高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的不等式放縮方法

楊發(fā)蓮

摘要：在高中數(shù)學(xué)中，不等式擴(kuò)展和收縮方法經(jīng)常存在于各種不等式的證明中，這是證明不等式是否有效的常用方法，并且在學(xué)習(xí)過(guò)程中很難掌握這種方法。 本文重點(diǎn)研究了不等式的縮放方法，并以樣本問(wèn)題的形式詳細(xì)解釋了具體的縮放方法，以幫助學(xué)生更好地掌握該部分的內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);不等式;放縮方法

一、淺析不等式縮放方法

在高中不等式相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，縮放方法是一種常見(jiàn)的不等式計(jì)算方法。它主要是擴(kuò)大或縮小不等式左右兩側(cè)的項(xiàng)，以便找到中間項(xiàng)并幫助證明不等式是否正確。例如，如果難以直接證明不等式A和B，那么我們可以找到A中間c，在不等式的左側(cè)放大或縮小A到c，然后只需要證明A，c和B.這種證明不等式的方法稱為縮放方法。在使用此方法解決問(wèn)題時(shí)，需要掌握一些技能。例如，在簡(jiǎn)單的不等式的情況下，需要適當(dāng)?shù)貋G棄一些不重要的項(xiàng)，而對(duì)于過(guò)于簡(jiǎn)單的不平等，應(yīng)該適當(dāng)?shù)靥砑又虚g項(xiàng)，但必須很好地掌握程度，并且復(fù)雜性不應(yīng)該是增加，只有準(zhǔn)確把握相關(guān)內(nèi)容，才能很好地運(yùn)用這種方法。

二、常見(jiàn)的不等式縮放方法

擴(kuò)縮法是證明不等式的常用且非常重要的方法。在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)目s減和收縮可以簡(jiǎn)化復(fù)雜性并使難度變得更容易，從而以一半的努力獲得兩倍的結(jié)果。但是，收縮的范圍很難掌握，經(jīng)常出現(xiàn)收縮后無(wú)法得出結(jié)論或得出相反的結(jié)論現(xiàn)象。因此，在使用擴(kuò)縮法時(shí)，如何確定收縮目標(biāo)非常重要。為了正確確定目標(biāo)，我們必須根據(jù)結(jié)論，把握主題的特點(diǎn)。掌握擴(kuò)張和收縮的技能，真正理解并根據(jù)不同類型的問(wèn)題，采用適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展和收縮方法，解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)和提高他們的思維和邏輯推理能力，分析和解決問(wèn)題的能力。

2.1不等式縮放基于特定目標(biāo)

要應(yīng)用這種方法，有必要澄清問(wèn)題的目標(biāo)并掌握不平等縮放的程度方法主要包括添加一些項(xiàng)，刪除一些項(xiàng)，使用分?jǐn)?shù)的屬性，還有使用不等式的屬性，使用已知的不等式和使用函數(shù)的屬性等。

添加一些項(xiàng)。比如，求證：3/2-1/（n+1）<1+1/（2^2）+1/（3^2）+……+1/n^2<2-1/n結(jié)題過(guò)程為

1+1/22+1/32+...+1/n2

>1+1/（2×3）+1/（3×4）+...+1/[n（n+1）]

=1+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+...+（1/n-1/（n+1））

=1+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/（n+1）

=（3/2）-1/（n+1）

1+1/22+1/32+...+1/n2

<1+1/（1×2）+1/（2×3）+...+1/[（n-1）n]

=1+（1-1/2）+（1/2-1/3+...+（1/（n-1）-/n）

=1++1-1/2+1/2-1/3+...+1/（n-1）-1/n

=2-1/n

2.2刪除某些項(xiàng)

標(biāo)記a，b和c是正數(shù)，而ab + bc + ca = 1。標(biāo)記a + b + c，當(dāng)你看到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，如果你不使用某種縮放技術(shù)，那么這個(gè)這個(gè)題目是不可能開(kāi)始的。為了證明結(jié)論是有效的，a+b+ c可以假設(shè)a，b和c的值是相同的，并且結(jié)合設(shè)定條件ab+bc+ca = l，我們首先假設(shè)a=b=c=1，所以我們可以發(fā)現(xiàn)等號(hào)有效。如果你想證明不平等是真的，你要么必須刪除一些東西然后證明它。具體的證明過(guò)程如下：

證明：因?yàn)椋╝+b+c）2—a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

=1/2{（a-b）2+（b-c）2 +（c-a）2} +3（ab+bc+ca）

所以，（a+b+c）2+3（ab+bc+ca）=3然后再對(duì)其進(jìn)行開(kāi)方，所以，a+b+c=3只有當(dāng)a=b=c= 1時(shí)等號(hào)成立。

不等式的證明.

已知a大于2，用放縮法證明不等式：log a為底，（a-1）的對(duì)數(shù)乘以log a為底，（a=1）的對(duì)數(shù)，它們的乘積小于1.

結(jié)題過(guò)程：loga （a-1）*loga（a+1）

≤{ [loga（a-1）+loga（a+1）]/2}2={[loga （a2-1）]/2}2

<{[loga （a2）]/2}2

=1

所以，原不等式成立

2.3使用分?jǐn)?shù)的屬性

例3已經(jīng)知道a，b，c他們都是正實(shí)數(shù)，加上a+b>c證明a/（1+a）+b/（1+b）>c/（1+c）。

顯然，這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)不平等的部分?？s放時(shí)，我們可以將分子和分母與問(wèn)題集中的已知不等式條件一起縮放，然后進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)閍+b> c，所以a + b-c> 0，所以

c/（1+c）<c+（a+b-c）/1+c+（a+b-c）=a+b/1+a+b=a/（1+a+b）+b/（1+a+b）<a/（1+a）+b/（1+b）

所以c/（1+c）<a/（1+a）+b/（1+b）

即a/（1+a）+b/（1+b）>c/（1+c）

三、放縮過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn)

3.1基本的方式

a.常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅?/p>

b.“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，

c.“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Хǎ_(dá)到其證題目的

比如，要證明不等式A>B成立，可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，如A放大成C，即A<C，后證C<B，這種證法便稱為放縮法，技巧有：舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng);在分式中放大或縮小分子或分母;應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮。 理論依據(jù)有：不等式的傳遞性;等量加不等量為不等量;同分子（母）異分母（子）的兩個(gè)分式大小的比較。

3.2把握放縮的度

顯然要保持放縮后的表達(dá)式與原式有相同的極限，這就要求在一般情形下，事先即明確所求原式極限值為多少，經(jīng)放縮簡(jiǎn)化后的表達(dá)式又是多大。

四、結(jié)語(yǔ)

總而言之，對(duì)于一些在高中常用的利用放縮法解決不等式的方法和技巧已經(jīng)做了一定的闡述。它涉及許多解決技能，并與數(shù)學(xué)的其他方面密切相關(guān)。要掌握這種方法，除了掌握關(guān)鍵技能外，還要進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)其他板塊的認(rèn)識(shí)。

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