科學(xué)診斷問(wèn)題 提升運(yùn)算素養(yǎng)
——以一道解析幾何題為例

北京實(shí)驗(yàn)學(xué)校 程春暖 (郵編：20180520)

摘 要 數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅僅是計(jì)算出結(jié)果，更是人們推理能力、思維過(guò)程的重要基礎(chǔ).因此，在日常的教學(xué)過(guò)程中，需要教師科學(xué)診斷學(xué)生運(yùn)算過(guò)程中的問(wèn)題，從而對(duì)癥下藥有的放矢，更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).通過(guò)對(duì)一次測(cè)試后學(xué)生解析幾何題的錯(cuò)誤原因進(jìn)行分析，給出了在教學(xué)中如何提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的幾點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞 運(yùn)算素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思維；原因分析

21世紀(jì)是信息技術(shù)快速發(fā)展的時(shí)代，隨著電子產(chǎn)品的普及，越來(lái)越多的人選擇用計(jì)算器、手機(jī)等工具進(jìn)行運(yùn)算.有些人甚至認(rèn)為，有這些工具的存在，沒(méi)必要再進(jìn)行運(yùn)算能力的培養(yǎng)，這其實(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算理解的一大誤區(qū).

運(yùn)算自古就受到人們的重視.(清)譚嗣同在《報(bào)貝元徵書(shū)》中如是說(shuō)；“如考算學(xué)即面令運(yùn)算，船學(xué)面令駕船.”而今，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)也將數(shù)學(xué)運(yùn)算納為一項(xiàng)重要的核心素養(yǎng).新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的解釋如下：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ).通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

周海中先生曾說(shuō)：機(jī)器人在工作強(qiáng)度、運(yùn)算速度和記憶功能方面可以超越人類(lèi)，但在意識(shí)、推理等方面不可能超越人類(lèi).由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅僅是計(jì)算出結(jié)果，更是人們推理能力、思維過(guò)程的重要體現(xiàn).因此，在日常的教學(xué)過(guò)程中，我們要科學(xué)診斷學(xué)生運(yùn)算過(guò)程中的問(wèn)題，從而對(duì)癥下藥有的放矢，更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者在一次測(cè)試之后，對(duì)試卷中的解析幾何題進(jìn)行了錯(cuò)誤分析.通過(guò)分析學(xué)生的錯(cuò)誤原因，提出幾點(diǎn)在教學(xué)中如何提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的拙見(jiàn).

1 題目設(shè)置及解題思路

(1)求橢圓C的方程；

(2)如果直線(xiàn)y=kx+1(k≠0)交橢圓C于不同的兩點(diǎn)E、F，且E、F都在以B為圓心的圓上，求k的值．

公安派之后，以鍾惺、譚元春為首的竟陵派“倡尖新幽冷之派，以《詩(shī)歸》一編，易天下之耳目”。[2]816足見(jiàn)竟陵派以新的文學(xué)主張，一定程度上扼制了公安派流于輕率的弊端。但館臣認(rèn)為，“公安救歷下，至於佻；竟陵救公安，陷於孱”；[2]849同樣以幽冷纖巧為宗的竟陵派，“元春之才較惺為劣”，[2]826詭譎荒誕比之有余。明代文學(xué)發(fā)展到竟陵派，已是病入膏肓，回天乏力了，正如譚元春《岳歸堂集》提要中所言：“……有明一代之詩(shī)，遂至是而極弊。論者比之詩(shī)妖，非過(guò)刻也。[2]826”

可知△>0， 設(shè)E(x2,y2)，F(xiàn)(x3,y3)，EF的中點(diǎn)是M(xM,yM)，

2 學(xué)生錯(cuò)誤原因分析

2.1 生搬硬套，沒(méi)有選擇運(yùn)算方法

2.2 盲目運(yùn)算，沒(méi)有探究運(yùn)算思路

在本題第(2)問(wèn)中，參考答案給出的解題思路是通過(guò)BE=BF推出B點(diǎn)與EF中點(diǎn)的連線(xiàn)與EF垂直，從而利用斜率相乘為-1構(gòu)造了一個(gè)關(guān)于k的等式，得出正確答案.但這并不是唯一的解法.考試結(jié)果也顯示，有一部分同學(xué)選擇的是直接利用BE=BF，但因?yàn)闆](méi)有對(duì)運(yùn)算思路進(jìn)行整體把控，當(dāng)利用兩點(diǎn)之間距離進(jìn)行線(xiàn)段長(zhǎng)度的運(yùn)算時(shí)，自己被看似復(fù)雜的代數(shù)形式嚇著了，沒(méi)有進(jìn)行下去，導(dǎo)致半途而廢或者隨便猜測(cè)一個(gè)值，碰碰運(yùn)氣.

2.3 思維定勢(shì)，錯(cuò)誤理解運(yùn)算對(duì)象

圖1

2.4 習(xí)慣不好，無(wú)法求得正確結(jié)果

在閱卷過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)一些非常可惜的錯(cuò)誤.而這些錯(cuò)誤都是因?yàn)閷W(xué)生們的答題習(xí)慣不好導(dǎo)致的：有些同學(xué)喜歡把試卷當(dāng)草稿紙，答題過(guò)程隨便涂改，到后來(lái)自己也不知哪個(gè)是自己已經(jīng)劃掉的，有些同學(xué)自以為思維靈活，答題不按步驟，運(yùn)算跳步，導(dǎo)致會(huì)的題目丟分，考后后悔莫及.

3 對(duì)教學(xué)的啟示

通過(guò)對(duì)學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題的診斷，筆者認(rèn)為在日常的教學(xué)工作中，我們可以從以下幾個(gè)方面著手，將運(yùn)算素養(yǎng)提升于點(diǎn)滴教學(xué)中，提升于潛移默化中.

3.1 拓展解題思維，優(yōu)化解題過(guò)程

在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中，我們需要給學(xué)生提供充分的時(shí)間與空間，讓他們的思維馳騁，想法落地.只有通過(guò)具體的實(shí)踐與操作，才能體會(huì)到什么情況下用什么樣的解題策略.在解題教學(xué)中，可以通過(guò)一題多法，培養(yǎng)思維的靈活性；多題共法，培養(yǎng)思維的深刻性；一題多變，培養(yǎng)思維的連續(xù)性；多題變一，體會(huì)思維的本質(zhì)性.這樣，學(xué)生的思路才能被打開(kāi)，思維才能被激活，在不斷地進(jìn)行方法的選擇過(guò)程中，他們便逐漸體會(huì)到了優(yōu)化的重要性，也會(huì)逐漸去摸索優(yōu)化的過(guò)程，從而提升運(yùn)算素養(yǎng).

3.2 構(gòu)建解題程序，提升整體思維

在習(xí)題講解的過(guò)程中，我們不僅要教給學(xué)生思考問(wèn)題的方式方法，同時(shí)也要幫助學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)本題的解題思路，構(gòu)建解題程序.這個(gè)程序就好比大海上的燈塔，讓同學(xué)們?cè)诮忸}的海洋中航行時(shí)有了前行的方向.

圖2

如本題第(2)問(wèn)，為了幫助學(xué)生構(gòu)建解題程序，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行思考：因?yàn)橐髃的值，而求值問(wèn)題本質(zhì)上一定是個(gè)方程問(wèn)題，所以我們只需要構(gòu)造一個(gè)關(guān)于k的方程即可，從而需要一個(gè)等量關(guān)系.那么接下來(lái)就從題目條件中的幾何對(duì)象出發(fā)去尋找等量關(guān)系.分析條件“點(diǎn)E、F在以B為圓心的圓上”便會(huì)有兩種思路，一是BE=BF，一是BM垂直于EF(M為EF的中點(diǎn)).由此從條件出發(fā)便得到了我們需要的等量關(guān)系.這個(gè)思維過(guò)程可以圖2的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助他們梳理解題的思路.

3.3 重視數(shù)學(xué)思維，淡化題型教學(xué)

學(xué)好數(shù)學(xué),離不開(kāi)解題,甚至需要通過(guò)總結(jié)解題規(guī)律來(lái)提升數(shù)學(xué)思維層次進(jìn)而提高數(shù)學(xué)能力.但如果把“數(shù)學(xué)教學(xué)”蛻變?yōu)椤邦}型教學(xué)”,盲目追求題型覆蓋考題的應(yīng)試效果,往往使學(xué)生對(duì)熟悉的題型可以產(chǎn)生本能的反應(yīng)，但對(duì)不熟悉的題型很難做到具體問(wèn)題具體分析, 最終把鮮活的、富于挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)解題智能淪落為以牢固記憶、熟練模仿為主要特征的解題技能.在本題中，部分學(xué)生正是因?yàn)閷l件“點(diǎn)E、F在以B為圓心的圓上”想當(dāng)然地理解成自己習(xí)慣做的“以EF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B”從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.這種錯(cuò)誤的出現(xiàn)給了我們教師深刻的警示，這是在提醒我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，不僅要關(guān)注題目能否解出來(lái)，更要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì).數(shù)學(xué)特級(jí)教師張鶴在其所著《數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯》一書(shū)中如是說(shuō)：作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該明確：解題教學(xué)不是僅僅為了給學(xué)生如何解答一份高考試卷，而應(yīng)該有更為高遠(yuǎn)的目標(biāo).數(shù)學(xué)題目?jī)H僅是思維訓(xùn)練的載體，我們的學(xué)生不是數(shù)學(xué)家，不是以解出這些題目為唯一目的的，而是要通過(guò)解答這些題目，學(xué)會(huì)如何思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.因此我們只有心懷數(shù)學(xué)本質(zhì)，努力將數(shù)學(xué)思維傳遞給學(xué)生，方能幫助他們走近數(shù)學(xué)，走進(jìn)數(shù)學(xué).

3.4 養(yǎng)成解題規(guī)范，提高計(jì)算精度

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，很多時(shí)候?qū)τ跀?shù)學(xué)題目的解答都缺少思路，事后再看題目時(shí)卻又發(fā)現(xiàn)其實(shí)自己是可以做出來(lái)的，這個(gè)主要是因?yàn)閷W(xué)生在解題時(shí)一味地追求速度，對(duì)于題干的分析不夠規(guī)范和準(zhǔn)確，由此導(dǎo)致學(xué)生的解題思路和解題方法出現(xiàn)問(wèn)題.還有一部分學(xué)生會(huì)認(rèn)為只要完成解題過(guò)程，得出最終的正確答案便可以拿到分?jǐn)?shù)，但實(shí)際上其容易出現(xiàn)弱化解題步驟的情況，或者在解題過(guò)程中容易出現(xiàn)與題目不相干的內(nèi)容，或者最終的答案沒(méi)有達(dá)到最簡(jiǎn)化，由此出現(xiàn)失分的情況，不利于解題過(guò)程的順利完成.解題不規(guī)范也在一定程度上反映出學(xué)生日常學(xué)習(xí)存在的問(wèn)題，不利于學(xué)生綜合學(xué)習(xí)能力的提升.而且，解題不規(guī)范的習(xí)慣一旦形成，改起來(lái)并不容易.人們常說(shuō)“習(xí)慣成自然”.壞習(xí)慣一旦形成，受累終生；好習(xí)慣一旦養(yǎng)成，受益終生.作為教育工作者，我們有責(zé)任培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.好的解題習(xí)慣會(huì)讓他們?cè)诓恢挥X(jué)中形成規(guī)范的思維過(guò)程，從而減少筆誤，減少不該有的錯(cuò)誤，提高計(jì)算精度，提升運(yùn)算素養(yǎng).

誠(chéng)然，運(yùn)算素養(yǎng)的提升不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)也不是一朝一夕便可以完成的，需要教師不忘初心，與學(xué)生一起砥礪前行.