從解題錯(cuò)例中分析高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)

沈赫

摘要：在人類(lèi)的歷史長(zhǎng)河以及社會(huì)生活中，數(shù)學(xué)是無(wú)處不在的，它是一門(mén)研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間以及信息等概念的學(xué)科。數(shù)學(xué)的難點(diǎn)主要是為了考驗(yàn)學(xué)生思維反應(yīng)能力。本文會(huì)以高中數(shù)學(xué)錯(cuò)題為例，分析高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)，從而幫助學(xué)生找到攻破難點(diǎn)的方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 錯(cuò)題解析 難點(diǎn)攻破

高中數(shù)學(xué)由必修課程和選修課程組成，研究方向包括《集合與函數(shù)》《三角函數(shù)》《不等式》《數(shù)列》《復(fù)數(shù)》《排列、組合、二項(xiàng)式定理》《立體幾何》《平面解析幾何》等部分。只要學(xué)生有正確的學(xué)習(xí)方法以及認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度，攻克高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)完全不是問(wèn)題。

一、知識(shí)掌握不透徹，容易混淆概念

高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)較多，有的學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候?yàn)榱俗非笏俣然蛘邔W(xué)習(xí)過(guò)后沒(méi)有及時(shí)地復(fù)習(xí)，很容易把類(lèi)似的知識(shí)點(diǎn)弄混，比如說(shuō)這題：

設(shè)M={1、2、3}，N={e、g、h}，從M至N的四種對(duì)應(yīng)方式，其中是從M到N的映射是（ ）

映射的概念具體如下：

設(shè)A是一個(gè)集合、B也是一個(gè)集合，如果在此時(shí)為其選擇一個(gè)相對(duì)應(yīng)的關(guān)系f，那么此時(shí)A集合中對(duì)應(yīng)的元素就為x，B集合中對(duì)應(yīng)的元素就為y，因此我們說(shuō)對(duì)應(yīng)關(guān)系為f，得出的結(jié)論為A集合為B集合的映射。

函數(shù)的概念具體如下：

通常我們?cè)O(shè)定A為一個(gè)非空數(shù)集，B為一個(gè)非空數(shù)集，如根據(jù)一種法則f，那么A集合中的元素則對(duì)應(yīng)為x，B集合中對(duì)應(yīng)的元素為y，我們稱(chēng)這種集合為A集合到B集合的函數(shù)。（函數(shù)的本質(zhì)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對(duì)應(yīng)）

映射與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系：函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對(duì)應(yīng)；而映射是建立在兩個(gè)任意集合上的特殊對(duì)應(yīng)；函數(shù)是特殊的映射，是數(shù)集到數(shù)集的映射，映射是函數(shù)概念的擴(kuò)展，映射不一定是函數(shù)，映射與函數(shù)都是特殊的對(duì)應(yīng)。

映射與函數(shù)（特殊對(duì)應(yīng)）的共同特點(diǎn)：（1）可以是“一對(duì)一”；（2）可以是“多對(duì)一”；（3）不能“一對(duì)多”；（4）A中不能有剩余元素；（5）B中可以有剩余元素。

映射的特點(diǎn)：（1）多元性：在映射中，非空集合A和非空集合B不僅可以是點(diǎn)集、圖形集合外，還可以是數(shù)集等；（2）方向性：我們知道映射是具有一定的方向的，集合到集合中的映射是不盡相同的；（3）在映射中，A集合中所包含的元素都會(huì)在B集合中體現(xiàn)，我們稱(chēng)之為象，不要求B中的每一個(gè)元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一種特殊的映射方向性。

上題答案應(yīng)選C

本題是考查映射的概念和特點(diǎn)，應(yīng)在完全掌握概念的基礎(chǔ)上，靈活掌握變型題。俗話說(shuō)：知道如何停止的人才知道如何加速。只有把基礎(chǔ)打好了，才能為后續(xù)的題海戰(zhàn)術(shù)做好充分的準(zhǔn)備。

二、懶于畫(huà)圖幫助思考

在遇到有關(guān)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生懶于畫(huà)圖思考，過(guò)于依賴(lài)自己的想象力。這樣做實(shí)際上會(huì)延緩解題的速度，在考試的時(shí)候甚至?xí)驗(yàn)榫o張而頻頻出錯(cuò)，比如說(shuō)這題：

定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（-3）=0，則不等式x f（x） <0的解集為（）

易判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性及f（x）圖像所過(guò)特殊點(diǎn)，作出f（x）草圖，根據(jù)圖像可解不等式。

解：∵ f（x）在R上是奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴ f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，由f（-3）=0，可得-f（3）=0，即f（3）=0，由f（-0）=-f（0），得f（0）=0作出f（x）的草圖，如圖所示：

本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，靈活作出函數(shù)的草圖是解題關(guān)鍵。

三、忽視題中隱含的關(guān)鍵條件

高中數(shù)學(xué)有些題目并不會(huì)把全部條件都體現(xiàn)在紙面上，而是要通過(guò)學(xué)生們的思考分析得出，此類(lèi)題目就是要培養(yǎng)學(xué)生掌握挖掘題目實(shí)質(zhì)的能力。比如說(shuō)這題：

設(shè)α、β是方程x2-2kx+k+6的兩個(gè)實(shí)根，則（β-1）2+（α-1）2的最小值是以下選項(xiàng)中的哪一個(gè)（ ）

A.8 B.不存在 C. -49/4 D.18

思路分析：在這個(gè)題中有且僅有一個(gè)是正確的答案，出題人設(shè)置了三個(gè)誤導(dǎo)選項(xiàng)，我們通過(guò)正常的解題思路常常會(huì)得出α+β=2k， α*β=k+6

∴（α-1）2+（β-1）2=4*（k-3/4）2-49/4

其中存在學(xué)生一看到C選項(xiàng)時(shí)就選擇了C，盲目的選擇，這種選擇就體現(xiàn)學(xué)生反向思維的缺乏。

∵原方程有兩個(gè)實(shí)根α、β

∴△=4k2-4（k+6）≥0，解得k≤-2或k≥3，只有（B）正確。

四、理解偏差，出現(xiàn)錯(cuò)誤

理解存在偏差，對(duì)問(wèn)題的思考比較片面，沒(méi)有考慮到特殊情況，進(jìn)而導(dǎo)致解答出現(xiàn)漏洞，不能準(zhǔn)確的計(jì)算出正確而全面的答案。比如說(shuō)一下這題

求一條直線，該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且該直線與某條拋物線相交，交點(diǎn)只有一個(gè)，這個(gè)拋物線是y2=2x。

錯(cuò)誤解法為：設(shè)這條直線的方程式為y=kx+1，那么此時(shí)這條直線與y2=2x的焦點(diǎn)則為k2x2+（2k-2）x+1=0，解得k=1/2

根據(jù)解題思路我們可以看出，有三個(gè)地方是不對(duì)的；

首先，當(dāng)設(shè)出直線的方程時(shí)，并沒(méi)有考慮到若k為0的情況和沒(méi)有斜率的狀況，這種思維是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

其次，審題后可以得知，我們要求的直線和y2=2x有交點(diǎn)，且只有一個(gè)，相交其實(shí)具有兩種情況，一個(gè)是相交，另一個(gè)是相切。解題時(shí)并未考慮相切狀況，存在紕漏。

最后，在解題時(shí)，通過(guò)將題目中的已知條件進(jìn)行聯(lián)立，進(jìn)而得到一個(gè)方程，此時(shí)應(yīng)對(duì)其判別式進(jìn)行考慮，因此K不等于0。結(jié)合以上解題來(lái)看，并未考慮到種種狀況，理解存在偏差，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

五、結(jié)語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)就是要理解知識(shí)概念、了解題目?jī)?nèi)容、注意解題細(xì)節(jié)。這些要求對(duì)于每個(gè)高中生來(lái)說(shuō)都是可以達(dá)到的，但又是難以堅(jiān)持的。所以要攻克高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)需要持之以恒地做好學(xué)習(xí)上的每一個(gè)小細(xì)節(jié)，這才能取得長(zhǎng)足的進(jìn)步。

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（作者單位：齊齊哈爾第八中學(xué)）endprint