高等數(shù)學(xué)中待定系數(shù)求解知識(shí)點(diǎn)

吳文前

【摘要】待定系數(shù)求解法是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)所在。本文通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)教材中涉獵到的涵蓋待定系數(shù)法求解的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了歸納總結(jié)，以便達(dá)到清晰思路，舉一反三，簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；定積分；有理函數(shù)的極限

【中圖分類號(hào)】G6420

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B

【文章編號(hào)】1671-8437（2017）18-0008-02

已知某些條件，求待定系數(shù)，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，我們梳理了一下，有以下幾部分的知識(shí)點(diǎn)中涵蓋這樣的問題。（1）極限部分；（2） 極值部分；（3）定積分部分。如果我們能夠在教學(xué)中把各種知識(shí)點(diǎn)中應(yīng)用待定系數(shù)解題的情況進(jìn)行歸類，不僅對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)，清晰思路都是非常有益的，而且能幫助學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)。

1有理函數(shù)的極限部分的待定系數(shù)問題

通過(guò)梳理總結(jié)，有理函數(shù)的極限有以下三種情況，在極限部分待定系數(shù)的問題常常會(huì)利用下面三公式綜合解決：

設(shè)f（x）=a0xn+a1xn-1+an，g（x）=b0xm+b1xm-1+bm.

（1）limx→∞ f（x）g（x）=a0b0n=m0nm

（2）limx→x0f（x）g（x）=f（x0）g（x0）g（x0）≠0想辦法約去零因子f（x0）=g（x0）=0∞g（x0）=0，但是f（x0）≠0

（3）limx→x0f（x）g（x）存在，且limx→x0g（x）=0，則limx→x0f（x）=0.

例1：limx→∞（x2+1x+1-ax-b）=0，求a，b.

解：x2+1x+1-ax-b

=（x2+1）-ax（x+1）-b（x+1）x+1

=（1-a）x2-（a+b）x+（1-b）x+1

由已知，上式極限為零，故分子是比分母低階的無(wú)窮大，所以由上述公式（1）知：1-a=0a+b=0

∴a=1，b=-1.

例2：設(shè)p（x）是多項(xiàng)式，limx→∞p（x）-x3x2=2，limx→0p（x）x=1，求P（x）.

解：limx→∞p（x）-x3x2=2由上述公式（1）知，分子是分母的同階無(wú)窮大，

∴可設(shè)p（x）=x3+2x2+ax+b（其中a，b是待定系數(shù)）

又∵limx→0p（x）x=1，由上述公式（3）知，分子與分母是等價(jià)無(wú)窮小，故分子極限為0.

∴l(xiāng)imx→0p（x）=limx→0（x3+2x2+ax+b）=0.

∴b=0.

∴l(xiāng)imx→0p（x）x=limx→0x3+2x2+axx=limx→0x（x2+2x+a）x=a=1.

∴p（x）=x3+2x2+x.

2極值部分的待定系數(shù)問題

在極值部分待定系數(shù)的問題常常會(huì)利用下面兩個(gè)定理解決：

定理1（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則f ′（x0）=0.

定理2（拐點(diǎn)的必要條件）若函數(shù) y =f（x）在 x0 處的二階導(dǎo)數(shù)存在，且點(diǎn)（x0，f（x0） ）為函數(shù)的拐點(diǎn)，則f ″ （x0）=0.

例1已知f（x）=x3+ax2+bx在x=1處有極值-12，試確定常系數(shù)a與b

解： 因?yàn)閒（x）=x3+ax2+bx，所以

f ′（x）=3x2+2ax+b

由上述定理1可知：f ′（1）=0，3+2a+b=0；由f（1）=-12，得 1+a+b=-12.

解方程組，得a=10，b=-23.

例2曲線x2y+ax+by=0以P（2，25）為拐點(diǎn)，求a，b.

解：兩端對(duì)x求導(dǎo)，有

2xy+x2y′+a+by′=0（1）

再次求導(dǎo)，得

2y+2xy′+2xy′+x2y″+by″=0（2）

∵P（2，25）為拐點(diǎn)∴y″=0，代入（2）得：

y+xy′+xy′=0y′=-y2x

∴y′=-254

這3個(gè)值代入（1），得：

75+a-254b=0

又∵P（2，25）在曲線上，

∴10+2a+25b=0

∴a=-203，b=43.

3定積分部分的待定系數(shù)問題

在定積分待定系數(shù)的問題常利用“定積分是常數(shù)”這個(gè)結(jié)論解決：

例：設(shè)f（x）=x2-x∫20f（x）dx+2∫10f（x）dx，求f（x）.

解：設(shè)∫10f（x）dx=a∫20f（x）dx=b則f（x）=x2-bx+2a，有

a=∫10f（x）dx=∫10（x2-bx+2a）dx=13-b2+2a

b=∫20f（x）dx=∫20（x2-bx+2a）dx=83-2b+4a

∴a=13，b=43.

∴f（x）=x2-43x+23.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]楊晉浩，張勇，羅釗.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[3]羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.