對(duì)一道競(jìng)賽試題的探究

安徽省樅陽縣宏實(shí)中學(xué) 江保兵 (郵編：246700)

這是2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽第11題，這是一道條件最值問題，題面簡潔，結(jié)構(gòu)工整，但所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，值得深入探究.首先考慮利用柯西不等式化去根號(hào)，從而得到最值.

1 柯西不等式

解 由柯西不等式，

考慮到a+b=1，結(jié)合柯西不等式等號(hào)成立的條件，有

144b4-288b3+263b2+50b-25=0，

整理得到：

2 函數(shù)的觀點(diǎn)

解f′(x)=

令f′(x)=0，得到

144x4-288x3+263x2+50x-25=0，

144x4-288x3+263x2+50x-25=(4x-1)(36x3-63x2+50x-25)=0，

h(x)=36x3-63x2+50x-25，h′(x)=108x2-126x+50>0，h(x)>h(0)>0，

3 切線的方法

由下凸函數(shù)的性質(zhì)知：k(x)≥k′(x0)(x-x0)+k(x0)=k′(x0)x+k(x0)-x0k′(x0)，

144b4-288b3+263b2+50b-25=(4b-1)(36b3-63b2+50b-25)=0，

怎么求函數(shù)的最大值呢？結(jié)合下凸函數(shù)的圖象，考慮利用閉區(qū)間上下凸函數(shù)的兩個(gè)端點(diǎn)所在的直線方程來求凸函數(shù)的最大值.