“列方程解決實際問題”教學(xué)中的建模

胡嫻

【摘 要】方程是從現(xiàn)實生活到數(shù)學(xué)的一個提煉過程，一個用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實生活中的特定關(guān)系的過程。方程思想的核心在于建模。對五年級的學(xué)生來說，他們解應(yīng)用題習(xí)慣了用算術(shù)方法，若要突然地插入改變這種習(xí)慣的新方法，必須讓他們感受到這種新方法的優(yōu)越性。從這個意義上來說，滲透代數(shù)模型的思想，體會用方程解題的優(yōu)越性，應(yīng)當(dāng)是初學(xué)列方程解決實際問題的重心。

【關(guān)鍵詞】列方程解決實際問題；建模思想；算術(shù)方法；方程方法；代數(shù)模型

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）01-0006-03

列方程解決實際問題是小學(xué)數(shù)學(xué)五年級教學(xué)內(nèi)容之一，是構(gòu)建代數(shù)模型的啟蒙?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)，方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型。因此，列方程解決實際問題不僅僅是為了解題，更重要的是數(shù)學(xué)建模思想的滲透。

一、思維定式，算術(shù)方法“順理成章”

通過課堂教學(xué)實踐，筆者發(fā)現(xiàn)對于剛剛接觸方程的五年級學(xué)生來說，選擇用方程解決實際問題并非易事。

【案例】在學(xué)習(xí)蘇教版五年級第一單元例7“列一步計算方程解決實際問題”后，完成書P11第2題：

學(xué)生毫不猶豫地用算式：36+16算出答案。

在學(xué)習(xí)蘇教版五年級第一單元例8“列兩步計算方程解決實際問題”后，完成書P11第7題：

難度加大了，但仍有學(xué)生用綜合算式：（110-20）÷2算出答案。

【分析】是孩子們沒有學(xué)懂？還是由于思維定式的影響，用算術(shù)方法“順理成章”？通過與孩子們交流以及和同事們的討論，筆者認識到列方程解決實際問題是在學(xué)生掌握用算術(shù)方法解決問題，初步學(xué)會解簡易方程的基礎(chǔ)上教學(xué)的。小學(xué)階段運用列方程解答的問題一般都不太復(fù)雜，學(xué)生多半能用算術(shù)方法解決，列方程解題步驟多、書寫麻煩，感覺很煩瑣，所以不喜歡、不習(xí)慣用。

二、滲透建模，體會方程解題的優(yōu)越性

張奠宙先生打過一個比方，如果將要求的答案比喻為在河對岸的一塊寶石，那么算術(shù)方法好比是摸著石頭過河：從我們知道的岸邊開始，一步一步摸索著接近要求的目標(biāo)；代數(shù)方法卻不同，好像是將一條帶鉤的繩子甩過河，鉤住對岸的未知數(shù)（建立了一種關(guān)系），然后利用這根繩子（關(guān)系）慢慢地拉過來，最終獲得這塊寶石。兩者的思維方向相反，但是結(jié)果相同。學(xué)生初學(xué)列方程解題時，容易受到列算式解題的思維定式影響。因此，教學(xué)時要注意引導(dǎo)學(xué)生克服思維定式，滲透建模思想，使其體會用方程解題的優(yōu)越性。

1. 合理設(shè)問

要使學(xué)生對“新方法”——方程的優(yōu)越性有親身感受，合理的問題設(shè)計很重要。一開始可以設(shè)計一些需要逆向思考的問題，如：張大爺用 420 米的籬笆圍一塊長方形的菜地，如果這塊菜地的長是 70 米，那么寬是多少米？這題和以往告知長和寬要求周長的題目不同，是需要逆向思維的，這在一定程度上迫使學(xué)生積極思考：列算式解題時，未知數(shù)始終作為一個“目標(biāo)”，不參與列式，并在腦中進行數(shù)量關(guān)系的變換，因而造成列式上的煩瑣。而列方程解題打破了列算式時只能用已知數(shù)“長” 和“周長”的限制，可以根據(jù)需要用字母表示未知數(shù)“寬”，根據(jù)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系，列出含有未知數(shù)的等式（即方程），題目中怎樣敘述就怎樣列式，一般不需逆思考。因此，列方程要比列算式思考起來更便捷，有更多的優(yōu)越性。

2. 滲透感悟

列方程解決實際問題的重點是根據(jù)題目中數(shù)量之間的相等關(guān)系，運用符號語言建立數(shù)學(xué)模型——方程，這需要有一定的知識基礎(chǔ)，比如：多邊形面積公式。書中出現(xiàn)了這樣的習(xí)題：

在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生很順利地用長方形、正方形面積、周長公式列方程解決了。但對學(xué)生而言，不論用方程還是算術(shù)方法都很簡單，并不能立刻感受方程的優(yōu)越性。所以，接著教師設(shè)計了下面這組題：

先請學(xué)生自由選擇解法，再比較利用面積公式列方程求高和用算術(shù)方法求高，讓學(xué)生感受到用算術(shù)方法解題，每一步都要進行具體分析并給出合理的解釋，難度大且易出錯。而一旦將未知量用字母表示并和已知量一樣參加運算，就很容易建立方程，逆向思維的過程被解方程的程式化步驟所替代，無須“步步為營地逼近未知量”，只要理順題中已知量與未知量的關(guān)系，用字母代替未知量即可，思維難度大大降低。這樣，使方程思想進一步滲透到學(xué)生的知識體系中，讓學(xué)生感悟到方程解題的必要性和優(yōu)越性。

3. 體會優(yōu)越

列方程解決實際問題存在著共同的本質(zhì)——尋找等量關(guān)系，建立方程模型，這其中蘊涵了數(shù)學(xué)建模的思想。課堂教學(xué)中，教師要緊扣這一數(shù)學(xué)思想進行滲透，讓學(xué)生體會方程解題的優(yōu)越性。如，下面這一組題：

①甲乙兩車同時從相距 480千米的兩地出發(fā)，相向而行，甲車的速度是90千米/小時，乙車的速度是70千米/小時。經(jīng)過幾小時后兩車相遇？

②甲乙兩車同時從相距 480千米的兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過3小時相遇。甲車的速度是90千米/小時，乙車的速度是多少？

③甲乙兩車同時從同一地點出發(fā)，相背而行，甲車的速度是90千米/小時，乙車的速度是70千米/小時。幾小時后兩車相距 800 千米？

這組題目都是關(guān)于行程問題的，解決這一類問題，思考時要緊扣行程問題的基本數(shù)量關(guān)系：速度和×?xí)r間=總路程，來建立模型、列出方程。通過對比和討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論題目中的條件有多么復(fù)雜，用方程解決這類問題只需要一個等量關(guān)系，思考起來比用算術(shù)方法簡單得多。這樣，在研究的過程中，學(xué)生對列方程解決問題的優(yōu)越性有了更深入的體會。

三、鞏固模型，適當(dāng)比較算術(shù)方法和方程方法

在教師反復(fù)強調(diào)方程解法的優(yōu)越性后，又出現(xiàn)了一個新狀況：學(xué)生會不加選擇地見題目就用方程來解決。所以，教學(xué)時教師不僅要通過比較讓學(xué)生體會列方程解題的優(yōu)越性，還要引導(dǎo)其感悟分別在什么情況下選擇哪種解法更簡便，從而培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體情況靈活選用解題方法的能力。

【案例】在學(xué)習(xí)蘇教版五年級第一單元例8“列兩步計算方程解決實際問題”后， “鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)”可設(shè)計這樣一道題目：

銀杏樹的棵數(shù)比楊柳樹的3倍多40棵。

（1）銀杏樹有100棵，楊柳樹有多少棵？

師：誰來說說銀杏樹和楊柳樹之間的數(shù)量關(guān)系？

生：楊柳樹的棵數(shù)×3+40=銀杏樹的棵數(shù)。

① 學(xué)生獨立解題

解：設(shè)楊柳樹有X棵

3X+40=100

3X=100-40

3X=60

X=20

答：楊柳樹有20棵。

② 全班交流解法及依據(jù)（略）

師：是不是所有的應(yīng)用題都適合列方程解決呢？（出示下一問）

（2）楊柳樹有20棵，銀杏樹有多少棵？（用你認為簡單的方法做）。

① 獨立解題

② 反饋學(xué)生答案：

生1： 解：設(shè)銀杏樹有X棵

X-40=20×3

生2： 解：設(shè)銀杏樹有X棵

X-20×3=40

生3： 20×3+40=100（棵）

③ 比較一：

師：這一問用方程簡單還是用算術(shù)方法簡單？為什么？

生：用算術(shù)方法簡單，因為楊柳樹的棵數(shù)知道了，順著數(shù)量關(guān)系式，可以直接求出銀杏樹的棵數(shù)。

④ 比較二：

師：（1）（2）這兩題為什么一個適合用方程，一個適合用算術(shù)？是不是所有的應(yīng)用題都適合列方程解決呢？

生：第（1）題楊柳樹的棵數(shù)不知道，我們用未知數(shù)X代替，根據(jù)數(shù)量關(guān)系：楊柳樹的棵數(shù)×3+40=銀杏樹的棵數(shù)，可以很順暢地列出方程，思考起來比較方便。第（2）題楊柳樹的棵數(shù)知道了，順著數(shù)量關(guān)系式，可以直接求出銀杏樹的棵數(shù)。

總結(jié)提升：我們在解決問題時，要順著數(shù)量關(guān)系，具體題目具體分析，靈活選擇方法。

【分析】在鞏固列方程解題的練習(xí)中，筆者有意設(shè)計了第（2）問，讓學(xué)生自己嘗試用算術(shù)方法或方程方法來解，通過比較逐步分清兩種解法的思路有什么不同，并能根據(jù)題目不同特點，靈活選擇解法。一般來說，順向思維的題目宜用算術(shù)方法；逆向思維的題目宜用方程方法。當(dāng)然，要讓學(xué)生領(lǐng)會這些不是一蹴而就的，也并非一個單元的教學(xué)就能形成。教師不宜操之過急，應(yīng)當(dāng)作為長期目標(biāo)有意識地滲透在平時的教學(xué)實踐中，畢竟方程思想的建立是一個長期的、不斷深化的過程，學(xué)生也需要一個慢慢領(lǐng)悟的過程。

新版教材中將原來用分?jǐn)?shù)除法解決問題改成用方程解決，其意圖不言而喻。教材更多地引導(dǎo)學(xué)生順向思考，按事情發(fā)展的順序陳述數(shù)量關(guān)系，從單一的數(shù)量關(guān)系到復(fù)合的數(shù)量關(guān)系，突出了分析過程，強化了建模的要求，揭示了方程思路的優(yōu)越性。對五年級的學(xué)生來說，解應(yīng)用題習(xí)慣了用算術(shù)方法，若要突然地插入改變這種習(xí)慣的新方法——方程，必須讓他們感受到這種新方法的優(yōu)越性。從這個意義上來說，滲透代數(shù)模型的思想，用建模的方式指導(dǎo)列方程解決實際問題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從解題走向建模至關(guān)重要。

（組稿：韋波富 編輯：胡 璐）