一道三角形外接圓問(wèn)題的解法集錦

張志華 武曉

[摘? 要] 在解析幾何中涉及三角形的外接圓問(wèn)題，是高考中的一類(lèi)熱點(diǎn)且為難點(diǎn)的題型.這類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的思維要求高，要求學(xué)生具有用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力. 通過(guò)一個(gè)范例給出了多種解法思路，真正起到讓學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題本質(zhì)、“做一道通一類(lèi)”的目的.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;三角形外接圓;解法集錦

在解析幾何中涉及三角形的外接圓問(wèn)題，是高考中的一類(lèi)熱點(diǎn)且為難點(diǎn)的題型.這類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的思維要求高，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力及用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，所以很多學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題望而生畏. 例如下面這道例題就是非常好的范例，值得大家認(rèn)真揣摩.

評(píng)注：此解法抓住解析幾何的本質(zhì)，從幾何圖形的性質(zhì)入手，觀察發(fā)現(xiàn)圓O與圓M位似，且位似比為1∶2，只需取點(diǎn)P的位似點(diǎn)F ′（-a，4）. 從而將F在圓O上轉(zhuǎn)化為F ′在圓M上，即F ′，A，P，B四點(diǎn)共圓，只需證對(duì)角互補(bǔ)，問(wèn)題經(jīng)過(guò)這樣轉(zhuǎn)化就變得十分簡(jiǎn)單明了了，真是“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”.

教學(xué)啟發(fā)

通過(guò)對(duì)這道涉及三角形外接圓的解析幾何問(wèn)題的深入研究，我們有頗多啟發(fā). 首先，通法通解是關(guān)鍵，應(yīng)常抓不懈. 絕大多數(shù)學(xué)生想到的是解法1，那么對(duì)字符化簡(jiǎn)的功夫要深厚，邏輯上的嚴(yán)謹(jǐn)性也值得相當(dāng)關(guān)注. 其次，恒等變形的能力也應(yīng)引起相當(dāng)重視（如解法2）. 高中沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的章節(jié)講授恒等變形，但是解題中經(jīng)常用到恒等變形，可以這么說(shuō)，“若沒(méi)有恒等變形，數(shù)學(xué)將變得寸步難行”，所以平常讓學(xué)生熟練一些基本結(jié)構(gòu)（如對(duì)偶）的變形套路十分必要. 最后，解析幾何要回歸到幾何的本質(zhì). 解析幾何首先是幾何，既然是幾何就應(yīng)該先抓住幾何圖形的特點(diǎn)認(rèn)真分析，再選擇一最佳解析方法快速切入，這也符合考試大綱所提倡的“多想一點(diǎn)、少算一點(diǎn)”的理念. 這真是“刪繁就簡(jiǎn)三秋樹(shù)，領(lǐng)異標(biāo)新二月花”.