教材大舞臺(tái) 拓展放光彩

李云萍 毛紅龍

[摘 要] 數(shù)學(xué)拓展課在滿足學(xué)生差異化和個(gè)性化發(fā)展方面能夠起到重要作用。教師要注重學(xué)生動(dòng)手操作，發(fā)展學(xué)生興趣特長(zhǎng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，幫助學(xué)生全面發(fā)展。通過(guò)課程內(nèi)容所承載的文化內(nèi)涵、生活底蘊(yùn)和意義空間來(lái)延伸、拓展和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；拓展課；立意分析

浙江省教育廳在《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》中指出：把義務(wù)教育課程分成基礎(chǔ)性課程和拓展性課程，要求學(xué)校改變育人模式，推進(jìn)因材施教，開(kāi)發(fā)課程資源，幫助每一位學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展.初中數(shù)學(xué)拓展課程是指以初中課程知識(shí)為主要載體，通過(guò)課程內(nèi)容所承載的文化內(nèi)涵、生活底蘊(yùn)和意義空間來(lái)延伸、拓展和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).至此，深化義務(wù)教育課程改革，全面開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)拓展性課程在各地市相繼拉開(kāi)序幕。

本課例是浙教版數(shù)學(xué)八上第二章特殊三角形2.4《等腰三角形的判定定理》一課中基于[探究活動(dòng)]內(nèi)容的一個(gè)拓展課例，遵循從教材出發(fā)開(kāi)設(shè)拓展課程的原則，設(shè)計(jì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)，量一量，歸納猜想，討論研究，探索發(fā)現(xiàn)分割條件、分割方法、分割依據(jù)以及其他分割知識(shí)的延伸.循序漸進(jìn)，由淺入深，探究將一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.學(xué)生在“做中學(xué)”，在“學(xué)中悟”，鞏固新知，開(kāi)闊思路，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)生邏輯分析能力、實(shí)踐活動(dòng)能力及發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

一、《探索三角形被分割成兩個(gè)等腰三角形的條件》教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力、積極主動(dòng)的探究意識(shí)和創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)能力；

2.學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中學(xué)會(huì)團(tuán)結(jié)協(xié)作，體驗(yàn)成功喜悅，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

3.學(xué)生在活動(dòng)中鞏固等腰三角形性質(zhì)和判定知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正達(dá)到“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的目的。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：探索能被分割成兩個(gè)等腰三角形的三角形所具備的條件，并滲透分類討論、轉(zhuǎn)化、類比、方程、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想。

難點(diǎn)：總結(jié)歸納得出結(jié)論及其結(jié)論的附加條件。

（三）教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一、嘗試分割，體驗(yàn)成功

問(wèn)題1：如圖1所示，在ΔABC中，已知[∠]A=50°，

當(dāng)[∠]B=______°時(shí)，ΔABC是等腰三角形

由此，你可以概括等腰三角形成立的條件：____________；通過(guò)解題，你還得出討論等腰三角形問(wèn)題運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有：_______________。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)等腰三角形的判定定理，并滲透分類討論思想，為分割等腰三角形作知識(shí)儲(chǔ)備。

問(wèn)題2：如圖1中，[∠]A=50°，[∠]B=70°，嘗試過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)將△ABC分割出一個(gè)等腰三角形，試畫(huà)出分割線并標(biāo)注角度。

學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)，分一分，得出以下五種裁剪方案：

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單的等腰三角形分割，讓學(xué)生初步體驗(yàn)只分割出一個(gè)等腰三角形的方法：只需滿足有兩個(gè)角相等的三角形便是等腰三角形并再次感受分類討論思想的運(yùn)用。

環(huán)節(jié)二、巧設(shè)梯度，適時(shí)提升

環(huán)節(jié)1中的兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生輕松攻克，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，適時(shí)增加問(wèn)題的難度，有利于激發(fā)學(xué)習(xí)斗志和啟迪學(xué)生思維，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和核心素養(yǎng)為此，教師引入浙教版八上教材第63頁(yè)中的探究活動(dòng)。

問(wèn)題3：如圖3，有甲，乙兩個(gè)三角形 甲三角形的內(nèi)角分別為10°，20°，150°；乙三角形的內(nèi)角分別為80°，25°，75°你能把每一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形嗎？量一量，畫(huà)一畫(huà)，并標(biāo)出各角的度數(shù)。

（1）故設(shè)疑點(diǎn)：

學(xué)生在經(jīng)歷了問(wèn)題2的解決后，開(kāi)始動(dòng)手分割，主要呈現(xiàn)了以下幾種分割方法：

教師展示以上幾種分割圖，讓學(xué)生評(píng)判是否符合要求，有學(xué)生就發(fā)現(xiàn)這些分割方法只有一個(gè)等腰三角形，不符合要求。由此，教師提醒：“要有大局觀，不能只看局部，題意要求裁剪兩個(gè)等腰三角形噢！”有些同學(xué)恍然大悟，知道自己裁剪方法不對(duì)，重新再分。

（2）正確解答：見(jiàn)圖5。

（3）趁熱打鐵：

如圖6，能對(duì)每一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形嗎？試一試！

話音剛落，學(xué)生就躍躍欲試，小組交流討論。此時(shí)，教室里已經(jīng)沸騰了，有激勵(lì)的爭(zhēng)論聲，也有成功的笑聲。最后，由小組代表上臺(tái)展示如圖7的分割方法：

設(shè)計(jì)意圖：思維從動(dòng)作開(kāi)始，人的手腦有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，學(xué)生都富有好奇心，只要為他們提供合適的素材，他們一定會(huì)樂(lè)意去參與、去探索、去思考，如果只有看而沒(méi)有做，就沒(méi)有讓學(xué)生自主探索，發(fā)展思維了，這就不利于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)拓展課旨在讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，促使他們手腦并用，在“做中學(xué)、學(xué)中悟”。

環(huán)節(jié)三、深挖細(xì)究，追根溯源

教師提問(wèn)：是否所有三角形都能分成兩個(gè)等腰三角形呢？如果不是，這樣的三角形需具備什么條件？

問(wèn)題4：如圖8所示，設(shè)△ABC的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°，當(dāng)△ABC能分割成兩個(gè)等腰三角形時(shí)，x、y之間需滿足什么條件？

一石激起千層浪，教師拋出這個(gè)問(wèn)題，引起學(xué)生激烈爭(zhēng)論古人云：“不憤不啟，不悱不發(fā)”當(dāng)學(xué)生遇到困惑，或有強(qiáng)烈解決問(wèn)題的意向時(shí)，作為教學(xué)的引導(dǎo)者，教師就應(yīng)適時(shí)給予提示、引導(dǎo)，幫助學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)。學(xué)生經(jīng)過(guò)操作，推理，作如圖9分割，若∠ABD=x°，則ΔABD為等腰三角形；要使ΔBCD為等腰三角形，則分三種情況討論：

（1）∠DBC=∠BDC，則y-x=2x，得y=3x即3倍角關(guān)系

（2）∠DBC=∠DCB，則180-x-y=y-x，得y=90即三角形是直角三角形

（3）∠BDC=∠DCB，則180-x-y=2x， ∠C=2∠A即2倍角關(guān)系

綜上所述，滿足分割條件的三角形需滿足的內(nèi)角關(guān)系及其對(duì)應(yīng)分割方法歸納如下：

①結(jié)論1：如圖10-1所示，三角形兩內(nèi)角度數(shù)成2倍關(guān)系，分法：分第三角為其中一角等于一倍角

②結(jié)論2：如圖10-2所示，三角形兩內(nèi)角度數(shù)成3倍關(guān)系，分法：分三倍角成一倍角和二倍角

③結(jié)論3：如圖10-3所示，三角形是直角三角形時(shí)，分法：分直角等于其中一個(gè)銳角（或沿斜邊中線所在直線分割）

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)是一門(mén)專門(mén)研究數(shù)學(xué)本身內(nèi)部規(guī)律的學(xué)科，所以，我們研究數(shù)學(xué)不能停留在認(rèn)知的表象上，更應(yīng)研究其本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部規(guī)律同時(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)踐拓展課不僅需要學(xué)生動(dòng)手操作，更需要學(xué)生通過(guò)運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、函數(shù)等），由數(shù)學(xué)運(yùn)算或邏輯推理得出相應(yīng)結(jié)論，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，獲得系統(tǒng)、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

環(huán)節(jié)四、大膽質(zhì)疑，小心求證

問(wèn)題5：在△ABC中，若∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，過(guò)三角形頂點(diǎn)能分割成兩個(gè)等腰三角形嗎？

思路分析：發(fā)現(xiàn)三角形的∠B與∠C度數(shù)成2倍關(guān)系，根據(jù)前面總結(jié)的規(guī)律，分割線應(yīng)該經(jīng)過(guò)第三個(gè)角∠A的頂點(diǎn)，但實(shí)際上，該三角形卻又無(wú)法分割成兩個(gè)等腰三角形，原因何在呢？

根據(jù)圖11可知：△ABC中，若∠A=x，∠C=2x，∠ABC=180-3x，若要能分割出兩個(gè)等腰三角形，則必須滿足∠ABC>∠ABD，即180-3x>x，解得x<45°，180-3x>45°由此可知第三個(gè)角∠ABC必須大于45°才能完成分割，而問(wèn)題5的∠A=36°卻小于45°，不滿足條件，故不能分割.為此，結(jié)論1要成立需添加條件：第三個(gè)角大于45°。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，知識(shí)嚴(yán)謹(jǐn)，解題嚴(yán)謹(jǐn)。環(huán)節(jié)三總結(jié)的規(guī)律是否天衣無(wú)縫，毫無(wú)紕漏呢？以一個(gè)具體的實(shí)例論證，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受“眼見(jiàn)不一定為實(shí)”，結(jié)論值得懷疑，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究思考的欲望和積極性。

環(huán)節(jié)五、總結(jié)歸納，提煉結(jié)論

通過(guò)上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的討論探究得出能被分割成兩個(gè)等腰三角形的三角形應(yīng)具備的條件及分割方法如下：

設(shè)計(jì)意圖：從結(jié)論的探索到結(jié)論的提煉是數(shù)學(xué)思維的完善過(guò)程，也是知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)系統(tǒng)的完善過(guò)程。讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，僅僅是解決了一半，更重要的是解題后的回顧與反思。

環(huán)節(jié)六、課堂小結(jié)，分享收獲

設(shè)計(jì)意圖：本課通過(guò)教材中的一個(gè)[探究活動(dòng)]內(nèi)容，開(kāi)設(shè)拓展性課程，源于教材，高于教材，又活于教材，學(xué)生容易接受，積極性高，拓寬了學(xué)生眼界，又深化了教材知識(shí)，既發(fā)展了學(xué)生思維，又培養(yǎng)了核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一）立足教材，生發(fā)問(wèn)題

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的重要載體，也是教學(xué)要求、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)理念的集中體現(xiàn)，是課程資源的重要組成部分，倘若拋開(kāi)教材設(shè)計(jì)課程，那么課程將成為“無(wú)米之炊”。因此，立足教材，生發(fā)問(wèn)題是拓展性課程的重要依據(jù)所在.教師要能從整體上認(rèn)識(shí)教材，研究教材，并用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析教材，通過(guò)反復(fù)閱讀教材并查閱有關(guān)資料，了解每個(gè)專題的編排意圖、主要特點(diǎn)以及其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，從探究性、文化性、趣味性、應(yīng)用性等方面入手，基于教材又超越教材，從多元的角度及觀念中去思變，將教材重新激活、拓展、超越、再創(chuàng)造，以生成豐富、多元的課程內(nèi)容，為每個(gè)學(xué)生提供充分表達(dá)自己的感受與展示才能的機(jī)會(huì)。

（二）實(shí)踐操作，發(fā)展思維

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“手和腦之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，手使腦得到發(fā)展，使它更加明智；腦使手得到發(fā)展，使它變成思維的工具和鏡子?！笔峙c腦的這種聯(lián)系，就告訴我們?cè)趯W(xué)生拓展課中利用實(shí)踐操作這一特點(diǎn)，以“動(dòng)”促“思”，以“思”引“動(dòng)”，將操作與思維活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，表面上是在玩操作，其實(shí)玩的是數(shù)學(xué)計(jì)算與嚴(yán)密推理等，通過(guò)實(shí)踐操作形式最終提升學(xué)生的思維。例如本課例通過(guò)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，想一想，畫(huà)一畫(huà)，分一分，算一算，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從淺顯到深入，從特殊到一般，從表象到實(shí)質(zhì)，逐步將學(xué)生的思維活動(dòng)推向高潮。這樣，讓學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)、思索、領(lǐng)悟、概括，促使學(xué)生參與學(xué)習(xí)，既提高學(xué)生的參與熱情，又促進(jìn)了思維的發(fā)展。

（三）思想方法，滲透無(wú)形

數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)也為概括和提煉數(shù)學(xué)思想方法提供了極好的機(jī)會(huì)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)涵之一。數(shù)學(xué)思想方法也是數(shù)學(xué)課堂的靈魂，學(xué)生在活動(dòng)中通過(guò)重復(fù)操作積累經(jīng)驗(yàn)，獲得方法。離開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，思想方法教學(xué)就無(wú)從談起。只有組織學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的抽象、概括，通過(guò)對(duì)解題思路的分析、歸納，才能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)得以產(chǎn)生的基礎(chǔ)，以及獲得這一知識(shí)的程度與技巧，逐步領(lǐng)悟并最終形成數(shù)學(xué)思想方法。本課例旨在通過(guò)實(shí)踐操作，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，完善思維認(rèn)知，滲透分類、轉(zhuǎn)化、類比、方程、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想。

（四）學(xué)生主體，唱響主角

數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)，更關(guān)注轉(zhuǎn)變教師角色，突出學(xué)生的主體地位.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是活動(dòng)的主體，拓展課學(xué)習(xí)要求教師把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)和個(gè)性發(fā)展權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生唱主角.教師要由知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)榛顒?dòng)的組織者、指導(dǎo)者和參與者。教師要更多地關(guān)注活動(dòng)目標(biāo)的導(dǎo)向、動(dòng)機(jī)的激發(fā)、情景的創(chuàng)設(shè)、方法的指導(dǎo)、疑難的解答等。反之，如果教師限制得過(guò)多，將失去其拓展課價(jià)值。本課例教師始終將主動(dòng)權(quán)讓位于學(xué)生，從始至終，學(xué)生沒(méi)有停止實(shí)踐操作、探索交流、歸納思考。

總之，數(shù)學(xué)拓展性課程作為基礎(chǔ)教育的補(bǔ)充，在發(fā)展和完善人的思維、形成人們認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度和方法、滿足差異化和個(gè)性化的發(fā)展等方面起著重要的作用。同時(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）也提出：“實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)探索與合作交流的重要途徑?！遍_(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)拓展課時(shí)，教師要注重學(xué)生動(dòng)手操作，注重?cái)?shù)學(xué)邏輯推理，注重?cái)?shù)學(xué)方法的提煉概括，真正著眼于發(fā)展學(xué)生的興趣特長(zhǎng)，調(diào)動(dòng)每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，滿足學(xué)生個(gè)性化需求，這也是我們開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)拓展性課程的終極目標(biāo)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]許芬英.浙江省中小學(xué)學(xué)科教學(xué)建議案例解讀[M].杭州：浙江教育出版社，2015.

[2]張國(guó)定.數(shù)學(xué)文化從幕后到前臺(tái)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2016（1）.

（責(zé)任編輯：張華偉）