貫注方法引導(dǎo) 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

史阿蘭

摘 要：數(shù)學(xué)教師需要具備這樣的能力，能夠把學(xué)生內(nèi)心的想法真正引導(dǎo)出來(lái)，幫助學(xué)生生成恰當(dāng)?shù)慕忸}過(guò)程。“啟發(fā)性”是衡量教師教學(xué)水平的重要方面。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，面對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的回答或解題時(shí)，教師應(yīng)幫助學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤原因進(jìn)行研究和分析，找出問(wèn)題所在，貫注方法引導(dǎo)，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維、發(fā)散性思維、邏輯性思維。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；方法引導(dǎo)；學(xué)生思維

中圖分類號(hào)：O226文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）11-0072-02

教師給學(xué)生示范正確的解題過(guò)程固然重要，但教師在分析學(xué)生解題思路的基礎(chǔ)上，結(jié)合教學(xué)重難點(diǎn)，對(duì)解題方法進(jìn)行引導(dǎo)，使學(xué)生能動(dòng)地生成恰當(dāng)?shù)慕忸}過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的思維能力就更為重要了。學(xué)生的錯(cuò)誤解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，充分挖掘利用，可以使教學(xué)思路清晰同時(shí)使學(xué)生對(duì)題目有充分的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)思維能力有所提高。本文通過(guò)一道運(yùn)動(dòng)討論試題的解答為例來(lái)做些研究與反思。

題目（蘇科版《義務(wù)教育教科書，數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)試題）：如圖1，已知AB∥CD，C在D的右側(cè)，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點(diǎn)E，∠ADC=70°.（1）則∠EDC的度數(shù)為；（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；（3）將線段BC沿DC方向平移，使得點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，其他條件不變，若∠ABC=n°，求∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）。

一、引導(dǎo)鼓勵(lì)，探尋答案的多種可能

問(wèn)題（1）比較容易，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知∠EDC=12∠ADC=35°。問(wèn)題（2）可以用三角形內(nèi)角和以及對(duì)頂角的知識(shí)來(lái)解決，抓住∠EBC+∠BED=∠EDC+∠BCD，求得∠BED=12n°+35°；或者過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，即可得到AB∥CD∥EF，結(jié)合平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，即可求出結(jié)果。在問(wèn)題（3）的解答中，發(fā)現(xiàn)班里有位同學(xué)是分兩種情形進(jìn)行思考的：

情形一：如圖2，∠BED=∠EDF+∠EFD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EDF=12∠ADC=35°，∠ABF=12∠ABC=12n°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFD=180°-∠ABF=180°-12n°，所以∠BED=35°+180°-12n°=215°-12n°。

情形二：如圖3，∠BED=∠BFC-∠FDE，由角平分線的性質(zhì)，可得∠ABF=12∠ABC=12n°，∠GDC=12∠ADC=35°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，∠BFC=∠ABF=12n°，因?yàn)椤螰DE=∠GDC，所以∠FDE=35°，所以∠BED=12n°-35°。

第三小題是一道運(yùn)動(dòng)討論問(wèn)題，這類題是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析幾何圖形的變化規(guī)律。通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，帶動(dòng)圖中一些元素（點(diǎn)、線、角等）發(fā)生變化。這類題綜合了函數(shù)、方程、不等式等方面知識(shí)，蘊(yùn)含著分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)方法。運(yùn)動(dòng)討論問(wèn)題對(duì)學(xué)生的思想能力要求比較高，需要學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程做整體分析。這位同學(xué)分兩種情形進(jìn)行分析，探尋答案的多種可能，首先是要鼓勵(lì)的。當(dāng)學(xué)生從多種角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析時(shí)，對(duì)這道題的認(rèn)識(shí)會(huì)越來(lái)越深刻。做一道題，不僅是鞏固題中包含的知識(shí)方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。雖然這位同學(xué)的解答最終是扣分的，但是這種解題思路還是值得鼓勵(lì)的，這種探究精神以及體驗(yàn)成功的愿望是值得尊重的。反思這道題做錯(cuò)的原因，更是讓教與學(xué)都有收獲，學(xué)生的思維得到了鍛煉，教師的教學(xué)有了著力點(diǎn)。

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教會(huì)學(xué)生解題，更重要的是貫注方法引導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。方法引導(dǎo)首先是尊重學(xué)生的思路、方法，無(wú)論正確與否，都是一種思考，有了思考，數(shù)學(xué)思維就得到鍛煉。與此同時(shí)，教師能夠了解教與學(xué)的效果，改進(jìn)教學(xué)方式，思考如何給予方法引導(dǎo)。為了讓教學(xué)更順暢而撇開學(xué)生的想法，學(xué)生的想法將得不到鼓勵(lì)，學(xué)習(xí)會(huì)少了份動(dòng)力。在課堂上如果學(xué)生的思路一時(shí)半會(huì)兒難說(shuō)清楚，我們?cè)谡n后也須要一同分析，這是對(duì)數(shù)學(xué)思維的尊重，也是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的途徑。尊重之后再談方法引導(dǎo)，不然不會(huì)知道哪走偏了，也就不會(huì)知道如何引導(dǎo)。

如何才能調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性，首先想到的可能是“你說(shuō)我聽”，耐心聽學(xué)生的思路，無(wú)論學(xué)生想到哪我都尊重著聽，可是這也會(huì)和課堂效率有矛盾，畢竟數(shù)學(xué)課堂時(shí)間是有限的。所以數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)該做些有意義的事情，尊重并不等于隨便說(shuō)。要真正的調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性，關(guān)鍵還在于當(dāng)學(xué)生的思路出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)教師如何引導(dǎo)讓學(xué)生的思路得以完善，在于當(dāng)學(xué)生一點(diǎn)主意都沒(méi)有時(shí)教師如何引導(dǎo)讓學(xué)生逐漸想到些什么。尊重的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題。

二、認(rèn)清變量，明確分類討論的依據(jù)

分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中經(jīng)常需要分類討論。數(shù)學(xué)中的分類包含了數(shù)的分類、圖形的分類、代數(shù)式的分類、函數(shù)的分類等。在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，會(huì)因?yàn)樽兞康娜≈挡煌鴮?dǎo)致結(jié)果不同，這時(shí)需要進(jìn)行分類討論。在運(yùn)用分類思想進(jìn)行分類討論時(shí)，要根據(jù)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律，認(rèn)清運(yùn)動(dòng)討論問(wèn)題中隱含的變量，對(duì)問(wèn)題結(jié)論進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究，得出結(jié)論。培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般、運(yùn)動(dòng)變化等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫有序。認(rèn)清變量，是做到對(duì)此類問(wèn)題分類討論時(shí)不重復(fù)、不遺漏的基礎(chǔ)。

例題中學(xué)生想到了第二種情形，是因?yàn)樗羞\(yùn)用分類討論思維方法的意識(shí)，∠ABC的平分線與∠ADC的平分線的交點(diǎn)好像不一定在兩條平行線之間，情形二好像可以存在。在這里就要引導(dǎo)他認(rèn)清題中的變量。圖形是給定的，題中∠ADC=70°是給定的，兩條平行線之間的距離是給定的，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)是給定的，線段BC的斜率也是給定的，那么，在平移BC的過(guò)程中，我們要考慮的變量就只剩點(diǎn)B與點(diǎn)A之間距離這一變量。能夠推翻情形二最直截了當(dāng)?shù)姆椒ㄊ强碅D與BE的斜率，也就是看∠ABE的大小有沒(méi)有大于70°，如果大于70°，射線BE就不會(huì)與線段AD相交。而題中平移后∠ABC的度數(shù)不變大約150°，所以∠ABE大于70°，情形二不會(huì)出現(xiàn)。

參考答案就是情形一這一種情況，但是我們繼續(xù)研究點(diǎn)B與點(diǎn)A之間距離這一變量可以發(fā)現(xiàn)雖然學(xué)生解題中的情形二不會(huì)出現(xiàn)，但是當(dāng)點(diǎn)B繼續(xù)向右移動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)圖4這種情形，此時(shí)∠BED=∠ABF-∠EGB=12n°-35°。借助幾何畫板我給學(xué)生做了演示，然后我變動(dòng)兩條平行線之間的距離進(jìn)一步探索了這道題的奧秘。認(rèn)清主導(dǎo)圖形運(yùn)動(dòng)的變量，找到使問(wèn)題發(fā)生質(zhì)變的節(jié)點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、探究，層層深入，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力以及抽象概括能力。

順著學(xué)生的思路，我對(duì)題目本身的嚴(yán)密性有了質(zhì)疑，比如直線BC的斜率應(yīng)該有個(gè)范圍，也就是說(shuō)圖中n應(yīng)該是有范圍的；順著學(xué)生的思路，我們糾正了錯(cuò)誤得到了新的情形；順著學(xué)生的思路，我們?cè)黾恿俗兞?，一起玩起?lái)。

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，厘清問(wèn)題中的變量，找準(zhǔn)引起分類的原因，列出所有可能的情況，再一一求解，最后對(duì)求解做出歸納。在日常教學(xué)中訓(xùn)練數(shù)學(xué)分類討論思想，首先應(yīng)當(dāng)是靜下心來(lái)分析問(wèn)題的變量，摸索由量變到質(zhì)變的過(guò)程。

三、以靜制動(dòng)，注意前后方法的類比

類比法是通過(guò)對(duì)某一事物的認(rèn)識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)與它在某方面具有相似屬性的另一事物。相似的兩道題他們的解題思路可能也會(huì)相似，那么由特殊情況拓展到一般情況的題目，其中的解題方法往往是類似的。類比這一推理方法可以使我們的思路清晰，提高解題效率。例題中的第（3）小題也可以像第（2）小題那樣過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，利用平行線的性質(zhì)來(lái)求解。思路：如圖5，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以EG∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BEG+∠ABE=180°，∠GED=∠EDF，所以∠BEG=180°-∠ABE=180°-12n°，∠GED=12×70°=35°，于是∠BED=∠BEG+∠GED=180°-12n°+35°=215°-12n°。

數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)過(guò)：類比和歸納一樣，是探索數(shù)學(xué)真理、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的主要工具之一。運(yùn)動(dòng)討論問(wèn)題給人的感覺就是復(fù)雜，我們需要以靜制動(dòng)，觀察每種狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系以及解題方法的相似性。鎖定我們需要考慮的元素，撇開一些干擾的元素，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

要進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)題，它的每一種情形在求解上往往有著很多的相似之處。注重方法的類比，可以使解答方便。這就需要我們引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)有意識(shí)的去歸納總結(jié)。

四、獨(dú)立思考，著重讀題能力的提高

鏈接中考，越來(lái)越注重學(xué)生讀題能力，從題目中提煉出有用信息和關(guān)鍵信息，甚至從題目中讀懂解題方法。作為數(shù)學(xué)教師，交給學(xué)生最重要的是數(shù)學(xué)思維方式。讓學(xué)生自己獨(dú)立思考，是獲得數(shù)學(xué)思維方式的重要途徑，是培養(yǎng)理性、務(wù)實(shí)、邏輯性強(qiáng)等品質(zhì)的方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，獨(dú)立思考就是從讀題開始的。我們經(jīng)常碰見學(xué)生在做應(yīng)用題時(shí)沒(méi)經(jīng)過(guò)思考就把題目中出現(xiàn)的阿拉伯?dāng)?shù)字通過(guò)運(yùn)算符號(hào)串聯(lián)起來(lái)，這正是沒(méi)有好好讀題，忽略了好好讀題，是因?yàn)槿狈Κ?dú)立思考的經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)獨(dú)立思考，我們發(fā)現(xiàn)案例中的題目注重的是圖形的內(nèi)涵和拓展，只是在問(wèn)題的呈現(xiàn)方式上有一些不嚴(yán)密。在后期的學(xué)習(xí)中，有一天學(xué)生拿著一道題目欣喜地跑到我身邊，這是一道和案例中類似的題，而出題人給定了一幅圖，在題目中加了“如圖”二字，將題目限定在“情形一”中，比較妥當(dāng)。我和學(xué)生看到這“如圖”二字很是觸動(dòng)，因?yàn)槲覀儶?dú)立思考過(guò)了，我們真正讀懂了這道題，感覺和出題人找到了共鳴。

引導(dǎo)鼓勵(lì)，探尋答案的多種可能；認(rèn)清變量，明確分類討論的依據(jù)；以靜制動(dòng)，注意前后方法的類比；獨(dú)立思考，著重讀題能力的提高。在教學(xué)過(guò)程中，貫注方法引導(dǎo)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)態(tài)度。

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)桃源中學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1：8-9.

[2]吳海華.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2008.28（3）：95-97.

[3]何念如.類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006.20（1）：13-15.