代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

陳泓諭

【摘 要】高中數(shù)學(xué)是學(xué)業(yè)任務(wù)繁重的高中生最為頭疼與難學(xué)的科目。在老師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，尋找高效快捷簡單的解題方法的是 “教”和“學(xué)”的重中之重。代換法是高中數(shù)學(xué)解題中常用的一種簡化數(shù)學(xué)題的解題方法，可以提高學(xué)生的解題效率，降低出錯(cuò)率。

【關(guān)鍵詞】代換法；高中數(shù)學(xué)；簡化

數(shù)學(xué)這門學(xué)科的發(fā)展與人類思維的進(jìn)步有著很密切的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以很好地鍛煉人的思維能力。學(xué)生的思維能力越強(qiáng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也就越容易。高中學(xué)生的學(xué)業(yè)任務(wù)繁重，每天還吸收很多知識，還要完成老師布置的學(xué)業(yè)任務(wù)。對大部分高中學(xué)生來說，在高中的幾門學(xué)科中，高中數(shù)學(xué)是最為難學(xué)的。高中數(shù)學(xué)老師在教學(xué)的過程中，要盡自己所能去培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，多為學(xué)生傳授簡單有效地解題方式。在這種教學(xué)方式過程中，帶領(lǐng)學(xué)生將高中數(shù)學(xué)題逐個(gè)理清題意，分析題干，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)題簡單化。這樣學(xué)生不僅可以鍛煉自己的思維能力，還可以建立獨(dú)立解決高中數(shù)學(xué)題的信心。將復(fù)雜的數(shù)學(xué)題簡單化的解題方法有很多種，比如：配方法，代換法、待定系數(shù)法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等等。本文將重點(diǎn)介紹代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

一、代換法概論

使用代換法解高中數(shù)學(xué)題的初衷，就是將復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)題，進(jìn)而進(jìn)行求解。在一些復(fù)雜難懂不易解決的數(shù)學(xué)題中，往往存在著至少兩個(gè)條件是沒有給出的。在解決這種數(shù)學(xué)題中，需要自己先根據(jù)已知的條件，結(jié)合自己學(xué)過的數(shù)學(xué)公式與定理，再根據(jù)這兩者之間的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行一定地轉(zhuǎn)化，也就是將題中的變量之間的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而使得此數(shù)學(xué)題中的問題變成另一種簡單的問題，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜難解決的數(shù)學(xué)題的簡單化。代換法可以細(xì)分為許多種方法，有函數(shù)代換法、等量代換、不等量代換法、變量代換法、三角函數(shù)代換法等等。

使用代換法進(jìn)行解題的過程中，有些方面是值得學(xué)生注意的。在使用代換法的過程中，學(xué)生的思維不要只向一個(gè)方向想，是需要發(fā)散的，是全方位的，從一個(gè)個(gè)點(diǎn)形成一整個(gè)面。在使用代換法的過程中，首先需要牢牢地固定住自己的思維中心，而且自己的思維中心不能受到數(shù)學(xué)問題的影響而產(chǎn)生動搖。牢固自己的思維中心，然后思維從中心發(fā)散開。在使用代換法的過程中，不能想著僅僅依靠代換法。在必要的同時(shí)，多于其他的數(shù)學(xué)解題法相結(jié)合，使問題變得更加簡單，直觀。

二、代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）三角函數(shù)代換法

三角函數(shù)代換法就使用正確的三角代換，用三角函數(shù)來表示原數(shù)學(xué)題中的代數(shù)關(guān)系，這樣從原來代數(shù)式的證明或者求解的問題轉(zhuǎn)換為三角表達(dá)式的證明或者運(yùn)算。這樣數(shù)學(xué)題就變得比較簡單，容易解決。

如：設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是 。

分析與求解：這一道求解最值的問題，題中存在一條明確的二次方程的已知條件，如果直接求解難度比較大，可以試用一下，三角函數(shù)代換法，將題中的條件和問題轉(zhuǎn)化一下，可能不能簡單化，再進(jìn)行下一步求解。題中的唯一條件是4x2+y2+xy=1，是一個(gè)二次方程，可以將這個(gè)二次方程進(jìn)行一定程度地變形簡化，寫成（a+b）2+c2=d形式的，即，也就是。將括號中的式子2x+y/4看成一個(gè)整體，然后用三角函數(shù)進(jìn)行代換，即令2x+y/4=cosθ，=sinθ，這樣就形成了新的等式。然后再進(jìn)行變形，用cosθ和sinθ相結(jié)合來表示x與y，經(jīng)過運(yùn)算變形，可以得y= sinθ，2x= cosθ- sinθ 。原數(shù)學(xué)題需要求的是2x+y的最大值，則2x+y= cosθ- sinθ+sinθ=，然后再進(jìn)行變形，提出，得×（cosθ+sinθ ），再將括號中的式子利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行合并變形，得到 sin（θ+φ），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，sin∝是小于等于1的，所以可得sin（θ+φ）≤=。因此原數(shù)學(xué)題的答案就是。

總結(jié)：這道求解極值的數(shù)學(xué)題，原題中只給了一個(gè)二元一次方程的已知條件，直接解題的難度很大，不容易得到答案，求這種最值的問題，一般是用三角函數(shù)將原題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行變形代換，利用三角函數(shù)的有界性，進(jìn)行三角函數(shù)運(yùn)算的方法解題，這樣就簡化了這種難以下手的數(shù)學(xué)題。

（二）變量函數(shù)代換法

變量函數(shù)問題的求解在高中數(shù)學(xué)題中是一個(gè)難點(diǎn)。這類題型中，大多數(shù)的題都是等式或者不等式，學(xué)生需要利用題中的條件來得到某些函數(shù)值。由于函數(shù)本身就是抽象的，這類題對于學(xué)生來說，具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，非常復(fù)雜難解。高中學(xué)生在解這種題的過程中，經(jīng)常被題中負(fù)責(zé)抽象的條件和問題搞得暈頭轉(zhuǎn)向，無從下手，毫無頭緒。

如題：f（lnx）設(shè)=1-x，求f（x）。

分析與求解：這道題目看似非常簡單明了，但是卻令很多學(xué)生無從下手，原因就是因?yàn)閒（lnx）包含lnx，本身lnx，就是一種函數(shù)，f（lnx）是函數(shù)中套著函數(shù)，而且f（lnx）這種雙重函數(shù)卻是一條直線，這就讓學(xué)生感到很難理解，不知道怎么進(jìn)行求解。學(xué)生有這種想法，就不知不覺進(jìn)入了一個(gè)誤區(qū)，這種誤區(qū)的產(chǎn)生，就是過分地關(guān)注f（lnx）的性質(zhì)，而忽略了f（lnx）與f（x）之間的聯(lián)系與相似之處，這種聯(lián)系與相似之處，恰恰就是解這道數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵之處。首先觀察這道題中已知條件與問題的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)f（lnx）和f（x）是相似的，是一種類型的函數(shù)。只是其中的變量不同，f（lnx）的變量是lnx，f（x）的變量是x。題中給出的已知條件是f（lnx ）=1-x，可以使用變量函數(shù)代換法，進(jìn)行變量代換，再利用題中的已知條件f（lnx ）=1-x，對題中f（lnx）的表達(dá)式進(jìn)行變形，就可以求得f（x）的表達(dá)式?？梢宰宼=lnx，然后用t來表示x，即x=et，再利用該關(guān)系等式將題中的已知條件進(jìn)行變形，得到f（t）=1-et，由于t是變量，可以用任何符號來表示，即f（x）=1-et。這樣就很輕松地解決了這道看似很難的數(shù)學(xué)題。

總結(jié)：這種已知條件是雙重函數(shù)的表達(dá)式，問題是求單一函數(shù)的表達(dá)式或者已知條件是單一函數(shù)的表達(dá)式，問題是求雙重函數(shù)的表達(dá)式的題型，可以利用題中所給條件中的函數(shù)與所求問題的函數(shù)之間的聯(lián)系和相似性，使用變量函數(shù)代換法，進(jìn)行變量代換，就可以使得這種用常規(guī)解題方法難以解決的數(shù)學(xué)函數(shù)問題得以簡化求解。

（三）等量代換法

數(shù)學(xué)與我們息息相關(guān)，數(shù)學(xué)中對于概率問題的研究在我們實(shí)際生產(chǎn)和生活中的應(yīng)用非常廣泛，關(guān)系密切，所以高中數(shù)學(xué)有一部分知識是專門講解概率問題的。這一部分知識對于大部分學(xué)生來說不容易掌握，時(shí)常搞得自己暈頭轉(zhuǎn)向的。概率問題的學(xué)習(xí)目的在于培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，注重鍛煉學(xué)生做事情時(shí)的分類、分布與安排的能力。高中數(shù)學(xué)中的概率問題大部分研究的是古典概率的問題。對于這種概率問題的求解，有兩個(gè)非常關(guān)鍵的方面，一方面是求解一次實(shí)驗(yàn)可以得到多少種可能的結(jié)果。另外一方面是在某個(gè)事件中可能有多少種結(jié)果。這些問題的求解都涉及到一個(gè)很重要的解題方法：排列組合。在進(jìn)行排列組合的過程中，需要高度關(guān)注一個(gè)問題：不同的元素。不同元素的問題也就是個(gè)體之間是否存在區(qū)別的問題。個(gè)體之間是有區(qū)別的，那么就可以使用排列組合來解題，否則就不能使用排列組合的方法。

有一道題：有一家店進(jìn)行促銷活動，促銷的規(guī)則：“在一個(gè)盒子中放著10個(gè)乒乓球，上面寫著不同的號碼。這10個(gè)乒乓球中有2個(gè)黃球，8個(gè)白球。每位顧客一次從盒子中摸出兩個(gè)球。假如摸出2個(gè)黃球，就得到一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)品是價(jià)值為300元的該店購物卡……”

現(xiàn)在我們就計(jì)算顧客得到一等獎(jiǎng)的概率。因?yàn)楝F(xiàn)在每一個(gè)球都是不同的，有區(qū)別的，相同顏色的球可以根據(jù)球上不同的號碼進(jìn)行去唄，不同顏色的球就更是有區(qū)別的了，這樣就可以使用排列組合的方法來計(jì)算獲得一等獎(jiǎng)的概率。假設(shè)顧客得到一等獎(jiǎng)的概率是P（A），那么我們可以根據(jù)該店的促銷規(guī)則來計(jì)算出一等獎(jiǎng)的概率，顧客一次摸出兩個(gè)球，那么顧客一次從盒子中的兩個(gè)黃球中摸出兩個(gè)黃球是的排列組合是。盒子中有10個(gè)球，顧客一次從10個(gè)球中摸出兩個(gè)球的排列組合是。那么顧客獲得一等獎(jiǎng)的概率就是P（A）==。促銷活動持續(xù)了一段時(shí)間，由于活動的進(jìn)行，盒子中球上的號碼漸漸地被顧客擦去，但是你會發(fā)現(xiàn)顧客現(xiàn)在獲得一等獎(jiǎng)的概率P（B）與P（A）是相等的，因?yàn)榍蛏系奶柎a并不影響最后的結(jié)果，影響結(jié)果的是球的顏色。假如現(xiàn)在還想算出P（B），雖然相同顏色的球已經(jīng)不能再進(jìn)行區(qū)別了，但是由于P（B）=P（A），所以現(xiàn)在算出P（A），就可以得出現(xiàn)在顧客獲取一等獎(jiǎng)的概率。這是一種“等量代換”的思維，用這種思維來思考概率問題，可以抓住概率問題的關(guān)鍵，然后簡化復(fù)雜難以分析的高中概率問題。

（四）比值代換法

高中數(shù)學(xué)中有一部分知識是關(guān)于求解直線方程的，這一部分的知識計(jì)算量大，涉及到的定理與知識較多，而且題型多種多樣，不容易熟練地掌握。根據(jù)題中給出的已知條件或者題中所需要求的量與變量的比值有關(guān)系的時(shí)候，就可以考慮使用比值代換法進(jìn)行簡化。

如題：有一條直線經(jīng)過點(diǎn)（-3，5，9），而且和直線L1和L2相交，其中L1=y=3x+5 z=2x-3，L2=y=4x-7 z=5x+10，求這條直線的方程。

分析與求解：題中說明這條直線經(jīng)過點(diǎn)（-3，5，9），和直線L1/L2相交，然后給出了L1與L2的表達(dá)式，讓求這條直線的表達(dá)式。首先可以根據(jù)直線經(jīng)過的點(diǎn)將該直線的表達(dá)式初步寫出來：x+3/l=y-5/m=z+9/n，從這個(gè)表達(dá)式中可以看出x+3/l、y-5/m與z+9/n三者的比值相同，這個(gè)時(shí)候可以考慮用比值代換法，假設(shè)x+3/l=y-5/m=z+9/n=t，然后用含有t的式子來分別表示x，y，z，即x=-3+lt y=5+mt z=-9+nt，因?yàn)檫@條直線與L1和L2相交，題中給出了L1和L2的表達(dá)式，所以可以將x=-3+lt y=5+mt z=-9+nt帶入L1的表達(dá)式，得到：（m-3l）=1 n=2l。再次利用比值代換法，令x+3/l=y-5/m=z+9/n=s，然后用含有s的式子來分別表示x，y，z，即x=-3+ls y=5+ms z=-9+ns，將其帶入L2的表達(dá)式，得到：（m-4l）s=-24 （n-5l）s=4，再結(jié)合（m-4l）s=-24 （n-5l）s=4， 得到（m-4l）/（n-5l）=6，把n=2l 帶入到（m-4l）/（n-5l）=6中得到m等于22l，此時(shí)令l等于1，m就等于22，n就等于2，然后再將其帶入原公式，就可以得到想要求得的直線的方程：x+3=（y-5）/22=（z+9）/2。

這道題屬于求解直線方程中比較難的一種題型了。首先看到題中給出的已知條件中有通過一點(diǎn)，根據(jù)直線方程的性質(zhì)，就可以直到在初步列出直線方程后，可以得到三個(gè)式子的比值相同，這樣就可以考慮用比值代換法，本題的關(guān)鍵是利用了兩次比值代換法，實(shí)現(xiàn)題的簡化。

三、總結(jié)

高中數(shù)學(xué)是比較難學(xué)的一門課程，是多門學(xué)科的基礎(chǔ)。高中老師在教學(xué)和學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，都需要多使用簡單快捷的方法，這樣既降低了出錯(cuò)率，又使得教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果，代換法是高中數(shù)學(xué)中常用的簡化數(shù)學(xué)題的方法之一，其中的三角函數(shù)代換法、變量代換法、等量代換法與比值代換法可以分別使得學(xué)生更加容易地學(xué)習(xí)和解決最值問題、函數(shù)求解問題、概率問題和直線方程求解問題，這幾種問題是高中數(shù)學(xué)中較為難理解與掌握的問題，解決了這些，對于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和成績的提高有著很大的促進(jìn)作用。同時(shí)還可以增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)題的信心，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

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