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    《線(xiàn)性代數(shù)》教學(xué)中提高學(xué)生幾何思維能力的培養(yǎng)研究

    2015-12-09 20:45:11張開(kāi)拓
    教育教學(xué)論壇 2015年15期
    關(guān)鍵詞:解析幾何獨(dú)立思考能力線(xiàn)性代數(shù)

    張開(kāi)拓

    摘要:線(xiàn)性代數(shù)和解析幾何有著密切的聯(lián)系,然而很多學(xué)生在學(xué)習(xí)行列式和矩陣時(shí),常常只從代數(shù)角度強(qiáng)制記憶運(yùn)算規(guī)則,事倍功半,同時(shí)導(dǎo)致其學(xué)習(xí)興趣不足。本文結(jié)合筆者個(gè)人教學(xué)實(shí)際,淺談如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾何思維方式來(lái)學(xué)習(xí)、理解線(xiàn)性代數(shù)中的若干問(wèn)題,以期提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力和學(xué)習(xí)興趣。

    關(guān)鍵詞:線(xiàn)性代數(shù);解析幾何;幾何思維方式;獨(dú)立思考能力

    中圖分類(lèi)號(hào):G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2015)15-0151-02

    線(xiàn)性代數(shù)作為一門(mén)工具學(xué)科,可以處理科學(xué)技術(shù)各個(gè)領(lǐng)域中廣泛存在的線(xiàn)性問(wèn)題,是理工科的重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課。例如:工程學(xué)中經(jīng)常遇到某一動(dòng)力系統(tǒng)在擾動(dòng)下的穩(wěn)定性問(wèn)題,而能夠處理此類(lèi)問(wèn)題的“李雅普諾夫方法”,就利用了矩陣本征值的性質(zhì)。只有熟練掌握了這門(mén)工具學(xué)科,才能較好地運(yùn)用到各個(gè)專(zhuān)業(yè)中。大多學(xué)生在中學(xué)時(shí)期并未接觸過(guò)行列式及矩陣,而《線(xiàn)性代數(shù)》一開(kāi)始就會(huì)出現(xiàn)許多代數(shù)符號(hào)和運(yùn)算規(guī)則。因此,學(xué)生入門(mén)較困難,并且學(xué)生面對(duì)復(fù)雜的計(jì)算法則時(shí)會(huì)感到枯燥乏味,導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣降低。本文從筆者個(gè)人教學(xué)實(shí)際,淺談將代數(shù)與幾何結(jié)合在課程教學(xué)過(guò)程中所起的作用,特別是對(duì)工程數(shù)學(xué)用書(shū),做一具體分析。

    x-3 2=-4 5,那么問(wèn)題就變成了,能否找到一組數(shù)字x、x,使得x倍的向量21和x2倍的向量-3 2合成第三個(gè)向量-4 5(又可以稱(chēng)為能否用向量21和-3 2線(xiàn)性表示-4 5這個(gè)向量。學(xué)生較容易看出前兩個(gè)向量是不共線(xiàn)的,且x、x分別取1和2即可成立。在此基礎(chǔ)上提問(wèn):如果將常數(shù)項(xiàng)向量-4 5改成其他它的向量,例如42、 3-2、10 7等,方程有沒(méi)有解。學(xué)生們經(jīng)過(guò)思考,能夠總結(jié)出:在二維空間中兩個(gè)不共線(xiàn)的向量總可以唯一地線(xiàn)性表示出第三個(gè)任意的向量。接著,讓學(xué)生計(jì)算由兩個(gè)不共線(xiàn)的列向量組成的行列式,易得出其值不為零,進(jìn)而在教師的引導(dǎo)下明白:系數(shù)項(xiàng)組成的二階行列式不等于零,對(duì)應(yīng)著列向量不共線(xiàn)的情況,因此方程組有唯一解。然后,推廣到三維空間的情況,學(xué)生經(jīng)過(guò)思考會(huì)得出結(jié)論:三個(gè)不共面的向量總可以唯一地線(xiàn)性表示出第四個(gè)任意的向量。在課堂的最后留下一個(gè)思考問(wèn)題:猜想三個(gè)不共面的三維向量組成的三階行列式值的情況,以及其值為什么會(huì)不等于零。以上從中學(xué)幾何出發(fā)講解行列式,利用學(xué)生已學(xué)過(guò)的向量合成法則推導(dǎo)出行列式與線(xiàn)性方程組的關(guān)系,一方面可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和幾何思維能力,另一方面為以后向量空間的教學(xué)內(nèi)容做好鋪墊。特別是在后面章節(jié)介紹完線(xiàn)性相關(guān)的概念后,可以很自然地過(guò)渡到接下來(lái)的結(jié)論:如果一個(gè)n階方陣對(duì)應(yīng)的行列式的值不等于零,則組成方陣的n個(gè)列向量不共“面”(此處的面指的是n維空間的n-1維超曲面),n個(gè)列向量中的任何一個(gè)都無(wú)法用其他向量線(xiàn)性表示,因此其列向量組是一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

    第三、四章分別從代數(shù)和幾何上分析線(xiàn)性方程組解的情況。首先一個(gè)很重要的概念——矩陣的秩,其定義為矩陣的最高階非零子式所含有的階數(shù)。以上是代數(shù)描述,從幾何上來(lái)說(shuō),矩陣的行秩或列秩對(duì)應(yīng)于矩陣的行向量組或者列向量組所含獨(dú)立(線(xiàn)性無(wú)關(guān))向量的個(gè)數(shù),且行秩等于列秩。學(xué)生有了幾何概念后,更容易理解秩的一些重要定理,例如,若AB=C,則R(C)=minR(A),R(B)。這需要結(jié)合我們上面介紹的矩陣的兩種“幾何”乘法(“列乘以列”和“行乘以行”),由(3)式可以看出:矩陣C的各個(gè)列向量是由矩陣A的列向量線(xiàn)性表示的,因此C的秩必然小于等于A的秩;同理,由(4)式可以看出:矩陣C的各個(gè)行向量是由矩陣B的行向量線(xiàn)性表示的,因此C的秩也必然小于等于B的秩。以上如果只用代數(shù)解釋?zhuān)瑢W(xué)生們很難理解并記住,但是從幾何上解釋就較容易接受了。在熟練掌握秩的定理和性質(zhì)后,便可以介紹它的應(yīng)用。下面分析由m個(gè)s元一次方程組成的線(xiàn)性方程組(1)式,矩陣記法為Ax=c(簡(jiǎn)寫(xiě)成Ax=c)。先將增廣矩陣B=(A,c)通過(guò)行變換化為行最簡(jiǎn)型,然后比較系數(shù)矩陣A的秩和增廣矩陣B的秩:如果兩者相等,則方程有解;反之則無(wú)解。這在幾何上代表:如果秩相等,則向量c可以用A的各個(gè)列向量α,α,…α線(xiàn)性表示(即c=xα+xα+…+xα);反之,如果秩不相等,則A的列向量α,α,…α不能線(xiàn)性表示出向量c。接著進(jìn)一步討論秩相等所對(duì)應(yīng)的具體情況:若R=R=s,則方程有唯一解(相當(dāng)于方程組有s個(gè)未知數(shù),也有s個(gè)獨(dú)立的方程,因此方程有唯一解);若R=R=r

    由此可見(jiàn),對(duì)于這門(mén)課程,幾何和代數(shù)是相輔相成、密不可分的。而且線(xiàn)性代數(shù)內(nèi)容豐富,應(yīng)用廣泛,只看一本教材是不夠的,需要學(xué)生參考其他中英文書(shū)籍文獻(xiàn)[2-4],多做習(xí)題。但是這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是比較困難的,尤其大一新生課程很多。因此在教學(xué)過(guò)程中,需要老師將各章節(jié)連成一個(gè)系統(tǒng)來(lái)講,并適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生思考,從一開(kāi)始就培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力。以上內(nèi)容淺談了如何將單一的代數(shù)運(yùn)算結(jié)合幾何思維方式來(lái)講解,有助于改善工科數(shù)學(xué)教學(xué)中多數(shù)學(xué)生將代數(shù)、幾何分開(kāi)學(xué)習(xí)的情況。

    參考文獻(xiàn):

    [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線(xiàn)性代數(shù)[M].第五版.北京:高等教育出版社,2007.

    [2]Gilbert Strang,Linear Algebra and Its Applications,Thomson Brooks Cole Press,F(xiàn)ourth edition(2004).

    [3]Steven J.Leon,Linear Algebra with Applications,Prentice Hall Press,Sixth edition(2006).

    [4]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(第三冊(cè))[M].第二版.北京:高等教育出版社,1990.

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