以形助數(shù)促思維 合理示圖提能力

夏玉英

摘 要：數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考問題，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使抽象問題具體化，使復(fù)雜問題簡單化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合既是一種重要的思想方法，又是解決問題的有效手段。

關(guān)鍵詞：以形助數(shù)；線段圖；示意圖；列提綱；數(shù)量關(guān)系；解決問題；學(xué)生思維

數(shù)形結(jié)合是借助圖形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以幾何圖形、線段圖、數(shù)軸、示意圖、列表等一系列的“形”作為手段，以“數(shù)”為目的，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考問題，使得抽象思維和形象思維相結(jié)合。通過“以形助數(shù)“或“以數(shù)解形”，把復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化、直觀化、生動化、形象化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。它既是一種重要的思想方法，又是解決問題的有效手段。

新課程改革以來，借助圖形等輔助手段來解決問題逐漸淡出了小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，但以解決問題為載體的教學(xué)，對于部分審題能力、理解能力不佳的學(xué)生來說，十分有難度，所以嘗試將數(shù)形結(jié)合這種數(shù)學(xué)思想方法融入新教材教學(xué)中，仍然具有十分重要的作用，數(shù)形結(jié)合仍是教師常用的重要的教學(xué)方法之一，也是學(xué)生解題非常有效的方法之一。

小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題”部分既是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。隨著年級的升高，有不少數(shù)學(xué)問題的文字?jǐn)⑹鲈絹碓匠橄螅瑪?shù)量關(guān)系也隨之變得更加復(fù)雜。如果教師一味地從題目字面意思去分析題意，用語言來表述數(shù)量關(guān)系，學(xué)生即使理解了，也只局限于會解決某個(gè)問題而難以理解和掌握。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不可能把所有的問題都講全、教完，只能教學(xué)其中的一部分，怎樣以少量問題為例，教會學(xué)生解決大量問題的本領(lǐng)，達(dá)到事半功倍的效果呢？這時(shí)，如果利用數(shù)形結(jié)合思想將題目中蘊(yùn)含的抽象的數(shù)量關(guān)系以形象、直觀的方式表達(dá)出來，就能有效解決很多問題，啟迪學(xué)生的思維。下面筆者就結(jié)合中年級的解決問題具體談?wù)勅绾巍耙孕沃鷶?shù)”，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，尋找解題途徑，簡化解題過程，提升解題能力。

一、借助示意圖，降低難度，幫助學(xué)生提高審題能力

示意圖是最原始的畫圖策略，是以形助數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法中最基本的一種，具有使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。在解決問題的過程中，如果教師能有意識地引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)想形，能畫圖的盡量畫圖，把相對抽象的問題轉(zhuǎn)化成示意圖，借助圖形，更有利于學(xué)生的審題，使數(shù)量關(guān)系明朗化。

例如，四（上）連除實(shí)際問題例4：2個(gè)書架一共放了224本書，每個(gè)書架有4層，平均每個(gè)書架每層放多少本書？教學(xué)時(shí)，筆者根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)畫示意圖（如圖1），結(jié)合一一對應(yīng)思想，突出了數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生分別從三個(gè)方向觀察示意圖，從而得出三種不同的解題方法：①整體看，可以先求出一共有幾層，再求問題；②縱向看，先求出一個(gè)書架4層放幾本書，再求問題；以上是教材中呈現(xiàn)的兩種常規(guī)的解題思路，結(jié)合示意圖學(xué)生很容易想到：③橫向看，可以先求出2個(gè)書架1層放幾本書，再求問題。

又如四（上）的練習(xí)題：將5升水倒入一個(gè)圓柱形容器中，水深4厘米，如果要使水深達(dá)到16厘米，那么需要再倒多少升水？從實(shí)際的作業(yè)反饋可知，大部分學(xué)生在解決問題的時(shí)候往往延續(xù)低年級的做法，憑借直覺思維，直接列式計(jì)算：16÷4×5=20升，這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生借助畫示意圖（如圖2），細(xì)心審題分析，很容易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤所在：要使水深達(dá)到16厘米，必須要有20升水，但原來已經(jīng)有5升水，所以只需在原有的基礎(chǔ)上再倒20-5=15升水即可。

再如四年級小數(shù)報(bào)上習(xí)題：小芳與四位同學(xué)一起參加數(shù)學(xué)競賽，四位同學(xué)的成績分別是66分、92分、83分、79分，小芳的成績比五人的平均成績高8分，小芳的成績是多少分？學(xué)生根據(jù)四位同學(xué)的成績求出平均分：（66+92+83+79）÷4=80分，接下來無所適從，不知從哪里做起。此時(shí)如果畫出示意圖（如圖3），便能一下明了數(shù)量之間的關(guān)系：小芳高出的8分就是四人成績提高的總分，從而便可求出每人比原來提高了8÷4=2分，則五人的平均分就是80+2=82分，于是從圖示就可得出：小芳的分?jǐn)?shù)就等于五人的平均分加上高出的8分。

再如題：24名同學(xué)平均分一堆圖書，后來又加了6名同學(xué)，大家重新分這些書，每人平均比原來少2本，這批圖書共多少本？由于中年級學(xué)生思維的局限性，他們只限于借助相差關(guān)系、部總關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系或份總關(guān)系等最基本的數(shù)量關(guān)系，從條件或是問題想起。對于該類題型，大多數(shù)學(xué)生束手無策，無從入手，這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生借助示意圖（如圖4）審清題意：現(xiàn)在每人平均比原來少的2本書只是給了后來增加的6名同學(xué)，所以原來的24人一共少了24×2=48本書，這也是后來的6名同學(xué)的圖書本數(shù)，題意到此審清，后面的思路基本流暢。

以上筆者列舉的幾個(gè)不同層次的題型都可以借助畫示意圖的方法把比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成圖形，簡明形象地找到等量關(guān)系，降低了難度，明確了解決問題的思路，逐步提高了學(xué)生的審題能力。特別是到了高年級，學(xué)習(xí)用假設(shè)法解決雞兔同籠等類似的問題時(shí)，如果借助圖形的直觀與趣味，更能讓學(xué)生從中體會到借助示意圖能更加清楚的審清題意，從情感上來講，也可以使學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)不再感到枯燥乏味，不再成為學(xué)生最害怕教師最頭疼的類型。

二、依托線段圖，助力等量，幫助學(xué)生提高分析能力

小學(xué)階段，如果說示意圖還只是半具體半抽象的圖形的話，那么線段圖就一定屬于抽象圖了，它是解決問題教學(xué)中最常見、應(yīng)用最廣泛的一種行之有效的輔助手段，是中年級實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)不可缺少的一部分。通過畫線段圖可以摒棄與解題無關(guān)的具體情節(jié)信息，直接指向條件與條件、條件與問題之間的數(shù)量關(guān)系，把具體的問題抽象化，從而幫助學(xué)生順利由形象思維向抽象思維過渡，有效促進(jìn)問題的解決，啟迪學(xué)生思維，提高學(xué)生分析問題的能力。特別是在中年級，適時(shí)應(yīng)用畫線段圖的方法，更能起到事半功倍的作用。

蘇教版教材在三年級解決問題的策略單元中已經(jīng)開始呈現(xiàn)線段圖，只不過教材只要求學(xué)生經(jīng)歷用線段圖表示條件和問題的過程，再讓他們將原有的線段圖補(bǔ)充完整。這時(shí)候筆者就開始有意識地、循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生去畫線段圖，等學(xué)生已經(jīng)有了一定的畫線段圖的基礎(chǔ)后，再學(xué)習(xí)到“四年級下冊解決問題的策略例1：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，兩人各有郵票多少枚？”時(shí)，學(xué)生基本都能根據(jù)題意畫出線段圖（如圖5），教師只需引導(dǎo)學(xué)生觀察線段圖并分析發(fā)現(xiàn)：用斬尾法去掉12枚，和小寧同樣多后再平均分；或者用補(bǔ)少法加上12枚，和小春同樣多后再平均分。這兩種方式都能分別求出這兩個(gè)量，特別是用移多補(bǔ)少法再還原的方法更凸顯了畫線段圖的優(yōu)越性，為教材第53頁第10題“張寧和王曉星一共有畫片86張。王曉星給張寧8張后，兩人畫片的張數(shù)同樣多，兩人原來各有畫片多少張？”提供了解題的可能。

當(dāng)然，對于畫線段圖的訓(xùn)練，貴在堅(jiān)持，任何技能都需要量的積累，經(jīng)歷量變到質(zhì)變的過程。要以習(xí)題為載體，目標(biāo)定位是形成技能，而不是多解題。

又如題：小軍看一本故事書，每天看24頁，看了5天后再看8頁就正好是這本書的一半，這本書有多少頁？這是四年級上冊的練習(xí)題，這個(gè)學(xué)段的解決問題的題型較三年級要復(fù)雜很多，且由于學(xué)生本身年齡階段的特點(diǎn)，思維的長度還不夠，大多數(shù)學(xué)生列式計(jì)算至24×5=120頁，120+8=128頁就沒有下文了。這個(gè)時(shí)候，教師從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過作圖，把原題中文字?jǐn)⑹龅臄?shù)量簡潔明了化，利用線段圖中各量的對應(yīng)關(guān)系（如圖6），學(xué)生一下就明白128頁只是計(jì)算了整本書的一半，要再乘2才是問題的答案。教師在解決問題的過程中這樣有意識地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造線段圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生在解題過程中以形助數(shù)，自覺運(yùn)用線段圖，獲得畫線段圖的基本方法和技能，能為將來高年級學(xué)習(xí)更復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題做好鋪墊。

除了以上提到的這些問題，用畫線段圖的方法還能解決以后的和倍、差倍、盈虧等問題，將復(fù)雜的文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為線段圖進(jìn)行分析，以形助數(shù)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，能更有效地將題中抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地表示出來，降低了解題難度，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。

三、羅列出提綱，明朗關(guān)系，幫助學(xué)生提高抓對應(yīng)量的能力

如果說示意圖和線段圖是以圖形的形式呈現(xiàn)各個(gè)數(shù)量的話，那么列提綱則更能直接指向數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，把信息進(jìn)行簡約化處理，去粗取精，使學(xué)生的思維更趨于抽象化，為高年級學(xué)習(xí)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題做好前期的鋪墊。教師應(yīng)使之成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的常規(guī)工具，養(yǎng)成思考的習(xí)慣，進(jìn)一步提高學(xué)生解決問題的能力。

如題：一輛卡車，4次運(yùn)面粉130袋，照這樣計(jì)算，再運(yùn)8次，一共可以運(yùn)多少袋？對以上信息進(jìn)行整理（如圖7）后，中年級的學(xué)生一般是左右觀察，根據(jù)以上兩個(gè)條件求出每一次運(yùn)送的袋數(shù)，而對于130÷4，四年級的學(xué)生只會有余數(shù)的除法，不會用分?jǐn)?shù)表示，所以這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生對以上信息進(jìn)行觀察并得出：8次是4次的2倍，所以8次運(yùn)的袋數(shù)也是130的2倍，問題迎刃而解，為后面高年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題找量率對應(yīng)關(guān)系做好鋪墊。

如：一輛汽車從甲地開往乙地，已經(jīng)行了20千米，這時(shí)距離中間還有，這條路全程多少千米？求解這類題的關(guān)鍵是找單位“1”，然后找到量和量所對應(yīng)的分率，但學(xué)生在理解稍復(fù)雜的題目時(shí)有困難，不清楚距離中間還有六分之一是指誰是誰的六分之一，即單位“1”是誰，所以很多學(xué)生通常列算式：20÷（1-）。怎樣讓學(xué)生更明白題意，找到量率的對應(yīng)關(guān)系呢？其實(shí)在理解題意的基礎(chǔ)上完全可以通過列提綱的辦法把問題從提綱中反映出來。通過左右觀察分析數(shù)量關(guān)系，把具體數(shù)量與分率的對應(yīng)關(guān)系正確地表示出來（如圖8），求出單位“1”（即路程的一半），解決問題也就完成了一半，這樣遠(yuǎn)比單純地看題分析解題思路要容易得多。

四、合理化示圖，簡化思維，提高學(xué)生靈活解題的能力

畫圖的目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖描述和分析問題的過程，感受圖形直觀在描述和分析問題過程中的作用，發(fā)展幾何直觀能力，幫助學(xué)生分析和理解題目中的數(shù)量關(guān)系，找到解決問題的思路。如果學(xué)生看了題目就能理解題意，可能不需要畫圖，但當(dāng)題中數(shù)量關(guān)系相對復(fù)雜時(shí)，采用合理的示圖方式能便于學(xué)生理解和分析問題。如教材四（上）思考題：用一個(gè)杯子向空水壺里倒水，如果倒入3杯水，連壺重740克，如果倒入五杯水，連壺重980克，每杯水重多少克？在實(shí)際教學(xué)中，筆者只畫了如圖9所示的示意圖，對于一些理解能力較好的學(xué)生來說，找到題中的對應(yīng)關(guān)系并非難事，但對于一小部分理解能力較差的學(xué)生來說，仍不能馬上找出題中的等量關(guān)系。后來筆者把示意圖重新進(jìn)行了調(diào)整（如圖10），從圖示中很容易看出980-740=240克，這個(gè)相差的量就是2杯水的重量，找出題中的關(guān)鍵點(diǎn)后，后面的問題就能迎刃而解了。

運(yùn)用畫線段圖的手段確實(shí)能簡明扼要地反映題中的數(shù)量關(guān)系，使思維更加清晰，不過在教學(xué)過程中，教師也要根據(jù)題中不同的數(shù)量關(guān)系靈活采用不同形式的畫法。例如四下教材第54頁第11題：甲、乙兩地相距495千米，一輛汽車從甲地開往乙地，已經(jīng)行了3小時(shí)，剩下的路程比已經(jīng)行的多45千米，這輛汽車的平均速度是多少千米/時(shí)？教材是按事情發(fā)展的順序用一條線段表示了已行的和剩下的兩部分（圖11左），畫這樣的線段圖對于部分學(xué)生來說，仍然很難找到解題的思路，如果改為右圖，用兩條線段分別表示已行的和剩下的，強(qiáng)調(diào)比較的方式，學(xué)生可以直觀地看到“已行的”增加一部分或“還剩的”減少一部分就能使兩個(gè)數(shù)量變得相等，進(jìn)而更容易獲得解題方法。

又如四（上）數(shù)學(xué)報(bào)習(xí)題：（年齡問題）老師對小亮說：“我像你那么大時(shí)，你才1歲?！毙×琳f：“我長到您這么大時(shí)，您已經(jīng)43歲了?！蹦阒佬×梁屠蠋煬F(xiàn)在各是多少歲嗎？此類較復(fù)雜的年齡問題，如果采用多線式線段圖（如圖12）來表示數(shù)量關(guān)系，對于學(xué)生來說，解題仍有一定困難，這就需要教師靈活采用符合學(xué)生理解水平的線段圖，把本題改為單線式線段圖（如圖13）幫助學(xué)生分析。通過線段圖，我們清晰地看到43歲與1歲之間整整有三個(gè)年齡差，即用（43-1）÷（4-1）=12歲就能求出兩人的一個(gè)年齡差，那么現(xiàn)在小亮的年齡就是1+12=13歲，現(xiàn)在老師的年齡就是13+12=25歲。

再如四下（如圖14）：下面的長方形被分成兩部分，已知陰影部分的面積比空白部分的面積大20平方厘米，求陰影部分的面積是多少平方厘米。題中的示意圖不能清楚地表示出這兩個(gè)量之間的相差關(guān)系，但如果轉(zhuǎn)化成線段圖，學(xué)生很容易就能找到解題的共性，拓展思維，使問題得以順利解決。

應(yīng)該說，這樣的問題對于學(xué)生領(lǐng)悟畫圖對分析和解決問題的價(jià)值是有很好的促進(jìn)作用的。再如：小林用壓歲錢的一半買了一個(gè)語言復(fù)讀機(jī)，又用余下的錢的一半多2元買了幾本課外書，這時(shí)還剩下148元，小林一共有多少壓歲錢？此類題型可以通過畫圖理清題意后再用列提綱的方法來表示壓歲錢的變化過程（如圖15），即由數(shù)轉(zhuǎn)化為形，再從形轉(zhuǎn)化成數(shù)。數(shù)與形的結(jié)合，明確顯示出已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系，激活了學(xué)生的解題思路，這是以形助數(shù)運(yùn)用的極致，實(shí)現(xiàn)了形象思維與抽象思維的互補(bǔ)。如果針對該類題型采用列提綱法，則對以后高年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題起到不可估量的作用。

從以上幾個(gè)例子可以得出，我們在中年級的教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生合理畫圖，能讓學(xué)生充分感受到合理示圖利于理清關(guān)系，靈活解決問題，提升能力。

五、拾補(bǔ)

上面筆者就中年級出現(xiàn)的題型借助畫線段圖、示意圖或列提綱的方法，巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，把抽象的語言轉(zhuǎn)化位具體形象的圖形，化難為易、化繁為簡，快速解決實(shí)際問題，發(fā)展了學(xué)生的思維。數(shù)形結(jié)合不僅是一種重要的思想方法，更是中年級解決實(shí)際問題的有效手段與方法，雖然此思想在教材中并未明確指出，但對學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和知識的應(yīng)用有深遠(yuǎn)的影響。當(dāng)然，除了以形助數(shù)，到了高年級還可以由數(shù)思形，如對之類的計(jì)算也完全可以用畫正方形的辦法來解決，真正做到數(shù)形轉(zhuǎn)化。特別是在新課程改革背景下，教師更應(yīng)將此思想貫穿其中，正如美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩所說：如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。