Kelly準則下的組合選擇策略及其經(jīng)驗證據(jù)

張聰

〔摘 要〕 作為最大化博彩或投資長期收益預(yù)期的一種方法，Kelly準則受到眾多博彩者和投資者的廣泛關(guān)注，但是在組合最優(yōu)化問題研究的文獻中卻對Kelly準則沒有給予充分的探討。本文在對Kelly準則下組合選擇進行理論分析的基礎(chǔ)上，用中國A股市場部分指數(shù)對Kelly組合選擇問題進行了經(jīng)驗分析。研究結(jié)果表明，全局Kelly組合策略在中國A股市場中可以提高投資者的資產(chǎn)長期增長率，據(jù)之進行組合管理是有利可圖的;全局Kelly組合策略的額外回報源于其對杠桿和賣空手段的使用;常用的四種局部Kelly組合構(gòu)建方法或多或少地存在一定問題，投資者應(yīng)用時須注意;帶有約束條件的最優(yōu)化方法是無杠桿和賣空限制條件下局部Kelly組合構(gòu)建的合適方法，它能夠顯著提高資產(chǎn)的預(yù)期長期增長;經(jīng)動態(tài)調(diào)整的有約束條件下最優(yōu)化方法是構(gòu)建局部Kelly組合的最佳方法，尤其是用于隨市場波動特征變化而進行動態(tài)調(diào)整時其效果更佳。

〔關(guān)鍵詞〕 Kelly準則;Kelly組合;組合管理;動態(tài)調(diào)整

中圖分類號 ：F224?? 文獻標(biāo)識碼 ：A?? 文章編號 ： 1008- 4096（2018）06-0095-10

一、引 言

與Markowitz均值-方差準則不同，Kelly準則關(guān)注的是投資者資產(chǎn)長期的增長，投資者依據(jù)其資產(chǎn)長期增長的高低來判斷資產(chǎn)的優(yōu)劣或選擇組合的構(gòu)建，即在追求財資產(chǎn)期增長最大化的目標(biāo)下構(gòu)建投資組合。Kelly? [1] 通過研究博彩者在追求資產(chǎn)長期增長最大化的目標(biāo)下如何選擇投注而提出Kelly最優(yōu)投注比例。其研究結(jié)果顯示，在一個可以進行無限次投注的博彩游戲中，博彩者每次按其財富的某一比率（被稱之為最優(yōu)投注比率）進行投注，可以使得自己的資產(chǎn)長期增長最大化。當(dāng)然，該模型的假設(shè)是博彩者的資產(chǎn)是無限可分的，且所有資產(chǎn)（包括本金和利潤）都可以用于博彩游戲。

Thorp [2] 將Kelly準則及其公式應(yīng)用到股票市場，考察股票市場中的最優(yōu)投資比率或最優(yōu)倉位。后續(xù)的相關(guān)研究大多是圍繞目標(biāo)函數(shù)的擴展和最優(yōu)倉位的檢驗展開。在目標(biāo)函數(shù)擴展方面，Samuelson? [3] 用冪效用函數(shù)取代最大化資產(chǎn)長期增長的目標(biāo)函數(shù)分析最優(yōu)倉位，Hakanson? [4] 擴展到正冪效用函數(shù)、負冪效用函數(shù)、對數(shù)效用函數(shù)和指數(shù)效用函數(shù)四種效用函數(shù)。在經(jīng)驗分析方面，Samuelson? [5] 發(fā)現(xiàn)從長期看采用最優(yōu)倉位策略的基金經(jīng)理將獲得更多的資產(chǎn)增長，Rotando和Thorp? [6] 發(fā)現(xiàn)Kelly最優(yōu)倉位策略用于標(biāo)普500指數(shù)具有相對比較優(yōu)勢，MacLean等? [7]? 基于其研究結(jié)果認為Kelly最優(yōu)倉位策略優(yōu)于其它策略，Anderson和Faff? [8] 基于高頻期貨數(shù)據(jù)的回測和檢驗結(jié)果顯示Kelly最優(yōu)倉位策略在期貨交易中的作用非常重要。

盡管Kelly準則及其組合策略有很多優(yōu)點，也被很多博彩者和投資者廣泛關(guān)注，但是在組合管理者之中卻很少使用這種方法。這可能是因為組合管理者關(guān)注于多變量，而學(xué)術(shù)文獻中關(guān)于Kelly準則的探討絕大多數(shù)是單變量的。Maslov和Zhang? [9] 在考察單項風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資策略的基礎(chǔ)上，將單項風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資策略擴展到多項風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資組合，得到與單項資產(chǎn)形式類似的結(jié)果。Medo等? [10] 考察了相互獨立的多項資產(chǎn)情形，結(jié)果顯示在不超過5項資產(chǎn)的情形下，能夠得出最優(yōu)倉位的解析解，若超過5項資產(chǎn)，只能采用數(shù)值方法近似求解。Medo和Zhang? [11]? 考察了存在相關(guān)性的多項資產(chǎn)情形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，組合中風(fēng)險資產(chǎn)之間的正相關(guān)會導(dǎo)致組合中資產(chǎn)的配置比例相應(yīng)減少。Rising和Wyner? [12] 從理論上證明，估計出的局部Kelly組合與減縮估計量之間存在很強的聯(lián)系，利用減縮估計量可以確定局部Kelly組合參數(shù)的最優(yōu)值，進而能夠找到一個最優(yōu)的局部Kelly組合。Nekrasov? [13] 提出了一種簡單蒙特卡洛探索算法（Grope Algorithm）的數(shù)值計算方法，對無杠桿和無賣空約束條件下局部Kelly組合策略進行了研究，并利用統(tǒng)一計算設(shè)備架構(gòu)（Compute Unified Device Architecture，CUDA）下圖形處理器（Graphics Processing Unit，GPU），對DAX指數(shù)中7只成分股構(gòu)成的組合進行了測試。Peterson? [14] 通過引入一個風(fēng)險參數(shù)，將風(fēng)險和收益合并成一個單一目標(biāo)函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，他證明Kelly準則成為組合最優(yōu)化模型的一個去偶問題（Decoupled Problem）。并提出使用差分演進算法求解組合最優(yōu)化問題，經(jīng)驗結(jié)果顯示差分演進算法可以成功地估計出Kelly組合。Cao等? [15] 基于對高波動使用額外懲罰的思路，提出一個多變量波動規(guī)制Kelly組合策略（MVRK策略），構(gòu)建了相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，并給出了解析解。模擬結(jié)果和經(jīng)驗分析結(jié)果顯示，相對于全局Kelly組合策略和局部Kelly組合策略，MVRK策略在低相關(guān)性資產(chǎn)中具有優(yōu)勢。研究者們認為，MVRK策略降低了短期風(fēng)險，但是沒有犧牲投資增長率。

經(jīng)過仔細梳理，本文發(fā)現(xiàn)在已有關(guān)于Kelly組合的研究中存在一些問題。Maslov和Zhang? [9] 給出了多變量Kelly組合的一般方法，但是卻只有不相關(guān)資產(chǎn)的計算公式。雖然Laureti等? [16] 做了進一步的分析，從理論上給出了相關(guān)性資產(chǎn)情形下的計算公式，但是也只是在附錄中做出簡單描述，并沒有說明具體采用什么方法來解多變量局部Kelly組合的最優(yōu)化問題。Rising和Wyner? [12] 假設(shè)組合方差近似等于其二階矩（非中心矩），這在資產(chǎn)預(yù)期收益較大時是不成立的。而且其將局部Kelly策略解釋為風(fēng)險資產(chǎn)部分等比例降低份額，這可能在資產(chǎn)收益非聯(lián)合高斯分布的情況下是次優(yōu)的。此外，上述三個研究中都沒有分析采用泰勒級數(shù)逼近的Kelly組合投資比例的近似質(zhì)量。

國內(nèi)基于Kelly準則進行組合管理的研究相對較少。凌士勤 [17] 提出了基于VaR及Kelly增長體系的“基于最優(yōu)增長路徑的增長-安全模型”，并在離散條件下，用基于情景分析的方法考察了模型的實用效果，他認為該模型可作為用于投資活動的一種實踐工具。羅勇 [18] 基于Kelly準則，建立了風(fēng)險約束下的Kelly動態(tài)投資組合模型，采用理論模型和經(jīng)驗分析研究了在最大資金衰落與交易成本約束下的基金資產(chǎn)動態(tài)最優(yōu)增長問題。

綜上所述，本文認為現(xiàn)有的相關(guān)研究存在三個不足：第一，對Kelly組合策略的回測與檢驗較少，缺乏對中國A股市場的檢驗。眾所周知，關(guān)于Kelly組合理論模型中的假設(shè)與現(xiàn)實并不完全一致，無論是全局Kelly組合策略還是局部Kelly組合策略其實踐效果不得而知。第二，關(guān)于全局Kelly組合和局部Kelly組合構(gòu)建的幾種方法之間的優(yōu)劣比較缺乏經(jīng)驗證據(jù)的支持，是否有適用于中國A股市場中Kelly組合構(gòu)建方法需要回測與檢驗。第三，缺少關(guān)于Kelly組合動態(tài)調(diào)整的研究。鑒于此，本文嘗試采用中國A股部分指數(shù)對Kelly組合（包括全局Kelly組合和局部Kelly組合）管理策略進行回測與檢驗，比較幾種最新的Kelly組合構(gòu)建方法，在此基礎(chǔ)上尋求更好的Kelly組合構(gòu)建方法。

二、Kelly準則下組合選擇的理論分析

（一）Kelly準則與Kelly公式

Kelly準則關(guān)注的是財富長期增長，投資者根據(jù)財富長期增長的高低來判斷或選擇，即在追求財富長期增長最大化的目標(biāo)下構(gòu)建投資組合。假設(shè)投資者的初始財富為W ?0 ，T期期末財富為W ?T ，則投資者財富的預(yù)期長期指數(shù)增長率為：

g= lim?? T→SymboleB@? E[ 1 T ln? W ??T?? W ??0? ] （1）

投資者基于最大化預(yù)期長期指數(shù)增長率g來進行投資比例選擇或投資組合選擇。與Markowitz均值-方差準則相比，Kelly準則只有最大化財富的長期增長率一個目標(biāo)，而Markowitz均值-方差準則既要最大化預(yù)期收益率、又要最小化收益率的方差。另外，Kelly準則關(guān)注的是長期投資的總體績效，而Markowitz均值-方差準則關(guān)注的則是投資的單期績效。

假設(shè)某投資者在每個投資期內(nèi)可以將其財富的一部分投入到一項風(fēng)險資產(chǎn)中，投資比例（之后本文稱之為倉位）設(shè)為f，若該項資產(chǎn)在未來一期內(nèi)的收益率為R，則投資者T期期末財富為

本文不考慮將剩余財富投資于無風(fēng)險資產(chǎn)，即除了風(fēng)險資產(chǎn)之外，剩余的財富就是現(xiàn)金。 ：

W T= 1-f? W ??0 +f W ??0? 1+R =（1+fR） W ??0? （2）

如果假設(shè)不同投資期內(nèi)該項資產(chǎn)的收益率R是獨立同分布的，且每期的投資比例f保持不變，那么T期期末投資者的財富為：

W ??T = （1+fR）T? W ??0? （3）

將式（3）帶入式（1），可得：

g=E ln 1+fR?? （4）

根據(jù)泰勒公式ln 1+x =x- 1 2? x2 +o（ x3 ） ，用二階多項式逼近對數(shù)函數(shù)，可得：

g=E ln 1+fR? =E[fR- 1 2? f2? R2 ] （5）

最大化財富的預(yù)期長期指數(shù)增長率g，由式（5）可以得到其必要條件：

g f =E R -fE? R2? =0 （6）

求解式（6），可得最優(yōu)投資比例為：

f* = E（R） E（R2） = E（R） D（R）+ [E（R）]2?? （7）

其中，E（R）和D（R）分別表示預(yù)期收益率R的均值和方差。

如果假設(shè)預(yù)期收益率R獨立同分布于兩點分布（1，-1; p，1-p），那么很容易根據(jù)式（7）計算出最優(yōu)投資比例為：

f* =2p-1 （8）

式（8）就是著名的Kelly公式的最簡單形式。

如果資產(chǎn)是股票，假設(shè)其價格波動S ?t 遵循幾何布朗運動，即滿足以下隨機微分方程：

d S ??t =μ S ??t dt+σ S ??t d z ??t? （9）

其中，SymbolmA@表示價格漂移，SymbolsA@表示價格波動，z ?t 表示維納過程，獨立同分布于均值為0、方差為 dt的正態(tài)分布。

給定初始值S ?0 ，根據(jù)伊藤積分，隨機微分方程式（9）有如下解：

S ??t = S ??0? e? μ- 1 2? σ2? t+σ z ??t??? （10）

由式（10）可見，股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布，其均值和方差計算得出：

E（ S ??t ）= S ??0 e μt? （11）

D（ S ??t ）=S2 0e 2μt （e σ2t -1） （12）

由式（11）和式（12），很容易得到股票收益率的均值和方差分別為：

E R =E?? S ?t? S ?0 -1 =e μt -1 （13）

D R =D?? S ?t? S ?0 -1 =e 2μt （e σ2t -1） （14）

把式（13）和式（14）帶入式（7），可以得出股票價格波動S ?t 遵循幾何布朗運動情形下的最優(yōu)投資比例：

f* = e μt -1 1+e （2μ+ σ2 ）t -2e μt?? （15）

當(dāng)SymbolmA@和SymbolsA@很小的時候，有：

f* = μ? σ2?? （16）

式（16）即是股票價格波動遵循幾何布朗運動情形下最優(yōu)投資比例的標(biāo)準形式。

（二）擴展模型：連續(xù)分布情形下多項資產(chǎn)組合選擇

本文將上述模型由一項資產(chǎn)擴展到多項資產(chǎn)組合，假設(shè)該資產(chǎn)組合由N項風(fēng)險資產(chǎn)組成，第i項資產(chǎn)在不同投資期內(nèi)的收益率R ?i 是獨立同分布的，同一投資期內(nèi)不同資產(chǎn)的收益率之間是可以相關(guān)的，投資者投資于第i項資產(chǎn)的投資比例f ?i 固定不變，那么T期期末投資者的財富為W ?T 為：

W ??T = （1+∑? N?? i=1?? f ??i? R ??i ）T? W ??0? （17）

將式（17）帶入式（1），則最大化投資者的資產(chǎn)長期指數(shù)增長率為：

g=E ln 1+∑? N?? i=1?? f ??i? R ??i??? （18）

根據(jù)泰勒公式ln 1+x =x- 1 2? x2 +o（ x3 ） ，用二階多項式逼近對數(shù)函數(shù)，可得：

g=E ln 1+∑? N?? i=1?? f ??i? R ??i?? =E[∑? N?? i=1?? f ??i? R ??i - 1 2?? ∑? N?? i=1?? f ??i? R ??i? 2 ] （19）

最大化財富的預(yù)期長期指數(shù)增長率g，由式（5）可以得到其必要條件：

gf ??i? =E? R ??i? -∑? N?? j=1?? f ??j? E（R ??i? R ??j ）=0

i=1，2，…，N （20）

將式（20）表示的N個方程聯(lián)立求解，可得最優(yōu)投資比例為：

f* =∑ -1 μ （21）

其中，f * 表示各項資產(chǎn)投資比例的列向量，∑ -1 表示1+1階混合原點矩矩陣∑的逆矩陣，∑的第i行第j列元素為 E（R ??i? R ??j ），μ表示各項資產(chǎn)收益率的均值的列向量，μ的第i行元素為 E（R ?i ） 。

需要注意的是，混合原點矩矩陣∑不是協(xié)方差逆矩陣，它與協(xié)方差逆矩陣SymbolWA@的關(guān)系如下：

∑=Ω+μμ′ （22）

最優(yōu)投資比例的計算公式（21）的向量形式可以表示如下：

f* ??1? ? f* ??N?? =??? E（R ??1? R ??1 ） …? E（R ??1? R ??N ） ? E（R ??N? R ??1 ） …? E（R ??N? R ??N ）?? -1??? E（ R ??1 ）E（ R ??N ）??? （23）

對比式（23）與式（7），很容易看出，式（7）是式（23）的一個特例，這說明單項資產(chǎn)情形和多項資產(chǎn)情形下最優(yōu)投資比例的計算公式是一致的。

需要說明的是，最優(yōu)倉位的計算公式建立在不同時期的投資收益是獨立同分布的，且每期的倉位是固定的。實踐中很多經(jīng)驗證據(jù)顯示股票收益具有均值回復(fù)特點，且股價波動具有聚集效應(yīng)，即股價波動在一段時期內(nèi)較小而下一段時期較大，周而復(fù)始。

三、最優(yōu)組合投資比例的估計與檢驗：來自中國A股指數(shù)的證據(jù)

（一）最優(yōu)組合投資比例及其收益率測算

本文選擇中國A股市場中七個主要指數(shù)對最優(yōu)組合投資比例進行回測和檢驗，這七個指數(shù)分別是滬深300指數(shù)（000300）、上證指數(shù)（999999）、上證50指數(shù)（000016）、上證180指數(shù)（000010）、深圳成指（399001）、中小板指數(shù)（399005）和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)（399006）。之所以選擇指數(shù)進行回測和檢驗，是因為指數(shù)收益率相對于個股收益率更接近正態(tài)分布，這一結(jié)果獲得許多經(jīng)驗證據(jù)支持，同時也是由于部分指數(shù)可以通過相關(guān)的衍生產(chǎn)品進行杠桿交易或做空交易。所有七個股票指數(shù)的樣本區(qū)間從其指數(shù)設(shè)立開始至2018年8月24日。

首先，本文基于這七個股票指數(shù)并按照指數(shù)中涵蓋股票不重復(fù)的原則，構(gòu)建九個資產(chǎn)組：資產(chǎn)組A由上證指數(shù)和深圳成指構(gòu)成，資產(chǎn)組B由上證180指數(shù)和深圳成指構(gòu)成，資產(chǎn)組C由上證50指數(shù)和深圳成指構(gòu)成，資產(chǎn)組D由上證指數(shù)、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)構(gòu)成，資產(chǎn)組E由上證180指數(shù)、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)構(gòu)成，資產(chǎn)組F由上證50指數(shù)、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)構(gòu)成，資產(chǎn)組G由上證指數(shù)、深圳成指、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)構(gòu)成，資產(chǎn)組H由上證180指數(shù)、深圳成指、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)構(gòu)成，資產(chǎn)組I由上證50指數(shù)、深圳成指、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)構(gòu)成。

其次，由于七個指數(shù)設(shè)立時間的不同，所以在做回測檢驗時九個資產(chǎn)組的樣本區(qū)間可能不同，這主要取決于資產(chǎn)組中指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)的長度。如資產(chǎn)組A中的兩個指數(shù)上證指數(shù)和深圳成指設(shè)立相對較早，其樣本區(qū)間為1991年4月5日至2018年8月24日，而資產(chǎn)組I中由于創(chuàng)業(yè)板指數(shù)設(shè)立較晚，其樣本區(qū)間為2010年6月4日至2018年8月24日。

最后，本文根據(jù)式（22）和式（23）估計每個資產(chǎn)組中各指數(shù)資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例。具體步驟如下：第一，計算每個資產(chǎn)組中所有指數(shù)的平均收益率及其協(xié)方差矩陣。第二，計算出混合原點矩矩陣及其逆矩陣。第三，計算資產(chǎn)組中各指數(shù)資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例。計算結(jié)果如表1所示。

由表1可知，第一，Kelly組合中各指數(shù)的投資比例在-7.0797到5.6860之間，不完全在區(qū)間[0，1]之內(nèi)，且有正有負，這說明，要想獲取股票指數(shù)投資的最優(yōu)長期增長，投資者必須利用杠桿交易和賣空交易。第二，所有九個指數(shù)資產(chǎn)組中Kelly組合的總收益率（周均收益率）均高于該區(qū)間內(nèi)各指數(shù)的買入持有總收益率（周均收益率），如由上證指數(shù)和深圳成指構(gòu)成的資產(chǎn)組A中，Kelly組合的總收益率為234.8923%，對應(yīng)于該投資區(qū)間內(nèi)上證指數(shù)和深圳成指的總收益率分別為203.4015%和163.6037%，Kelly組合收益率大于其組合中各指數(shù)資產(chǎn)的收益率。這表明，Kelly組合能夠讓

投資指數(shù)的長期收益超過單一指數(shù)的簡單被動買入持有收益。當(dāng)然，這是在承擔(dān)了較大風(fēng)險的前擔(dān)下獲得的，因為Kelly組合中各指數(shù)資產(chǎn)的投資比例不在區(qū)間[0，1]之內(nèi)。第三，從資產(chǎn)組A到資產(chǎn)組I，Kelly組合的周均收益率明顯呈遞增趨勢，這與其表現(xiàn)出的杠桿率和賣空比例走高正相關(guān)。

需要說明的是，上述經(jīng)驗結(jié)果沒有考慮交易成本，因而部分結(jié)果在投資實踐中的效果有待進一步考察。

（二）Kelly組合的優(yōu)劣分析

從表1中的結(jié)果只能得出根據(jù)式（23）計算出的Kelly組合能夠讓投資指數(shù)的長期收益超過簡單被動的買入持有收益，但是并不能說明Kelly組合就是最大化長期收益目標(biāo)下的最優(yōu)組合，因為本文并沒有證明Kelly組合的收益率高于其它組合的收益率。

本文采用模擬方法在Kelly組合的投資比例附近進行搜索，考察Kelly組合的周均收益率是否高于其它組合的周均收益率，如果Kelly組合的周均收益率均高于其它組合的周均收益率，則證明Kelly組合是最優(yōu)組合，否則不是。

為此，本文對前三個資產(chǎn)組（A—C）分別圍繞估計出的Kelly組合的投資比例，以步長0.0200向前向后各選擇100個投資比例，共計算10 200個不同投資比例下的周均收益率，找出周均收益率最大的模擬組合;對中間三個資產(chǎn)組（D—F）分別圍繞估計出的Kelly組合的投資比例，以步長0.0200向前向后各選擇100個投資比例，共計算1030 300個不同投資比例下的周均收益率，找出周均收益率最大的模擬組合;對后三個資產(chǎn)組（G—I）分別圍繞估計出的Kelly組合的投資比例，以步長0.0200向前向后各選擇50個投資比例，共計算6765 200個不同投資比例下的周均收益率，找出周均收益率最大的模擬組合。對于每個組合，本文比較Kelly組合與模擬組合的周均收益率，用以判斷Kelly組合是否為最大化長期收益目標(biāo)下的最優(yōu)組合。具體測算結(jié)果如表2所示。

由表2可知，九個資產(chǎn)組中所有Kelly組合的周均收益率均與其附近最優(yōu)模擬組合的周均收益率相等或非常接近，這表明，本文估計出Kelly組合為最大化長期收益目標(biāo)下的最優(yōu)組合，具有相對較強的長期收益優(yōu)勢。

四、局部Kelly組合的估計方法及其經(jīng)驗證據(jù)

前文對Kelly組合投資比例估計與檢驗中并沒有考慮任何約束條件，即所估計出的Kelly組合是全部Kelly組合（full Kelly portfolio），考慮到全部Kelly組合存在波動率高、回撤幅度大的高風(fēng)險特征以及換手率高、價格沖擊度大的高交易成本問題，一些研究提出采用局部Kelly組合（partial/fractional Kelly portfolio）。在此，本文先分別采用拉格朗日乘子法（MZ法）、減縮估計量法（RW法）、波動率調(diào)整法（CLWZ法）和探索算法（N法）對局部Kelly組合及其收益進行估計和回測，之后再采用有約束條件的最優(yōu)化方法估計Kelly組合及其收益，并考察其動態(tài)調(diào)整的影響。

（一）四種局部Kelly組合的估計方法

1.拉格朗日乘子法（MZ法）

Maslov和Zhang [9] 在考察單項風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資策略的基礎(chǔ)上，將單項風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資策略擴展到多項風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資組合，得到與單項資產(chǎn)形式類似的結(jié)果。假設(shè)組合中各風(fēng)險資產(chǎn)價格變動遵循多維幾何布朗運動，推導(dǎo)得出無約束條件下計算最優(yōu)投資組合中各風(fēng)險資產(chǎn)投資比例的一般公式。進一步地，Maslov和Zhang簡單討論了在不允許賣空和總投資比例小于1的約束條件下各風(fēng)險資產(chǎn)收益互不相關(guān)情形下Kelly組合投資比例的確定問題，并提出采用拉格朗日乘子方法進行估計的思路。其得出的局部Kelly組合估計公式如下：

f* i= E? R ??i? -λ D? R ??i? + [E? R ??i? ]2? θ? E? R ??i? -λ D? R ??i? + [E? R ??i? ]2 ???（24）

其中，f* i表示第i項風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例，SymbollA@表示拉格朗日乘子，θ（x）表示赫維賽德階躍函數(shù)（Heavyside step function），θ x = d dx max {x，0}。

拉格朗日乘子SymbollA@可以通過解下式求得：

∑ N i=1? E R i -λ D R i +[E R i ]2 θ? E R i -λ D R i +[E R i ]2? =1 （25）

2.減縮估計量法（RW法）

Rising和Wyner [12] 從理論上證明估計出的近似局部Kelly組合與減縮估計量之間存在很強的聯(lián)系，利用減縮估計量可以確定局部Kelly組合參數(shù)的最優(yōu)值，進而能夠找到一個最優(yōu)的局部Kelly組合。Rising和Wyner認為，該最優(yōu)局部Kelly組合之所以成功，并不是因為降低了組合的風(fēng)險，而是因為降低了估計誤差。其模擬結(jié)果證實了這一結(jié)論。不考慮無風(fēng)險收益，其局部Kelly組合的比例系數(shù)估計如下：

α* = tr? Σ? ︿?? tr? Σ? ︿? + μ ︿? 2 2? （26）

其中， α* 表示局部Kelly組合的比例系數(shù)，tr? Σ? ︿? 表示協(xié)方差矩陣 Σ? ︿ 的跡，即協(xié)方差矩陣對角線元素之和;? μ? ︿? 2 2表示風(fēng)險資產(chǎn)收益向量范數(shù)的平方，即向量各元素的平方和。

由此，局部Kelly組合的投資比例可以計算如下：

f* =（1- α* ）∑ ︿?? -1?? （27）

其中， f* 表示局部Kelly組合的最優(yōu)投資比例向量。

3.探索算法（N法）

Nekrasov [13] 提出了一種簡單蒙特卡洛探索算法（grope algorithm）的數(shù)值計算方法對無杠桿和無賣空約束條件下局部Kelly組合策略，并利用統(tǒng)一計算設(shè)備架構(gòu)（Compute Unified Device Architecture，CUDA）下圖形處理器（Graphics Processing Unit，GPU），對DAX指數(shù)中7只成分股構(gòu)成的組合進行了測試，結(jié)果顯示探索算法的估計與回測效果很好。

4.波動率調(diào)整法（CLWZ法）

Cao等 [15] 基于對高波動使用額外懲罰的思路，提出一個多變量波動規(guī)制Kelly組合策略（MVRK策略），構(gòu)建了相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，并給出了解析解。模擬結(jié)果和經(jīng)驗分析結(jié)果顯示，相對于全部Kelly組合策略和局部Kelly組合策略，MVRK策略在低相關(guān)性資產(chǎn)中具有優(yōu)勢。Cao等認為，MVRK策略降低了短期風(fēng)險，但是沒有犧牲投資增長率。其局部Kelly組合最優(yōu)投資比例的估計公式如下：

f* =（∑+θdiag（∑）） -1? （28）

其中， f* 表示局部Kelly組合的最優(yōu)投資比例向量， 表示各資產(chǎn)收益的協(xié)方差矩陣， diag（∑） 表示協(xié)方差矩陣的對角線矩陣，θ表示投資者的風(fēng)險回避程度。

（二）有約束條件的最優(yōu)化方法

考慮到上述四種方法存在的問題，本文嘗試直接采用有約束條件的最優(yōu)化方法。根據(jù)式（19），在無杠桿和賣空的約束條件下，本文直接最大化預(yù)期長期增長率的近似值就可得到Kelly組合的最優(yōu)投資比例，即求解如下最優(yōu)化問題：

max??? f ??i?? g=∑? N?? i=1?? f ??i E? R ??i? - 1 2 ∑? N?? i=1? ∑? N?? j=1?? f ??i? f ??j E? R ??i? R ??j?? （29）

s.t.∑? N?? i=1?? f ??i ≤1

0≤ f ??i ≤1? i=1，2，…，N

其中，第1行為目標(biāo)函數(shù)，最大化預(yù)期長期增長率的近似值，下方行為約束條件，分別表示不加杠桿和不能賣空。

（三）估計結(jié)果與分析

根據(jù)上面的計算公式，本文采用MZ法、RW法、CLWZ法、N法、約束條件下最優(yōu)化法和動態(tài)調(diào)整的最優(yōu)化法對局部Kelly組合的最優(yōu)投資比例進行估計，結(jié)果如表3所示。

由表3可知，第一，拉格朗日乘子法能夠保證Kelly組合的投資比例滿足無杠桿和賣空限制條件，但是其組合總收益率多數(shù)情況下不及組合中單個資產(chǎn)的最高收益，這說明分散風(fēng)險的結(jié)果會帶來組合收益率的下降。第二，減縮估計量法不能保證Kelly組合的投資比例滿足無杠桿和賣空限制條件，僅僅是對全部Kelly組合的一個整體倉位下降。第三，波動率調(diào)整法也不能保證Kelly組合的投資比例滿足無杠桿和賣空限制條件，但是波動率調(diào)整法在資產(chǎn)收益波動較大的情況下相對于拉格朗日乘子法有顯著改善，特別是在資產(chǎn)組G至I中改善效果尤其明顯。第四，探索算法和最優(yōu)化方法計算得出的Kelly組合投資比例及其總收益基本一致，其主要原因是兩種方法都是在限定的無杠桿和賣空條件下的最優(yōu)結(jié)果。然而，由于探索算法相對于最優(yōu)化方法需要大量的計算，本文認為有約束條件下的最優(yōu)化方法更為方便和可靠。

以上本文對最優(yōu)投資比例的估計與檢驗中，采用的是固定投資比例的方法，即整個樣本區(qū)間內(nèi)Kelly組合的投資比例是固定的，但這可能會引起前視偏差（look-ahead bias），在實踐中是行不通的。因此，實際操作中必須根據(jù)可獲取的相關(guān)數(shù)據(jù)及其判斷，采取動態(tài)調(diào)整組合的投資比例的管理策略進行倉位管理。為此，針對有約束條件下的最優(yōu)化方法，根據(jù)波動率有周期波動的特點，本文用前50周的樣本數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)，然后利用估計出的參數(shù)計算Kelly組合投資比例，據(jù)此對每個組合投資比例進行動態(tài)調(diào)整。計算結(jié)果列于表4的最后兩列。

表4最后兩列的結(jié)果顯示，與采用有約束條件的最優(yōu)化方法得到的結(jié)果相比，動態(tài)調(diào)整的最優(yōu)化方法具有顯著優(yōu)勢，在9個資產(chǎn)組中僅有一個其收益率略有降低，其余8個資產(chǎn)組的收益率顯著提高。這表明，使用有約束條件下的最優(yōu)化方法需要根據(jù)市場波動情況進行動態(tài)調(diào)整，當(dāng)然在實踐中需要進一步分析市場波動特征并測算動態(tài)調(diào)整的時間周期。

五、結(jié)論與建議

基于Kelly公式及其擴展模型，本文在Kelly組合構(gòu)建理論模型分析的基礎(chǔ)上，用中國A股市場7個主要指數(shù)（滬深300指數(shù)、上證指數(shù)、上證50指數(shù)、上證180指數(shù)、深圳成指、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)）組成的9個資產(chǎn)組對Kelly組合投資比例估計進行了經(jīng)驗分析。研究結(jié)果表明：

第一，模型分析和經(jīng)驗檢驗均顯示，全部Kelly組合策略相對于一般組合策略有明顯的高資產(chǎn)預(yù)期長期增長率，為最大化資產(chǎn)預(yù)期長期增長率目標(biāo)下的最優(yōu)投資組合。這表明，采用杠桿和賣空手段可以在中國A股市場中提高資產(chǎn)的預(yù)期長期增長率，全部Kelly組合策略是有利可圖的。當(dāng)然，由于使用了杠桿和賣空手段，全部Kelly組合策略的風(fēng)險會明顯提高。

第二，四種常用的局部Kelly組合投資比例估計方法均存在一定問題，不是構(gòu)建局部Kelly組合的好辦法。減縮估計量法和波動率調(diào)整法均不能保證Kelly組合的投資比例滿足無杠桿和賣空限制條件，拉格朗日乘子法和探索算法雖然能夠保證Kelly組合的投資比例滿足無杠桿和賣空限制條件，但是拉格朗日乘子法估計出的Kelly組合其總收益率多數(shù)情況下不及組合中單個資產(chǎn)的最高收益，且探索算法在組合中資產(chǎn)個數(shù)較多時需要大量的計算。

第三，有約束條件下的最優(yōu)化方法在實踐中更為方便和可靠，根據(jù)市場波動情況進行動態(tài)調(diào)整的有約束條件下最優(yōu)化方法為構(gòu)建局部Kelly組合的最佳方法，但在實踐中需要進一步分析市場波動特征并測算動態(tài)調(diào)整的時間周期。需要注意的是，由于中國A股市場仍然處于結(jié)構(gòu)變化和逐漸完善之中，投資理念、投資方法和投資者情緒亦在發(fā)展變化之中，這種情況下估計出一個具有較好實際效果的最優(yōu)Kelly組合是較為困難的，因而必須要根據(jù)市場波動規(guī)律的變化調(diào)整Kelly組合投資比例的估計值。

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