《微分幾何》教學(xué)的教改實(shí)踐感受

王玉光++李亞男

【摘 要】微分幾何是大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)課。結(jié)合教學(xué)經(jīng)歷，談了談對(duì)微分幾何課程的一些認(rèn)識(shí)和教學(xué)過(guò)程中的一些感受。

【關(guān)鍵詞】解析幾何；教學(xué)過(guò)程；思考

Some thinking on the teaching process of “differential geometry”

WANG Yu-guang1 LI Ya-nan2

（1.College of mathematics and computer science， Ningxia University， Yinchuan Ningxia 750021， China；

2.College of wangfang science and technology， Henan Polytechnic University， Jiaozuo Henan 454000， China）

【Abstract】Differential geometry is an important course for college students whose major is mathematics. Combined with teaching experience， we give some thinking and discussions about this course.

【Key words】Differential geometry； Teaching process； Thinking

《微分幾何》是大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)課，是連接經(jīng)典內(nèi)蘊(yùn)幾何和現(xiàn)代微分流形的橋梁，也是大學(xué)階段所有幾何課程中和現(xiàn)代幾何聯(lián)系最密切的課程。結(jié)合承擔(dān)本課程教學(xué)工作的經(jīng)歷，在此談?wù)剬?duì)該課程的一些認(rèn)識(shí)和教學(xué)過(guò)程的一些感受。

1 開(kāi)課背景

對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，《微分幾何》是繼《解析幾何》之后開(kāi)設(shè)的有一門(mén)重要專(zhuān)業(yè)課。通常來(lái)說(shuō)，大學(xué)本科生開(kāi)設(shè)的《微分幾何》課程有兩個(gè)原因，一個(gè)是大學(xué)課程自身知識(shí)體系的需要，解析幾何主要以初等數(shù)學(xué)的視角研究三維空間的曲線(xiàn)和曲面，微分幾何則借助微分工具以高等數(shù)學(xué)的視角研究空間曲線(xiàn)和曲面；另一個(gè)是針對(duì)部分學(xué)生將來(lái)考研繼續(xù)深造學(xué)習(xí)后繼課程的需要，經(jīng)典微分幾何主要涉及曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何，而現(xiàn)代幾何的基礎(chǔ)則是流形，本課程就是聯(lián)系二者的橋梁。對(duì)我校數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生，微分幾何課程2011年之前是專(zhuān)業(yè)必修課，2011年之后由于培養(yǎng)方案和教學(xué)計(jì)劃的調(diào)整變成專(zhuān)業(yè)選修課，現(xiàn)在是第五學(xué)期（即大三第一學(xué)期）開(kāi)設(shè)。

2 課程內(nèi)容與教材選取

鑒于以上相關(guān)背景，本課程一般講授經(jīng)典微分幾何的主要內(nèi)容，即三維空間的曲線(xiàn)論和曲面論，主要內(nèi)容包括空間曲線(xiàn)的基本定理和空間曲面的基本形式、曲面論基本定理以及外微分和活動(dòng)標(biāo)架，核心是曲面論。在教材的選取上，根據(jù)我們教學(xué)改革實(shí)踐中的需要和探索，近年來(lái)我們分別嘗試了紀(jì)永強(qiáng)教授、陳維桓教授以及梅向明與黃敬之兩位教授編著的三套教材。

3 教學(xué)過(guò)程發(fā)現(xiàn)的一些現(xiàn)象

從本課程在我校的開(kāi)設(shè)情況看，選修學(xué)生還是相對(duì)較多的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)同時(shí)期抽象代數(shù)和點(diǎn)集拓?fù)涞韧?lèi)選修課。也許其中一個(gè)重要的原因是在大學(xué)階段的課程學(xué)習(xí)中，相對(duì)抽象代數(shù)和點(diǎn)集拓?fù)鋪?lái)說(shuō)微分幾何相對(duì)簡(jiǎn)單，沒(méi)有其他兩門(mén)課艱深晦澀抽象難懂。然而在具體的教學(xué)過(guò)程中，我們也發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象，主要有以下幾個(gè)方面：

3.1 不同的教材風(fēng)格和內(nèi)容對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果有明顯的影響

在過(guò)去幾年的教學(xué)實(shí)踐中，我們分別使用了三種不同的教材，其中紀(jì)版教材使用2年，陳版教材使用1年，梅版教材使用3年。紀(jì)版教材主要采用向量分析法講授曲線(xiàn)和曲面的基本理論，內(nèi)容全面，例題豐富，對(duì)于初學(xué)者來(lái)講易于學(xué)習(xí)，并且很多地方都是一題多解，至少有一種方法是便于掌握的，因而若能將這些方法融會(huì)貫通做到舉一反三則對(duì)于經(jīng)典微分幾何的掌握必定扎實(shí)牢固；然而該版教材與現(xiàn)代微分幾何的銜接相對(duì)較少，現(xiàn)代微分幾何的內(nèi)容和術(shù)語(yǔ)體現(xiàn)的相對(duì)不足，在學(xué)時(shí)壓縮的情況下，即使完全講授書(shū)中過(guò)于詳實(shí)的內(nèi)容也講不完，更不必說(shuō)還需要補(bǔ)充現(xiàn)代微分幾何的一些觀(guān)點(diǎn)和內(nèi)容。陳版教材則與前者相反，較多的采用了現(xiàn)代微分幾何的觀(guān)點(diǎn)和術(shù)語(yǔ)，也普遍運(yùn)用了線(xiàn)性代數(shù)的內(nèi)容作為講授工具，起點(diǎn)高，與后續(xù)微分流形等課程的銜接性強(qiáng)；然而對(duì)于初學(xué)者的要求相對(duì)較高，學(xué)生掌握起來(lái)難度較大有點(diǎn)吃力。梅版教材則介于這兩者之中，內(nèi)容全面，既照顧到經(jīng)典微分幾何主要內(nèi)容，又涉及到現(xiàn)代微分幾何的觀(guān)點(diǎn)和內(nèi)容，講授方式以向量分析為主，便于學(xué)生接受，后期也介紹到活動(dòng)標(biāo)架和外微分，甚至涉及到整體微分幾何的內(nèi)容，教師和學(xué)生可供選擇的余地也都較大，學(xué)生表現(xiàn)出的學(xué)習(xí)效果也較好。在我們的使用過(guò)程根據(jù)考試成績(jī)反映出來(lái)的結(jié)果看，使用梅版教材考試成績(jī)最好，其次是紀(jì)版，而陳版教材成績(jī)最低，這反映出不同教材對(duì)學(xué)生成績(jī)有明顯的影響。

3.2 學(xué)生的解析幾何和數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)對(duì)學(xué)習(xí)效果有明顯的影響

在開(kāi)始本課程的學(xué)習(xí)前，我們記錄了學(xué)生的解析幾何成績(jī)和數(shù)學(xué)分析成績(jī)。在其后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不管是課堂演板、階段性測(cè)驗(yàn)還是最終期末考試，學(xué)生的解析幾何和數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)對(duì)學(xué)習(xí)效果都有明顯影響，那些過(guò)往基礎(chǔ)扎實(shí)牢固的學(xué)生整體上取得更好的成績(jī)。這也不奇怪，因?yàn)閿?shù)學(xué)課程本身邏輯性連貫性也較強(qiáng)，沒(méi)有良好的基礎(chǔ)后繼課程的學(xué)習(xí)肯定會(huì)更加吃力些。比如在講圓柱螺線(xiàn)的曲率和撓率時(shí)，解析幾何基礎(chǔ)扎實(shí)的同學(xué)能回顧起該曲線(xiàn)的一種直觀(guān)的物理背景，這樣結(jié)合曲率的概念不需要復(fù)雜的計(jì)算就可以得到曲線(xiàn)的曲率，即使計(jì)算也能準(zhǔn)確算出結(jié)果，而那些解析幾何基礎(chǔ)較差的學(xué)生看到該曲線(xiàn)就沒(méi)有任何相關(guān)直觀(guān)背景，當(dāng)然這也不妨礙學(xué)生按照曲線(xiàn)參數(shù)方程算出曲率和撓率，然而麻煩的是，有部分學(xué)生對(duì)于曲線(xiàn)撓率公式也沒(méi)掌握，或者在計(jì)算的過(guò)程中由于數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)不牢往往計(jì)算錯(cuò)誤得不到正確結(jié)論。再如，在計(jì)算平面的兩個(gè)基本形式的時(shí)候，解析幾何基礎(chǔ)扎實(shí)參數(shù)方程概念透徹的學(xué)生，選擇的平面參數(shù)方程就簡(jiǎn)潔，直接選擇空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面的參數(shù)表示即可，而有的同學(xué)則選用空間平面的一般形式，甚至還不知道這個(gè)一般形式如何轉(zhuǎn)化成參數(shù)形式。在計(jì)算球面的基本形式的時(shí)候也遇到類(lèi)似的問(wèn)題，盡管課堂上我們也詳細(xì)重點(diǎn)講授和演示，之后讓學(xué)生自己再次獨(dú)立計(jì)算時(shí)，有的學(xué)生寫(xiě)不出球面的參數(shù)方程，更不會(huì)計(jì)算，這些學(xué)生恰好就是那些解析幾何和數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)較差的學(xué)生。

3.3 出勤率對(duì)學(xué)習(xí)效果影響不明顯。

按照學(xué)校對(duì)學(xué)生考試成績(jī)的相關(guān)規(guī)定，我們需要經(jīng)?？疾鞂W(xué)生的出勤情況，然而，我們發(fā)現(xiàn)出勤率對(duì)學(xué)生考試成績(jī)的影響不明顯。有的學(xué)生從未缺勤考試成績(jī)卻不好，甚至還沒(méi)及格，有的學(xué)生缺勤較多考試成績(jī)卻還不錯(cuò)，考及格。我們分析覺(jué)得，其原因可能有二，一是出勤的學(xué)生并未認(rèn)真聽(tīng)課或者缺沒(méi)有真正掌握課堂內(nèi)容，只是帶著任務(wù)一樣來(lái)應(yīng)付，學(xué)習(xí)的積極性主動(dòng)性都不夠，所以成績(jī)不好；而缺勤的學(xué)生雖有上課未到，但是這些學(xué)生或者課后認(rèn)真自學(xué)或者和同學(xué)與老師相互交流后補(bǔ)上了落下的知識(shí)和內(nèi)容；除此之外還有另外一個(gè)重要的原因是考試前在老師的帶領(lǐng)下的習(xí)題復(fù)習(xí)階段這些平時(shí)的缺勤學(xué)生下了更多功夫抵消了平時(shí)缺勤的影響。

以上是我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程的一些粗淺認(rèn)識(shí)和體會(huì)。教學(xué)過(guò)程是熟能生巧的過(guò)程，也是學(xué)習(xí)再認(rèn)識(shí)的過(guò)程。和這些朝氣蓬勃充滿(mǎn)青春活力的大學(xué)生一起學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步是一件愉快的事情。

【參考文獻(xiàn)】

[1]紀(jì)永強(qiáng).微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]陳維桓.微分幾何初步[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[3]梅向明.黃敬之，微分幾何（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[責(zé)任編輯：王楠]