解題能力的發(fā)展. 因此，筆者針對(duì)解題教學(xué)的基本策略談幾點(diǎn)拙淺的看法.

[?]創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)情感

情因境生，境為情設(shè). 良好的教學(xué)環(huán)境是促進(jìn)課堂有效生成的關(guān)鍵，情境作為特殊的教學(xué)環(huán)境，能有效地支撐學(xué)生的學(xué)習(xí)，促使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的情感. 學(xué)生一旦對(duì)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生了探究欲，就會(huì)啟發(fā)思維，探索新知，學(xué)有所獲. 那么，如何在解題教學(xué)中創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境呢？實(shí)踐證明，情境創(chuàng)設(shè)要合理、有趣、生活化，且具有挑戰(zhàn)性，如此能有效地激發(fā)學(xué)生的探究欲.

問題情境是解題教學(xué)最常見的情境，是指在賦予問題以生命力的基礎(chǔ)上，將學(xué)生的思維帶入相應(yīng)的問題中. 創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題，能啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生進(jìn)行大膽猜想，并探索新的解題方法，實(shí)現(xiàn)解題能力與創(chuàng)新能力的提升.

例1 數(shù)列的開篇教學(xué).

本章節(jié)的開篇教學(xué)，以一段精彩的魔術(shù)視頻，成功地吸引了學(xué)生的注意力. 此時(shí)，教師讓學(xué)生猜想該魔術(shù)的奧秘，由此成功地引出斐波那契數(shù)列. 為了深化學(xué)生對(duì)數(shù)列的理解，教師又展示了與數(shù)列相關(guān)的一系列圖片，讓學(xué)生說一說觀察圖片后的感受與發(fā)現(xiàn).

學(xué)生在觀察圖片后，一致認(rèn)為，這些現(xiàn)象并非偶然發(fā)生的，細(xì)細(xì)琢磨，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在一定的規(guī)律性. 通過觀察與思考，學(xué)生切身感受到數(shù)列就是刻畫離散過程的基本數(shù)學(xué)模型，因此大家一致認(rèn)為數(shù)列研究是一項(xiàng)有意義的學(xué)習(xí).

由一個(gè)魔術(shù)開啟本章節(jié)的教學(xué)，有趣又有料，再用圖片激發(fā)學(xué)生深思，使得學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)列學(xué)習(xí)的意義. 這些源于生活的情境，給學(xué)生帶來了一種別樣的感官體驗(yàn)，學(xué)生在觀察、聯(lián)想、推理中逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，寓教于樂的教學(xué)方式，也使得解題教學(xué)得以順利展開.

[?]示范解題，優(yōu)化方法

不論是教材，還是教師的教學(xué)，都會(huì)對(duì)解題進(jìn)行示范. 這種示范，并非直接揭露正確答案，而是將思維過程以及容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤等暴露給學(xué)生，讓學(xué)生解題時(shí)少走彎路[2]. 俗話說，“授人以魚不如授人以漁”，解題示范就是授人以漁的過程，讓學(xué)生在觀察與思考中，獲得相應(yīng)的解題方法與數(shù)學(xué)思想，為獨(dú)立解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例2 已知α，β都是銳角，且cosα=，cos（α+β）=-，求sinβ的值.

解題示范：因?yàn)棣?，β均為銳角，已知cosα=，因此sinα=. 根據(jù)cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，假設(shè)sinβ=x，則cosβ=，-x=-. 要解該方程，過程煩瑣冗長，要經(jīng)過移項(xiàng)、平方，之后才能求出x的值. 因此，筆者鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行交流，一起來思考有沒有更簡便的解題方法.

學(xué)生經(jīng)過交流后，認(rèn)為可用以下方法進(jìn)行解題：

因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，cos（α+β）=-，所以sin（α+β）=. 由sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）·sinα，計(jì)算可得sinβ=.

教師在解題示范過程中，故意引出容易出錯(cuò)的解題方法，以激起學(xué)生思考. 當(dāng)學(xué)生對(duì)此問題產(chǎn)生了探索欲時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行交流，讓學(xué)生在交流中釋放自己的思維，汲取同伴的經(jīng)驗(yàn)，獲得解題問題的辦法.

此過程不僅解釋了遇到解題困難時(shí)，該怎樣思考突破方法，還充分暴露了解題的整個(gè)思維過程. 學(xué)生從“失敗”的解題示范中探索出了解決問題的辦法，同時(shí)，每個(gè)學(xué)生經(jīng)歷解題的坎坷后，激起了思維的浪花，獲得了成就感，為解題能力的提升奠定了基礎(chǔ).

[?]合作探究，提升能力

隨著高考制度的改革，綜合性考題的質(zhì)量越來越高，這讓學(xué)生感到解題障礙重重. 學(xué)生在步步設(shè)伏的問題中，一不小心就中了埋伏，導(dǎo)致各種錯(cuò)誤發(fā)生. 因此，教師可以利用合作探究的方式激發(fā)學(xué)生的思考，鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考中嘗試解決問題的辦法.

合作探究是指在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)合作交流，通過學(xué)習(xí)與探索主動(dòng)建構(gòu)新知的一種模式. 此方式提倡：“在凸顯學(xué)生主體性地位的同時(shí)，決不可忽視教師的主導(dǎo)作用，課堂需要在教師的引導(dǎo)下逐漸深入.”學(xué)生通過獨(dú)立思考與合作探究，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)，在取長補(bǔ)短中獲得思維的提升.

例3 觀察圖1，并思考：

（1）以這種形式拼搭成1，2，3個(gè)正方形，各需要多少根小棒？

（2）以這種形式拼搭10個(gè)正方形，需要小棒多少根？

（3）以這種形式拼搭100個(gè)正方形，需要多少根小棒？怎么計(jì)算的？

（4）若依照此形式拼搭n個(gè)正方形，需要多少根小棒？

教師將準(zhǔn)備好的小棒分發(fā)給學(xué)生，讓大家按照?qǐng)D1的模式，親自搭建小正方形，自主思考并討論問題的答案. 第（1）問對(duì)于學(xué)生而言非常簡單，學(xué)生通過簡單的操作就獲得了準(zhǔn)確答案，此問讓所有的學(xué)生都在動(dòng)手操作中，快速獲得了良好的直觀體驗(yàn).

隨著問題的逐漸深入，學(xué)生探索正方形的個(gè)數(shù)與小棒之間的關(guān)系時(shí)，產(chǎn)生了不一樣的想法. 因此，筆者鼓勵(lì)學(xué)生用小組合作學(xué)習(xí)的模式進(jìn)行探究，將各組獲得的規(guī)律以符號(hào)的形式進(jìn)行表達(dá)，幫助學(xué)生建立符號(hào)感.

合作探究中，組內(nèi)成員積極地表達(dá)了自己的看法與觀點(diǎn)，因?yàn)闆]有思想包袱，所以學(xué)生樂于表達(dá)自己的想法，這種方式有效地打破了傳統(tǒng)課堂被少部分學(xué)生占領(lǐng)的尷尬情況. 如此，可使得每個(gè)學(xué)生都能獲得表達(dá)的機(jī)會(huì)，促進(jìn)了全體成員的共同成長.

[?]變式應(yīng)用，發(fā)散思維

解題教學(xué)并非例題講得越多越好，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知與題目的特點(diǎn)，進(jìn)行深度教學(xué)[3]. 傳統(tǒng)的教學(xué)觀念認(rèn)為，解題越多，覆蓋面越廣，學(xué)生積累的經(jīng)驗(yàn)越豐富. 但“題海戰(zhàn)術(shù)”帶給學(xué)生的只有枯燥、乏味的體驗(yàn)，甚至因缺乏自己的想法，而成了刷題機(jī)器. 為了避免這種現(xiàn)象的發(fā)生，新課標(biāo)特別強(qiáng)調(diào)變式訓(xùn)練在解題教學(xué)中的重要性.

變式訓(xùn)練可以用一道題為題根，逐漸深入地靈活變化出多題;可以是多題一解，也可以鼓勵(lì)學(xué)生自主編題、變題等. 總之，就是將一個(gè)知識(shí)點(diǎn)不斷地變化、拓展、延伸，以深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)，激活學(xué)生的思維，完成以一通百的解題目的. 學(xué)生在變式訓(xùn)練中不僅能達(dá)到舉一反三的解題能力，還能形成良好的創(chuàng)新意識(shí)與探索精神. 因此，充分展現(xiàn)變式的魅力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維具有決定性的作用.

例4 y=+的值域是多少？

看到此題，學(xué)生先想到的就是用函數(shù)的單調(diào)性來解決：本題呈現(xiàn)的函數(shù)的定義域?yàn)閇5，+∞），若x=5，y=1，因此可確定待求的值域?yàn)閇1，+∞）.

若此題到此為止，那就是典型的“就題解題”. 想要通過解一道題，通一片題，達(dá)到解一百道題的目標(biāo)，就需要在此基礎(chǔ)上，對(duì)此題進(jìn)行變形，以拓寬學(xué)生的思維，強(qiáng)化學(xué)生的解題能力.

變式1：y=-的值域是多少？

這是一個(gè)典型的減函數(shù)，可選擇與題根類似的解法，對(duì)于大部分學(xué)生而言，這個(gè)變式?jīng)]有什么難度，基本起到“小試牛刀”的作用.

變式2：y=+的值域是多少？

本題與題根、變式1相比，難度稍微遞增了一些. 教師可以鼓勵(lì)學(xué)生自主探索. 學(xué)生經(jīng)過思考后，提出：分析此函數(shù)，可確定其定義域?yàn)閇4，5]，設(shè)x=sin2α+40≤α

≤，可得y=sinα+cosα=2sin

+α. 因?yàn)椤堞?≤，所以1≤2sin

+α≤2，因此1≤y≤2.

變式的提出，學(xué)生的思維隨著題目難度的增加而逐層遞進(jìn). 通過兩個(gè)變式的訓(xùn)練，既避免了“題海戰(zhàn)術(shù)”帶來的枯燥感，又幫助學(xué)生全面地理解了相關(guān)知識(shí)，且減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，達(dá)到了真正意義上的減負(fù)高效的狀態(tài). 因此，變式練習(xí)不僅能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，更重要的是能促進(jìn)學(xué)生發(fā)散性思維的成長.

總之，解題教學(xué)是師生共同參與、多元互動(dòng)的教學(xué)過程，此過程應(yīng)凸顯學(xué)生的主體性地位，教師起到引導(dǎo)與調(diào)控的作用. 解題教學(xué)中，學(xué)生不僅要獲得相應(yīng)的解題能力，更重要的是要獲得良好的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? G·波利亞. 怎樣解題[M]. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]? 韓龍淑，黃王珍. 數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題學(xué)習(xí)的反思[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006（03）：7-9.

[3]? 馬復(fù). 設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)教學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2003.