摘要:常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的必修課程之一,具有推理嚴(yán)謹(jǐn)、公式復(fù)雜等特點(diǎn),對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力具有不可替代的作用。文章分析了高階非齊次線性微分方程課程中出現(xiàn)的幾道題目,為該課程的進(jìn)一步教學(xué)改革提供了一點(diǎn)思考。
關(guān)鍵詞:線性代數(shù);教學(xué)改革;嚴(yán)謹(jǐn)
作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的常微分方程在整個數(shù)學(xué)大廈中占有重要的地位。教師在實(shí)際教學(xué)中,針對學(xué)生的解題能力不足,應(yīng)注意將課程中提到的公式、定理仔細(xì)的進(jìn)行講解,對于復(fù)雜的公式進(jìn)行具體、細(xì)致的提醒,更要讓學(xué)生針對不同題型多加練習(xí),使學(xué)生熟練掌握課程中出現(xiàn)的各種題目,從而達(dá)到舉一反三的效果。下面,我們以高階非齊次線性微分方程中出現(xiàn)的幾道題目舉例,來說明解題思路在教師授課過程中的重要作用。
例1設(shè)x-4x″+5x′-2x=2t+3,求該方程的通解。
分析:此題是學(xué)生學(xué)習(xí)了高階非齊次線性微分方程的右端函數(shù)為第一種形式后的題目。這類題目的一般思路為先求對應(yīng)齊次方程的通解,再求出該方程的一個特解,最后將這兩個相加即為非齊次線性微分方程的通解。教師在講解此類題目時,應(yīng)將此類題目的具體解題步驟介紹清楚,這樣學(xué)生就會有一個清晰的思路。若學(xué)生掌握了具體方法,相信學(xué)生能夠做出此題。
解:由題目可知對應(yīng)齊次線性微分方程為x-4x″+5x′-2x=0,其特征方程為
r3-4r2+5r-2=0,
特征根為:r=1,2,其中1為二重根。因此齊次線性微分方程的通解為
x*=(c0+c1t)et+c2e2t。
下面再求原方程的一個特解。觀察題目發(fā)現(xiàn)右端函數(shù)中eλt里面的λ=0,因此不妨設(shè)原方程的一個特解形如x0=B0+B1t。將其代入原方程可得
5B1-2B0-2B1t=2t+3。
比較系數(shù)有B0=-4,B1=-1,則x0=-t-4。
因此原方程的通解為:x=x*+x0=(c0+c1t)et+c2e2t-t-4,其中c0,c1,c2為任意常數(shù)。
例2求方程
x″-2x′+2x=tetcost
的通解。
分析:此題是學(xué)生學(xué)習(xí)了高階非齊次線性微分方程的右端函數(shù)為第二種形式后的題目。思路與例1類似,但要注意的是右端函數(shù)的不同導(dǎo)致所求特解形式的不同,因此教師在課堂上一定要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)右端函數(shù)不同時所對應(yīng)的特解也不一樣,讓學(xué)生明白之間的區(qū)別以便于計算。若學(xué)生明白了思路和具體的特解形式,相信學(xué)生能夠順利做出此題。
解:由題目可知對應(yīng)齊次線性微分方程為x″-2x′+2x=0,其特征方程為
r2-2r+2=0,
特征根分別為:r=1±i,其對應(yīng)的實(shí)值解為etcost和etsint,因此齊次線性微分方程的通解為
x*=c1etcost+c2etsint。
下面再求原方程的一個特解。設(shè)原方程的一個特解形如
x0=t(B0+B1t)etcost+t(C0+C1t)etsint,
將其代入原方程可得
2[(B1+C0+2C1t)cost+(C1-B0-2B1t)sint]et=tetcost。
比較系數(shù)有B0=C1=14,B1=C0=0,則x0=14tetcost+14t2etsint。
因此原方程的通解為:
x=x*+x0=(c1+14t)etcost+(c2+14t2)etsint,
其中c1,c2為任意常數(shù)。
例3求方程
x″+9x=6e3t,x(0)=x′(0)=0
的初值問題。
分析:此題是在前兩種類型題目基礎(chǔ)上的進(jìn)一步擴(kuò)展,該題不但要求出方程的通解,還要利用已知條件將通解中的參數(shù)確定出來才是最終的結(jié)果。因此,教師在課堂上在講解此類題目時,一定要讓學(xué)生徹底明白之前兩種類型題目應(yīng)當(dāng)如何計算,才能進(jìn)一步拓展。甚至學(xué)生只要明白了前面兩種題型,那么此題也可以做出。
解:由題目可知對應(yīng)齊次線性微分方程為x″+9x=0,其特征方程為
r2+9=0,
特征根分別為:r=±3i,其對應(yīng)的實(shí)值解為cos3t和sin3t,因此齊次線性微分方程的通解為
x*=c1cos3t+c2sin3t。
下面再求原方程的一個特解。設(shè)原方程的一個特解形如
x0=Ae3t,
將其代入原方程可得
18Ae3t=6e3t。
比較系數(shù)有A=13,則x0=13e3t。
因此原方程的通解為:
x=x*+x0=c1cos3t+c2sin3t+13e3t,
其中c1,c2為任意常數(shù)。
又因?yàn)閤(0)=x′(0)=0,所以有
c1+13=0
3c2+1=0
從而得出滿足初值問題的解為x=-13cos3t-13sin3t+13e3t
通過上面幾道例題的分析,我們可以看到對于高階非齊次線性微分方程這部分內(nèi)容解題的一些重要技巧和方法,事實(shí)上都是建立在對兩類右端函數(shù)的具體運(yùn)算的思路非常明確的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。這說明教師在課堂上對于此類問題的講解,一定要將解題的具體思路、方法講解透徹,同時還需要學(xué)生進(jìn)行大量的練習(xí),才能使學(xué)生達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果。
參考文獻(xiàn):
[1]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.
作者簡介:
趙侯宇,重慶市,重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。